第二章 §3.1 数乘向量

.
解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b)＝－2a ＋4b.
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在几何图形中用已知向量表示未知向量
[典例] 图，D，E，F 分别为△ABC 的边
uuur uur
uuur
BC，CA，AB 的中点，且 BC ＝a，CA＝b.试求 AD，
)＝b＋12(－b－a)＝12b－12a.
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用已知向量表示其他向量的方法
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[活学活用]
uur
uuur
如图，四边形 OADB 是以向量OA＝a，OB＝b 为边的平行四
边形．又
uuur BM
＝13
uuur BC
uuur ，CN
＝13CuuDur
，试用
a，b
( ×) ( ×)
( √)
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2．下列各式计算正确的个数是
①(－7)·6a＝－42a；
②a－2b＋(2a＋2b)＝3a；
③a＋b－(a＋b)＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
()
解析：选 C 根据实数与向量的积满足的运算律，可知①正确； a－2b＋(2a＋2b)＝a－2b＋2a＋2b＝3a，故②正确；a＋b－(a ＋b)＝0.故③错误．
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3．已知 m，n 是实数，a，b 是向量，则下列命题中正确的是 ( ) ①m(a－b)＝ma－mb； ②(m－n)a＝ma－na； ③若 ma＝mb，则 a＝b； ④若 ma＝na，则 m＝n.
A．①④ C．①③
B．①② D．③④
解析：选 B 由实数与向量的积满足的运算律，可知①②正确；
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题点三 利用向量共线定理证明三点共线
uuur
uuur
3．已知非零向量 e1 和 e2 不共线，如果 AB＝2e1＋3e2，BC ＝
uuur 6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2，求证：A，B，D 三点共线．
uuur uuur uuur uuur 证明∵ AD ＝ AB ＋ BC ＋CD ＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1
量的线性运算(或线性组合)．
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[点睛] (1)数乘向量 λa 中，实数 λ 称为向量 a 的系数． (2)实数与向量积的运算，结果仍是一个向量，它可以看成 实数与实数积的定义的推广，但不能进行加减运算，如 λ＋a，λ －a 均无意义． (3)数乘向量主要用来解决平面几何中的平行、相似等问题．
uuur －8e2＝6(2e1＋3e2)＝6 AB，
uuur uuur ∴向量 AD与 AB共线．
uuur uuur 又向量 AB与 AD有共同的起点 A，
∴A，B，D 三点共线．
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题点四 利用三点共线求参数值
uuur
uur
4．设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知 AB＝2e1＋ke2，CB＝
uuur uuur BE ，CF (用 a，b 表示)．
[解]
uuur AD ＝
uuur AC
＋CuuDur ＝－b＋12CuuBr
＝－b－12a.
uuur BE
＝
uuur BC
uuur ＋CE
＝a＋12b.
uuur CF
＝CuuAr ＋12
uuur AB
＝CuuAr ＋12(
uuur AC
uur ＋CB
相同 相反
特别地，当 λ＝0 或 a＝0 时，λa＝ 0 .
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(4)几何意义： 由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将 表示向量 a 的有向线段 伸长 或 压缩 ． 当|λ|>1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0) 或反方向(λ<0)上 伸长 为原来的 |λ| 倍； 当|λ|<1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0) 或反方向(λ<0)上 缩短 为原来的 |λ| 倍． (5)运算律： 设 λ，μ 为实数，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝ λa＋μa ； ③λ(a＋b)＝ λa＋λb . (6)线性运算： 向量的 加法 、减法 和 实数与向量积 的综合运算，通常称为向
(2)要注意两个定理中 a 都是非零向量，其原因是：若 a
＝0，b≠0，虽有 a 与 b 共线，但不存在实数 λ，使 b＝λa 成
立；若 a＝b＝0，a 与 b 显然共线，但实数 λ 不唯一，任一实
数 λ 都能使 b＝λa 成立．
(3)已知平面内直线 AB 外任意一点 O，则满足向量关系式
uuur uur
uuur e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若 A，B，D 三点共线，求 k 的值．
uuur uuur uur 解：由题意得 BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
uuur uuur ∵A，B，D 三点共线，∴存在实数 λ，使得 AB＝λBD.
