数学人教A版必修五优化练习：第一章1.2第1课时距离问题含解析

[ 课时作业 ]
[A 组基础稳固]
1．两灯塔 A，B 与大海察看站 C 的距离都等于a(km) ，灯塔 A 在 C 北偏东 30°，B 在 C 南偏东 60°，则 A， B 之间距离为 ()
A. 2a km
B. 3a km
C． a km D ．2a km
分析：△ABC 中， AC＝BC＝ a，∠ACB＝ 90°， AB＝2a.
答案： A
2.如图，一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东40°
的方向直线航行，30 分钟后抵达 B 处． C 处有一座灯塔，海轮在A
处察看灯塔，其方向是南偏东70°，在 B 处察看灯塔，其方向是北偏
东 60°，那么 B， C 两点间的距离是()
A．10 2海里B．10 3海里
C． 20 3海里 D ．202海里
分析：由题目条件，知AB＝ 20 海里，∠ CAB ＝30°，∠ABC＝ 105°，因此∠ ACB＝ 45°.由正弦
定理，得
20BC
，因此 BC＝ 102海里，应选 A. sin 45
＝
°sin 30°
答案：A
3．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，经过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度 (单位： m)是()
A ． 5B．10
C．10 2 D ．103
分析：如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′
中，利用正弦定理可求得BB′的长度．
在△ABB′中，∠B′＝ 30 °，
∠BAB′＝ 75 °－ 30 °＝ 45 °，AB＝ 10 m，
由正弦定理，得
10× 2
ABsin 45 °
2
2(m) ．
BB ′ ＝
sin 30
＝
＝ 10
°
1
2
∴坡底延长 10 2 m 时，斜坡的倾斜角将变成
30 °.
答案： C
4．一船自西向东匀速航行，上午 10 时抵达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处，
下午 2 时抵达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为
()
A. 17
6
海里 /小时
B ．34 6海里 /小时
2
C. 17 2
海里 /小时
D ．34 2海里 /小时
2
分析： 如下图，在△ PMN 中，
PM ＝ MN ，
sin 45 °sin 120 °
68× 3 6，
∵MN ＝ 2 ＝ 34
MN
17 6
∴v ＝ 4 ＝ 2 ( 海里 /小时 )．
答案： A
5.如图，某炮兵阵地位于 A 点，两察看所分别位于 C ，D 两点．已知△ ACD
为正三角形，且
DC ＝
3 km ，当目标出此刻 B 点时，测得∠ CDB ＝ 45°，
∠BCD ＝ 75°，则炮兵阵地与目标的距离是 ( )
A ． 1.1 km
B ． 2.2 km
C ． 2.9 km
D ．3.5 km
分析： ∠CBD ＝ 180°－∠BCD －∠CDB ＝ 60°.
在△BCD 中，由正弦定理，得
CD sin 75 °6＋ 2
BD ＝
＝ 2
.
sin 60 °
在△ABD 中，∠ADB ＝45 °＋ 60 °＝ 105 ，°
由余弦定理，得
AB 2＝ AD 2＋ BD 2－ 2AD ·BDcos 105
°
＝3＋6＋ 22
＋2× 3×
6＋ 26－ 2 42
×
4
＝5＋2 3.
∴AB＝5＋ 23≈ 2.9(km) ．
∴炮兵阵地与目标的距离约是 2.9 km.
答案： C
6．在相距 2 千米的 A、 B 两点处丈量目标点C，若∠ CAB＝75°，∠ CBA＝60°，则 A、C 两点之间的距离为________千米．
分析：∠C＝ 180°－ 75°－ 60°＝ 45°，由正弦定理2
＝
AC
，
sin 45°sin 60°
∴AC＝ 6.
答案：6
7．某人从 A 处出发，沿北偏东60°行走 3 3 km 到 B 处，再沿正东方向行走 2 km 到 C 处，则 A， C 两地距离为 ________km.
分析：如下图，由题意可知AB ＝33， BC＝ 2，∠ABC ＝150°，
由余弦定理，得
AC2＝ 27＋ 4－ 2× 33×2× cos 150 ＝°49，
AC＝ 7.
则 A， C 两地距离为7 km.
答案： 7
8．一艘船以每小时15 km 的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔 B 在北偏东60°，行驶 4 h 后，船抵达 C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.
分析：如下图， AC＝ 15× 4＝ 60，
∠BAC＝ 30 °，∠B＝45 °，
在△ABC 中由正弦定理得
60
＝
BC
，sin 45°sin 30°
∴BC＝ 30 2.
答案：302
9.如图，为了丈量河的宽度，在一岸边选定两点 A， B，望对岸的标志物C，测得∠ CAB＝ 45°，∠CBA＝ 75°，AB＝120 米，求河的宽度．
分析 ：在 △ABC 中，
∵∠CAB ＝45 °，∠CBA ＝ 75 °，
∴∠ACB ＝60 °.
