某某省安师大附中高考数学模拟试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题

安徽省马鞍山二中、安师大附中201 5届高考数学模拟试卷（文科）
一.选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卷上）
1．（5分）已知复数z满足（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）
A．1 B．﹣i C．i D．﹣1
2．（5分）已知集合等于（）
A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x＜2，或x＞3} C．{x|0≤x＜1} D．
{x|0≤x＜1，或x＞3}
3．（5分）在数列{a n}中，若a1=1，且对所有n∈N+满足a1a2…a n=n2，则a3+a5=（）A．B．C．D．
4．（5分）已知，是两个非零向量，给定命题p：|•|=||||，命题q：∃t∈R，使得=t，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知，则x2+y2的最小值是（）
A．3 B．C．D．
6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
7．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+），g（x）=sin（2x﹣），下列说法正确的是（）A．f（x）的图象可以由g（x）的图象向左平移个单位得到
B．f（x）的图象可以由g（x）的图象向右平移个单位得到
C．f（x）的图象可以由g（x）的图象关于直线x=对称变换而得到
D．f（x）的图象可以由g（x）的图象关于直线x=对称变换而得到
8．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=f（x+1）﹣f（x+2），x∈R．当x∈（0，3）时，f（x）=x2，则f=（）
A．5 B．﹣5 C．﹣1 D．1
10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）
A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]
二．填空题（本大题有5小题，每小题5分，共25分，请将答案写在答题卷上）
11．（5分）在△ABC中，若b=5，∠B=，tanA=2，则a=．
12．（5分）如表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行，第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则第1列的公差等于，a83等于．
13．（5分）已知x∈（0，3），则函数y=+的最小值为．
14．（5分）已知函数f（x）=﹣x2﹣3x+4lnx在[t，t+1]上不单调，则实数t的取值范围是．
15．（5分）如图正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿BE边折起，折起后A
点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：
①AB与DE所成角的正切值是；
②AB∥CE；
③V B﹣ACE的体积是a2；
④平面ABC⊥平面ADC；
⑤直线EA与平面ADB所成角为30°．
其中正确的有．（填写你认为正确的序号）
三、解答题（本大题共6道题，满分75分）
16．（12分）集合A={（x，y）|y=x2+mx+2}，B={（x，y）|x﹣y+1=0，0≤x≤2}．若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
17．（12分）已知函数y=f（x）满足：∀a，b∈R，a≠b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf （a）．
（1）用定义证明：f（x）是R上的增函数；
（2）设x，y为正实数，若+=4试比较f（x+y）与f（6）的大小．
18．（12分）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2）．
（Ⅰ）若•=1，求cos（﹣x）的值；
（Ⅱ）记f（x）=•，在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．
19．（12分）已知a2，a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{a n}是公差为正的等差数列，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=1﹣b n（n∈N）．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）记c n=a n b n，若数列{c n}的前n项和S n，求证：S n＜2．
20．（13分）在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB=BC，∠ADc=60°（即：底面是一幅三角板拼成）
（1）若PA中点为E，求证：BE∥面PCD
（2）若PA=PB=PC=3，PD与面PAC成30°角，求此四棱锥的体积．
21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2（a＞0），g（x）=min{x，4﹣x，2x﹣1}，min{s，t}是取s，t中较小者．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若对于任意x1∈（1，+∞），都存在x2∈（0，+∞），使得f（x1）﹣g（x2）=0，求实数a的取值范围．
安徽省马鞍山二中、安师大附中2015届高考数学模拟试卷（文科）
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卷上）
1．（5分）已知复数z满足（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）
A．1 B．﹣i C．i D．﹣1
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：由已知等式求得，然后求出z，则其虚部可求．
解答：解：由（1+i）=1﹣i，得，
∴z=i，
则复数z的虚部为1．
故选：A．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．（5分）已知集合等于（）
A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x＜2，或x＞3} C．{x|0≤x＜1} D．
{x|0≤x＜1，或x＞3}
