专题讲练 数列通项公式

专题讲练 数列通项公式
一、公式法：
1、写出下列数列的一个通项公式. （1） ,42,30,20,12,6,2---； （2）
99
10
,638
,356
,154
,32
；
（3）,51-
26
7,175,10
3-
； （4）31537
,,
,,,5211717
；
（5）23,,5,2,1,4 --； （6） 777,77,7；
（7） ,1,0,1,0. （8） 33,17,9,5,3
2、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n 个图中有___________个点.
（1） （2） （3） （4） （5）
3、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；
4、设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为
n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式．
5、已知实数列是}{n a 等比数列,其中
6547,1,,1a a a a +=且成等差数列，求数列}{n a
的通项公式
6、已知数列{n a }满足
2
1),2(,44,41
1-=
≥-
==-n n n n a b n a a a ，
（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }
的通项公式.。

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二、递推公式：数列递推：给出数列初项及递推公式可以确定一个数列。

了解递推公式是给出数列一种重
要方法，会根据递推公式写出数列的前几项，并进行必要的猜想、归纳、推理及证明。

三、递推公式通常有四种给出形式： （一）1+n a 与n a 的递推关系： ①若数列}{n a 满足)(1n f a a n
n =-+，
其中)(n f 关
于n 的函数，则可采用“累差迭加法”求和。

例1 、（1）已知数列}{n a 满足,11=a
11+=-+n a a n n ，求}{n a 的通项公式。

（2）已知数列}{n a 满足,11=a
n
n n a a 221=--，求}{n a 的通项公式。

②若数列}{n a 满足
)(1n f a a n
n =+，其中)(n f 是关
于n 的函数，则可采用“累商迭乘法”求和。

例2、（1）数列{}n a 中 n n a n n a a 2
,211+==+，
求n a .
（2）（00高考）已知正数数列{}n a 满足,11=a
0)1(2
12
1=-++++n n n n na a a a n 求}{n a 通项公式。

(3) （04全国理 ）数列}{n a 中，
13211)1(...32,1--++++==n n a n a a a a a ，则
数列=n a
③对于数列中满足y xa a n n +=+1的，构造等差
数列求解通项公式。

例3、（1）已知数列}{n a 满足,11=a 1
21+=+n n a a ，
求}{n a 的通项公式。

（2）已知数列}{n a 满足,11=a 4
31-=+n n a a ，
求}{n a 的通项公式。

（2）已知数列}{n a 满足2,121==a a ，对于
2≥n ，有1123-+-=n n n a a a ，求}{n a 的通项公式。

④对于数列中满足x
ya xa a n n n +=
+1，一般采用取
倒数，构造等差数列求解。

例4、（1）已知数列}{n a 满足,11=a 2
321
+=
+n n n a a a ，
求}{n a 的通项公式。

（2）n
n n na a a a +==+1,111，求n a
（3）数列{}n a 中，
n
n n a a a a 213,2
111+=
=+，求n a
⑤关于奇偶项的问题，分开讨论 例5（1）已知}{n a 满足2
11=
a ，
*
1,)4
1(21N n a a n n n ∈=
+，求n a ；
（2）已知}{n a 满足21=a ，n a a n n 21=++，求n a .
⑥其他类型：
例11、（1）已知数列}{n a 中，11=a ，3
12n n a a =+，求}{n a 的通项公式（提示：递推公式两边取对数）
（二）已知n S 求n a ：⎩⎨
⎧≥-==-2
11
1
n S S n S a n n n ；
例6、（1）数列{}n a 中，n n S n +=2，求n a ;
（2）数列{}n a 中，12
++=n n S n ，求n a ;
（3）已知数列}{n a 的前n 项和是n S ，满足
424-⋅=n
n S ，求}{n a 的通项公式。

（4）已知n a a a a n n 822213221=+++- 对任意的*N n ∈均成立，求n a ；
（5）已知数列}{n a 各项均为正数，且满足)(lg 3
lg 2
lg lg *
321N n n n
a a a a n ∈=+
+++
，
求n a .
（6）设数列{}n a 满足21
12
3333
3
n n n a a a a -++++=
…，
a ∈*
N ．求数列{}n a 的通项；
（三）n a 与n S 的关系
例7、（99全国文）已知数列}{n a 的前n 项和是
n S ，且35-=n n S a ，求}{n a 的通项公式。

例
8、已知数列}{n a 中，11=a ，
)5.0(2
-=n n n S a S ，求}{n a 的通项公式。

例9、已知数列}{n a 中，31=a ，
)2(21≥⋅=-n S S a n n n ，求}{n a 的通项公式。

（四）n S 与1+n S 的关系
例10、已知数列}{n a 的前n 项和是n S ，满足,
11=a 1
21+=
+n n n S S S ，求}{n a 的通项公式。