6.4.3 第2课时 正弦定理PPT课件(人教版)

sin
=
sin

cos
=
;
,则角 C=
答案:(1)4 (2)45°


解析:(1)因为
=
,
sin
sin
sin

4
所以
= = =4;
sin





(2)因为sin = sin,又因为sin
=
所以 sin C=cos C,所以 C=45°.

,
cos
.
课前篇自主预习
一
1
1
2
2
= acsin B= bcsin A.
(3)三角形面积公式的其他形式:

①S△ABC= 4 ,其中 R 为△ABC 的外接圆半径;
②S△ABC=2R2sin Asin Bsin C,其中 R 为△ABC 的外接圆半径;
1
③S△ABC=2(a+b+c)r,其中 r 为△ABC 的内切圆半径;
2
2 +2 -
-·
2
2
·b=
+2 -2
-·
2
·a,
整理,得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴
a2+b2-c2=0 或 a2=b2.∴a2+b2=c2 或 a=b.故△ABC 为直角三角形或等
腰三角形.
解法二根据正弦定理,原等式可化为(sin A-sin Ccos B)sin B=(sin
A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径);② = sin , =
sin
,
sin
sin
= sin;

(2)化角为边,走代数变形之路,常用的转化方式有:①sin A=2,sin


sin
sin
B=2,sin C=2.(R 为△ABC 外接圆的半径);②sin = , sin =



为 a,b,c.①当△ABC 是等边三角形时,sin = sin = sin 是否成立?②当



△ABC 是直角三角形时,sin = sin = sin 是否成立?③当△ABC 是一



般的锐角三角形时,sin = sin = sin 是否成立?④当△ABC 是一般的



(2)sin A= ,sin B= ,sin C= ;
2
2
2
(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
课前篇自主预习
一
二
三
3.做一做
(1)在△ABC中,若asin A+bsin B=csin C,则角C=
(2)在△ABC中,若2asin C= 2c,则角A=
.
答案:(1)90° (2)45°或135°
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
反思感悟 判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是
等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角
三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下:
(1)化边为角,走三角变形之路,常用的转化方式有:①a=2Rsin

sin
sin
,
sin

= .
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思维辨析
随堂演练
延伸探究本例中,将条件改为“在△ABC中,若(a-acos B)·sin B=(bccos C)sin A”,判断△ABC的形状.
解:因为(a-acos B)sin B=(b-ccos C)sin A,所以asin B-acos Bsin
++
④S△ABC= (-)(-)(-),其中 p=
2
.
课前篇自主预习
一
二
三
3.做一做
(1)在△ABC中,若AB=3,BC=4,B=120°,则△ABC的面积等
于
;
(2)在△ABC中,若a=2,b=8,S△ABC=4,则C=
.
答案:(1)3 3 (2)30°或 150°
1
解析:(1)S=2AB·BC·sin B

sin
由正弦定理,得
=

,即
sin
sin
sin
c=
1
=
6
2× 2+ 6
3
2
=
1
6
B=2 + 6 .
2( 3+ 2)
.
3
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探究一
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探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
已知两边和其中一边的对角解三角形
例2在△ABC中,已知下列条件,解三角形:
(1)a= 2,b=2,A=30°;
(2)a=2,b= 2,A=45°.

= sin成立.
课前篇自主预习
一
二
三
③成立,如图,在△ABC 中作高线 CD,则在 Rt△ADC 和 Rt△BDC


中,CD=bsin A,CD=asin B,即 bsin A=asin B,sin = sin.同理可证

sin
=


.故
sin
sin
=

sin
=

.
sin
④成立,如图,过点 A 作 AD⊥BC,交 BC 的延长线于点 D,则 sin
分析先利用正弦定理求角B,再根据三角形的内角和定理求角C,
最后利用正弦定理求边c.
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探究二
探究三
sin

探究四
思维辨析
随堂演练
2sin30°
2
= ,因此 B=45°或 135°.
2
2
sin
当 B=45°时,C=180°-30°-45°=105°,由正弦定理,得 c= sin =
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
反思感悟 已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方
法
(1)第一由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角
对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯
一.
(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐
1
=2×3×4sin 120°=3 3;
1
1
(2)由 S=2absin C,得 4=2×2×8sin
1
解得 sin C=2,故 C=30°或 150°.
C,
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思维辨析
随堂演练
已知两角和一边解三角形
例1在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形.



钝角三角形时,sin = sin = sin 是否成立?
课前篇自主预习
一
二
三
提示①成立,因为 A=B=C,所以 sin A=sin B=sin C.又 a=b=c,所

sin
以

sin
=

sin
=

成立.
sin




②成立,不妨设 C=90°,则 sin A= ,sin B= ,sin C=1=,所以sin =
sin30°
sin30°
反思感悟 已知两角及一边解三角形的解题方法
1.若所给边是已知角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角
形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.
2.若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三
个角,再由正弦定理求另外两边.
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思维辨析
随堂演练
变式训练 1 在△ABC 中,已知 A=60°,tan B= 2,a=2,则
c=
.
2( 3+ 2)
答案:
3
解析:因为 tan B= 2,所以
6
3
sin B= ,cos B= .又
3
3
A=60°,所以 sin
C=sin[180°-(A+B)]=sin(120°-B)=sin 120°cos B-cos 120°sin
二
三
二、正弦定理的变形
1.思考
正弦定理揭示了三角形中边与角的数量关系,那么根据正弦定理,
怎样由边转化为角?怎样由角转化为边?