考点：交集及其运算．
分析：由题意集合A={x|x2﹣4x+3＞0}，B={x|≤0}，解出A，B，然后根据交集的定义
和运算法则进行计算．
解答：解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＞0}，
∴A={x|x＞3或x＜1}，
∵B={x|≤0}，
∴B={x|0≤x＜2}，
∴A∩B={x|0≤x＜1}，
故选C．
点评：此题考查简单的集合的运算，集合在2015届高考的考查是以基础题为主，题目比较容易，复习中我们应从基础出发．
3．（5分）在数列{a n}中，若a1=1，且对所有n∈N+满足a1a2…a n=n2，则a3+a5=（）A．B．C．D．
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：首先根据题意求出a1a2…a n﹣1=（n﹣1）2 （n≥2），与原式相除可以求出{a n}的表达式，进而求出a3和a5的值，从而求出所求．
解答：解：由题意a1a2…a n=n2，
故a1a2…a n﹣1=（n﹣1）2，
两式相除得：a n=（n≥2），
所以a3=，a5=，
即a3+a5=
故选B．
点评：本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是求出数列{a n}的表达式，属于基础题．
4．（5分）已知，是两个非零向量，给定命题p：|•|=||||，命题q：∃t∈R，使得=t，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；向量的几何表示．
专题：阅读型．
分析：利用2个向量的数量积公式，由命题p成立能推出命题q成立，由命题q成立能推出命题p成立，p是q的充要条件．
解答：解：（1）若命题p成立，∵，是两个非零向量，|•|=||||，即|||||•cos ＜，＞|=||||，
∴cos＜，＞=±1，＜，＞=00或＜，＞=1800∴，共线，即；∃t∈R，使得=t，∴由命题p成立能推出命题q成立．
（2）若命题p成立，即∃t∈R，使得=t，则，两个非零向量共线，∴＜，＞=00或＜，＞=1800，
∴cos＜，＞=±1，即|||||•cos＜，＞|=||||，
∴|•|=||||，∴由命题q成立能推出命题p成立．
∴p是q的充要条件．
点评：本题考查充要条件的概念及判断方法．
5．（5分）已知，则x2+y2的最小值是（）
A．3 B．C．D．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的应用即可得到结论．
解答：解：作出不等式组对应的平面区域，则x2+y2的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，
由图象可知，x2+y2的最小值为圆心到直线
BC的距离的平方，
则圆心到3x+4y﹣12=0的距离d=，
故x2+y2的最小值为d2=，
故选：D
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式是解决本题的关键．
6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
考点：余弦定理．
专题：三角函数的求值；解三角形．
分析：由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得cosA（sinB﹣sinA）=0，从而可得A=或B=A或B=π﹣A（舍去）．
解答：解：∵c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，C=π﹣（A+B），
∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，
∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，
∴cosA（sinB﹣sinA）=0，
∵cosA=0，或sinB=sinA，
∴A=或B=A或B=π﹣A（舍去），
故选：D．
点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与化简运算的能力，属于中档题．
7．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+），g（x）=sin（2x﹣），下列说法正确的是（）A．f（x）的图象可以由g（x）的图象向左平移个单位得到
B．f（x）的图象可以由g（x）的图象向右平移个单位得到
C．f（x）的图象可以由g（x）的图象关于直线x=对称变换而得到
D．f（x）的图象可以由g（x）的图象关于直线x=对称变换而得到
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．
分析：先求g（x+）=f（x），故A、B不正确；求出f（x）的图象关于直线x=对称变
换而得到的函数解析式为f（2×﹣x）=g（x），故C不正确，D正确；
解答：解：∵g（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+）=f（x），
∴即由g（x）的图象向左平移个单位得到f（x）的图象．故A、B不正确；
∵f（x）的图象关于直线x=对称变换而得到的函数解析式为：f（2×﹣x）=sin[2（）
+]=sin[π﹣2x+]=sin（2x﹣）=g（x），故C不正确，D正确；
故选：D．
点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，直线对称变换：函数f（x）关于直线x=a对称的图象的解析式是f（2a﹣x）是解题的关键，属于中档题．
8．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积．
解答：解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：
直三棱柱的体积为×4×4×4=32．
消去的三棱锥的体积为××2×4×4=，
∴几何体的体积V=32﹣=，
故选：B
点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
9．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=f（x+1）﹣f（x+2），x∈R．当x∈（0，3）时，f（x）=x2，则f=（）
A．5 B．﹣5 C．﹣1 D．1
考点：抽象函数及其应用；函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：令x取x+1代入f（x）=f（x+1）﹣f（x+2）得，f（x+1）=f（x+2）﹣f（x+3），两个式子相加后得f（x+3）=﹣f（x），再变形即可得函数的周期，利用周期性、恒等式、已知的解析式求出f的值即可．
解答：解：因为函数f（x）满足f（x）=f（x+1）﹣f（x+2）①，