即 2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.
uuur
OP ＝λOA＋(1－λ)OB的点 P 与点 A，B 共线．反之，若点 P
uuur uur
uuur
在直线 AB 上，则存在实数 λ，使得OP ＝λOA＋(1－λ)OB成立．
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[小试身手]
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1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)λa 与 a 同向 (2)|λa|＝λ|a| (3)若 a≠0，ma＝na 则 m＝n
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十七)” (单击进入电子文档)
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题点二 由向量共线确定参数的值 2．已知 e1，e2 是两个非零不共线向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋
e2，若 a 与 b 是共线向量，求实数 k 的值．
解：∵a 与 b 是共线向量， ∴a＝λb，∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)， ∴(2－λk)e1＋(－1－λ)e2＝0. 又 e1，e2 不共线，∴2－λk＝0，－1－λ＝0，∴k＝－2. 故实数 k 的值为－2.
2．向量共线的判定定理 a 是一个 非零 向量，若存在一个实数 λ，使得 b＝λa ，则向 量 b 与非零向量 a 共线． 3．向量共线的性质定理 若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实数 λ，使得 b＝ λa .
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[点睛]
(1)在向量共线的定理中，有且只有一个实数 λ，使 b＝λa.
由向量相等的条件，得2k＝＝λ－，4λ，
∴k＝－8.
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用向量共线定理求参数的方法 uuur uuur
(1)三点 A，B，C 共线问题：利用 AB＝λ AC 构造方程 求参数．
(2)已知向量 ma＋nb 与 ka＋pb(a 与 b 不共线)共线求 参数的值的步骤
①设：设 ma＋nb＝λ(ka＋pb)； ②整：整理得 ma＋nb＝λka＋λpb，故mn＝＝λλpk；， ③解：解方程组得参数的值．
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向量的线性运算
[典例] 化简下列各式：
(1) 3(6a＋b)－9a＋13b； (2) 123a＋2b－a＋12b－212a＋38b； (3) 2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
uuur 表示OM
uuur ，ON
，
uuur MN .
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解：∵
uuur BM
＝13
uuur BC
＝16
uBuAr ＝16(OuuAr －OuuBur )＝16(a－b)，
uuur uuur uuur
∴OM ＝OB＋BM
＝b＋16a－16b＝16a＋56b.
uuur ∵CN
＝13CuuDur ＝16OuuDur ，
题点一 向量共线的判定 1．已知 e1，e2 不共线，则下列各式中，a 与 b 不共线的是 ( )
A．a＝－2e1，b＝6e1 B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2 C．a＝2e1－15e2，b＝e1－110e2 D．a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2
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解析：选 D A 中，∵b＝－3a，∴a 与 b 共线；B 中，b＝－2a，则 a 与 b 共线；C 中，b＝12a，则 a 与 b 共线；D 中，设 a＝λb，则 e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，∴ (1－3λ)e1＋(1＋3λ)e2＝0. ∴11－＋33λλ＝＝00，， 这样的 λ 不存在，因此 a 与 b 不共线．
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向量线性运算的方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共 线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因 式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．
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[活学活用]
化简下列各式：
(1) 2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)
1 6
22a＋8b－44a－2b
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3．1 数乘向量
预习课本 P82～84，思考并完成以下问题
1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？ 2．向量数乘运算满足哪三条运算律？ 3．向量共线定理是怎样表述的？ 4．向量的线性运算是指的哪三种运算？
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[新知初探]
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1．数乘向量 (1)定义：实数 λ 和向量 a 的乘积是一个 向量 ，记作 λa . (2)长度：|λa|＝ |λ||a| . (3)方向：λa(a≠0)的方向
uuur ∴ON
uuur ＝OC
uuur ＋CN
＝12OuuDur ＋16OuuDur
＝23OuuDur ＝23(OuuAr ＋OuuBur )＝23(a＋b)． uuur uuur uuur
∴ MN ＝ON －OM
＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.
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共线向量定理的应用
③中若 m＝0，则 a，b 的关系不确定，错误；④中若 a＝0，则 m 与 n 的关系不确定，错误．
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Байду номын сангаас
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4．已知向量 a＝2e1＋3e2，b＝－e1＋2e2，且 ma＋b 与 a－2b 共线，则实数 m＝________.
解析：ma＋b＝(2m－1)e1＋(3m＋2)e2，a－2b＝4e1－e2，由题 意知 2m4－1＝3m－＋1 2， 故 m＝－12 . 答案：－12