提示通过对正弦定理
sin
=

sin
=
实现由边到角、由角到边的转化.

=2R 进行不同的变形,可以
sin
2.填空
正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径)
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
(2)由正弦定理,得
sin
sin B=
=
2sin45° 1
= 2.
2
因为 b<a,所以 B<A,所以 B=30°(B=150°舍去).
sin
2sin105°
于是 C=180°-45°-30°=105°.由正弦定理,得 c= sin = sin45° =
3+1.
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探究一
探究二
第2课时
正弦定理
-1-
课标阐释
1.掌握正弦定理及其变形.
2.了解正弦定理的证明方法.
3.掌握三角形正弦面积公式及其
应用.
4.能应用正弦定理解决相关问题,
并能综合运用正弦定理和余弦定
理解决问题.
思维脉络
课前篇自主预习
一
二
三
一、正弦定理
1.思考
(1)已知△ABC,设其三个内角分别为 A,B,C,角 A,B,C 所对的边分别
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思维辨析
随堂演练
判断三角形的形状
例3在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,判断△ABC的形
状.
分析
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思维辨析
随堂演练
解法一∵(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,
∴由正、余弦定理,得
分析由三角形的内角和定理可求A的度数.根据正弦定理可求a,c.
解:因为B=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)=180°(30°+105°)=45°.

4

由正弦定理,得sin45°= sin30°= sin105°,解得
4sin45°
4sin105°
a=
=4 2,c=
=2( 6 + 2).
B-sin Ccos A)sin A,
即 sin Ccos Bsin B=sin Ccos Asin A.
∵sin C≠0,∴sin Bcos B=sin Acos A.
∴sin 2B=sin 2A.∴2B=2A 或 2B+2A=π,
π
即 A=B 或 A+B= .
2
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.
(3)能否用三角形的边和角表示三角形的面积?
1
2
1
2
1
2
提示 S= absin C= bcsin A= acsin B.
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一
二
三
2.填空
(1)在△ABC 中,若 ha,hb,hc 分别表示边 a,b,c 上的高,则
1
1
1
2
2
2
S△ABC= aha= bhb= chc;
1
(2)在△ABC 中,若 a,b,c 所对的角分别是 A,B,C,则 S△ABC=2absin C
;
解析:(1)设△ABC 的外接圆的半径为 R,由正弦定理,得



a·2+b·2=c·2,即 a2+b2=c2,所以△ABC 是直角三角形,且 C 是直角,
故 C=90°;
(2)设△ABC 的外接圆的半径为 R,由正弦定理,得 2×2Rsin Asin
2
C= 2×2Rsin C,因此 sin A= 2 ,故 A=45°或 135°.
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一
二
三
三、三角形的面积公式
1.思考
(1)常用的三角形面积公式是什么?
1
2
1
2
1
2
提示 S= aha= bhb= chc(其中 ha,hb,hc 分别表示边 a,b,c 上的高).
(2)在三角形中如何用三角形的边和角表示某一条边上的高?
提示ha=bsin C=csin B,hb=asin C=csin A,hc=bsin A=asin B.





B= ,且 sin(π-∠ACB)= =sin∠ACB.仿③可得sin = sin = sin.
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一
二
三
(2)在正弦定理中,三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等,
那么这个比值等于多少?与该三角形外接圆的直径有什么关系?

sin
提示这个比值恰好等于该三角形外接圆的直径 2R,即
角习
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随堂演练
延伸探究 本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120°”,解三角形.
解:由正弦定理,得
所以该三角形无解.
sin
sin A=
=
5sin120° 5 3
= 4 >1,则角 A
2
不存在,
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2sin105°
= 3+1;当 B=135°时,C=180°-30°-135°=15°,由正弦定理,
sin30°
sin
2sin15°
得 C=
=
= 3-1.故 B=45°,C=105°,c= 3+1 或
sin
sin30°
解:(1)由正弦定理,得 sin B=
=
B=135°,C=15°,c= 3-1.
B=bsin A-ccos Csin A,而由正弦定理可知asin B=bsin A,
所以acos Bsin B=ccos Csin A,
即sin Acos Bsin B=sin Ccos Csin A,
所以cos Bsin B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,

sin

= sin=2R,其中 R 是该三角形外接圆的半径.
=
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二
三
2.填空
(1)
(2)推论:设 R 是△ABC 外接圆的半径,则

sin
=

sin
=

sin
=2R.
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一
二
三
3.做一做:
sin