由正弦定理，可得
AB ·sin ∠CBA 120sin 75 °
AC ＝
sin ∠ACB ＝ sin 60 ° ＝ 20(3 2＋ 6) ，
设 C 到 AB 的距离为 CD ，
则 CD ＝ ACsin ∠CAB
2
＝ 2 AC ＝20 (
3＋3)．
∴河的宽度为 20( 3＋ 3)米．
10．为保障高考的公正性， 高考时每个考点都要安装手机障蔽仪，
要求在考点四周 1 千米处
不可以收得手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约
1.732 千米有一条北偏东
60°
方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时
12 千米的速度沿公路行驶，问最长
需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并起码连续多长时间该考点才算合格？
分析： 如下图，考点为
A ，检查开始处为
B ，设公路上
C 、
D 两点到考
点的距离为 1 千米．
在△ ABC 中， AB ＝ 3≈1.732， AC ＝ 1，∠ABC ＝ 30 °，
sin 30 °
3
由正弦定理 sin ∠ACB ＝ AC ·AB ＝ 2 ，∴∠ACB ＝120 °(∠ACB ＝ 60 °不合题意 ) ，
∴∠BAC ＝30 °，∴BC ＝ AC ＝ 1，在 △ ACD 中， AC ＝ AD ，∠ACD ＝ 60 °，
∴△ACD 为等边三角形，∴ CD ＝ 1，∴BC
12× 60＝ 5，∴在 BC 上需 5 分钟， CD 上需 5 分钟．
答：最长需要 5 分钟检查员开始收不到信号，并连续起码 5 分钟才算合格．
[B 组能力提高]
1．甲船在岛 B 的正南 A 处， AB＝ 10 千米，甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行，同时，乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距近来时，
它们所航行的时间是________．
分析：设行驶 x 小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y km ，则∠DBC ＝ 180°－ 60°＝120°.∴y2＝ (10－4x)2＋ (6x)2－ 2(10－ 4x) ·6xcos 120 ＝°28x2－ 20x＋ 100
＝28(x2－5
x)＋ 100＝ 28 x－
52
－
25
＋100
7147
∴当 x＝145
(小时 )＝
150
7(分钟 )时， y2有最小值．∴ y 最小．
答案：150
分钟7
2．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，以后船沿南偏东60°方向航行 30 n mile 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.
分析：如下图， B 是灯塔， A 是船的初始地点， C 是船航行后的地点，
则 BC⊥ AD ，∠DAB ＝
30 °，∠DAC＝ 60 °，
则在 Rt△ACD 中，
DC＝ ACsin ∠DAC＝ 30sin 60 ＝°15 3 n mile ，
AD ＝ACcos∠DAC ＝ 30cos 60 ＝°15 n mile ，
则在 Rt△ADB 中，
DB ＝ADtan∠DAB＝ 15tan 30 ＝°5 3 n mile ，
则 BC＝ DC － DB ＝ 15 3－ 5 3＝ 10 3 n mile.
答案： 103
3．一蜘蛛沿东北方向爬行 x cm 捕获到一只小虫，而后向右转 105 °，爬行 10 cm 捕获到另一只小虫，这时它向右转 135°爬行回到它的出发点，那么 x＝ ________.
分析：如下图，设蜘蛛本来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△ AOB 中，AB＝ 10 cm，∠OAB＝ 75°，∠ABO＝ 45°，
则∠AOB＝ 60 °，由正弦定理知：AB·sin∠ABO
x＝
sin∠AOB
10× sin 45°
＝＝10 6(cm)．
sin 60°3
即 x 的值为10
6
cm. 3
答案：10
6 3
4．某海岛四周 38 海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行 30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________ 触礁的危险 ( 填“有”或“无” )．
分析：由题意在三角形ABC 中， AB＝30，∠BAC ＝ 30°，∠ABC＝ 135°，∴∠ACB＝ 15°，
由正弦定理
AB
·sin∠BAC＝30
·sin 30 ＝°
15
6＋ 2)．
BC＝
sin 15＝ 15(
sin∠ACB°6－ 2
4
2
在 Rt△ BDC 中， CD＝2BC＝ 15(3＋ 1)＞ 38.
答案：无
5.如下图为起重机装置表示图．支杆BC＝10 m ，吊杆 AC＝ 15 m，吊索 AB＝ 5 19m，求起吊的货物与岸的距离AD .
分析：在△ABC 中，由余弦定理，得
AC2＋ BC2－AB2
cos∠ACB＝
2AC·BC
152＋ 102－ 519 21
＝2× 15× 10＝－2
.
∴∠ACB＝120.°∴∠ACD ＝ 180 －°120°＝ 60 °.
153
(m)．
∴AD ＝AC·sin 60 ＝°
2
即起吊的货物与岸的距离为153
2m.
6.如图，某丈量人员为了丈量西江北岸不可以抵达的两点A， B 之间的距
离，她在西江南岸找到一点C，从 C 点能够察看到点A， B；找到一个
点 D ，从 D 点能够察看到点 A，C；找到一个点 E，从 E 点能够察看到点 B，C；
并丈量获得数据：∠ ACD ＝ 90°，∠ ADC＝ 60°，∠ ACB＝15°，∠BCE ＝
105°，∠ CEB＝ 45°，DC ＝ CE＝ 1 百米．求 A，B 之间的距离．
分析：由题干图，连结 AB(图略 )，依题意知，在 Rt△ACD 中，AC ＝DC ·tan∠ADC＝ 1× tan 60 °＝ 3.
在△BCE 中，∠CBE＝ 180 °∠－BCE－∠CEB
＝180 °－ 105 °－ 45 °＝ 30 °，
BC CE
，
由正弦定理＝
sin∠CEB sin ∠CBE
得 BC＝
CE
·sin∠CEB sin ∠CBE
1
×sin 45°＝ 2.
＝
sin 30°
cos 15 ＝°cos(60 －°45°)
＝cos 60 ·cos° 45＋°sin 60 sin°45°
1×23×26＋ 2
＝＋＝
4，
2222
在△ABC 中，由余弦定理AB2＝ AC2＋ BC2－ 2AC·BC ·cos∠ACB ，
6＋2
可得 AB2＝ ( 3)2＋ ( 2)2－ 2 3×2×
＝2－ 3，
4
∴AB＝2－3百米．
即 A， B 之间的距离为2－3百米．。