令x取x+1代入上式得，f（x+1）=f（x+2）﹣f（x+3）②，
①+②可得，f（x+3）=﹣f（x），
所以f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），
则函数是以6为最小正周期的周期函数，
因为当x∈（0，3）时，f（x）=x2，
所以f=f（6×335+4）=f（4）=﹣f（1）=﹣1，
故选：C．
点评：本题考查抽象函数的周期的求法以及应用，一般利用赋值法进行求解，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）
A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]
考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．
专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．
解答：解：当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；
当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．
∴当x＞0时，．
∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，．
∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），
∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．
故实数a的取值范围是．
故选：B．
点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．
二．填空题（本大题有5小题，每小题5分，共25分，请将答案写在答题卷上）
11．（5分）在△ABC中，若b=5，∠B=，tanA=2，则a=2．
考点：正弦定理．
专题：解三角形．
分析：由tanA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由b与sinB的值，利用正弦定理即可求出a的值．
解答：解：∵tanA=2，
∴cos2A==，
∴sinA==，又b=5，sinB=，
∴由正弦定理=得：a===2．
故答案为：2
点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
12．（5分）如表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行，第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则第
1列的公差等于，a83等于．
考点：等比数列的性质；等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意可找到的公差和公比，再确定a83的位置，即可求解．
解答：解：由题意知，第一列成等差数列，且公差d=，
每行成等比数列，且公比q=，
又a83是第8行第3个数，
由已知a81==2，
故==
故答案为：，
点评：本题考等差数列和等比数列的性质，得出数列的公差和公比是解决问题的关键，属中档题．
13．（5分）已知x∈（0，3），则函数y=+的最小值为3．
考点：基本不等式．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用，当且仅当时取等号，x，y，m，n都为正数．
解答：解：∵x∈（0，3），
∴函数y=+≥=3，当且仅当，即x=1时取等号．
∴函数y=+的最小值为3．
故答案为：3．
点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．
14．（5分）已知函数f（x）=﹣x2﹣3x+4lnx在[t，t+1]上不单调，则实数t的取值范围是
（0，1）．
考点：函数的单调性与导数的关系．
专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．
分析：先由函数求f′（x）=﹣x﹣3+，再由“函数f（x）=﹣x2﹣3x+4lnx在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）=﹣x﹣3+=0在区间（t，t+1）上有解”从而有=0
在（t，t+1）上有解，进而转化为：x2+3x﹣4=0在（t，t+1）上有解，进而求出答案．
解答：解：∵函数f（x）=﹣x2﹣3x+4lnx，
∴f′（x）=﹣x﹣3+，
∵函数f（x）=﹣x2﹣3x+4lnx在（t，t+1）上不单调，
∴f′（x）=﹣x﹣3+=0在（t，t+1）上有解
∴=0在（t，t+1）上有解
∴g（x）=x2+3x﹣4=0在（t，t+1）上有解，
由x2+3x﹣4=0得：x=1，或x=﹣4（舍），
∴1∈（t，t+1），
即t∈（0，1），
故实数t的取值范围是（0，1），
故答案为：（0，1）．
点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．
15．（5分）如图正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿BE边折起，折起后A 点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：
①AB与DE所成角的正切值是；
②AB∥CE；
③V B﹣ACE的体积是a2；
④平面ABC⊥平面ADC；
⑤直线EA与平面ADB所成角为30°．
其中正确的有①③④⑤．（填写你认为正确的序号）
考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：①由于BC∥DE，则∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角；
②AB和CE是异面直线；
③根据三棱锥的体积公式即可求V B﹣ACE的体积；
④根据面面垂直的判定定理即可证明；
⑤根据直线和平面所成角的定义进行求解即可．
解答：解：由题意，AB=BC，AE=a，
AD⊥平面BCDE，AD=a，AC= a
①由于BC∥DE，∴∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角
∵AB=a，BC=a，AC=a，
∴BC⊥AC，∴tan∠ABC=，故①正确；
②由图象可知AB与CE是异面直线，故②错误．
③V B﹣ACE的体积是S△BCE×AD=×a3=，故③正确；
（4）∵AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，
∴AD⊥BC，∵BC⊥CD，AD∩CD=D，∴BC⊥平面ADC，
∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故④正确；
⑤连接CE交BD于F，则EF⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BDE，
∴EF⊥平面ABD，连接F，
则∠AFE为直线AE与平面ABD所成角，
在△AFE中，EF=，AE=a，
∴sin∠EAF==，则∠EAF=30°，故⑤正确，
故正确的是①③④⑤
故答案为：①③④⑤
点评：本题考查图形的翻折，考查空间线面位置关系，搞清翻折前后的变与不变是关键．综合性较强，难度较大．
三、解答题（本大题共6道题，满分75分）
16．（12分）集合A={（x，y）|y=x2+mx+2}，B={（x，y）|x﹣y+1=0，0≤x≤2}．若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：联立A与B中的方程，消去y得到关于x的方程，设f（x）=x2+（m﹣1）x+1，x∈[0，2]，由A与B的交集不为空集，得到f（x）=x2+（m﹣1）x+1，x∈[0，2]必有零点，分两种情况考虑：（i）只有一个零点；（ii）有两个零点，求出m的范围即可．
解答：解：联立得：，
消去y得：x2+mx+2=x+1，即x2+（m﹣1）x+1=0，x∈[0，2]，
由题设知f（x）=x2+（m﹣1）x+1，x∈[0，2]必有零点，
分两种情况考虑：
（i）若在[0，2]只有一个零点，则f（2）＜0，即m＜﹣；
或，解得：m=﹣1；
（ii）若在[0，2]有两个零点，则，
解得：﹣≤m＜﹣1，
由（i）（ii）知：m≤﹣1．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
17．（12分）已知函数y=f（x）满足：∀a，b∈R，a≠b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf （a）．
（1）用定义证明：f（x）是R上的增函数；
（2）设x，y为正实数，若+=4试比较f（x+y）与f（6）的大小．
考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；抽象函数及其应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）根据题意，用单调性的定义判断f（x）在R上的增减性即可；
（2）由+=4，把x+y化为能利用基本不等式的不等式，求出x+y的最小值，即可证明结论．
解答：解：（1）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2；
根据题意得，
x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），
∴（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；
又∵x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）为R上的增函数；
（2）∵+=4，
∴x+y=（x+y）[（+）]=[4+9++]，
又∵x＞0，y＞0，
∴x+y≥[13+2]=（当且仅当=时，取“=”），
即x=，y=时，（x+y）min=＞6；
又∵f（x）是R上的增函数，
∴f（x+y）＞f（6）．
点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．
18．（12分）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2）．
（Ⅰ）若•=1，求cos（﹣x）的值；
（Ⅱ）记f（x）=•，在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．
考点：数量积的坐标表达式；两角和与差的余弦函数；正弦定理．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）利用向量的数量积公式列出方程求出，利用二倍角的余弦公式
求出要求的式子的值．
（2）利用三角形中的正弦定理将等式中的边转化为角的正弦值，利用三角形的内角和为180°化简等式，求出角B，求出角A的范围，求出三角函数值的范围．
解答：解：（1）
∵
∴
∵
（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
∵sinA＞0
∴cosB=
∵B∈（0，π），
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
点评：本题考查向量的数量积公式、考查三角形的正弦定理、考查三角形的内角和为180°、考查利用三角函数的单调性求三角函数值的范围．
19．（12分）已知a2，a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{a n}是公差为正的等差数列，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=1﹣b n（n∈N）．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）记c n=a n b n，若数列{c n}的前n项和S n，求证：S n＜2．
考点：数列与不等式的综合；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由韦达定理得a2=3，a5=9．由此利用等差数列的性质能求出a n=2n﹣1；在T n=1﹣中，令n=1，得b1=．当n≥2时，b n=﹣，由此能求出b n=．
（2）由c n=a n b n=（2n﹣1）•=，利用错位相减法能证明S n=2﹣＜2．
解答：（1）解：∵a2，a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{a n}是公差为正的等差数列，
∴，解得a2=3，a5=9．
∴d==2，a1=1．
∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（n∈N*）．
在T n=1﹣中，令n=1，得b1=．
当n≥2时，T n=1﹣，T n﹣1=1﹣，
两式相减得b n=﹣．
∴=，n≥2．∴b n==．（n∈N*）．
（2）证明：c n=a n b n=（2n﹣1）•=，
∴S n=2（），①
=2（）．②
①﹣②得=2[﹣]
=2[﹣]
=2（）
=．
∴S n=2﹣＜2．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
20．（13分）在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB=BC，∠ADc=60°（即：底面是一幅三角板拼成）
（1）若PA中点为E，求证：BE∥面PCD
（2）若PA=PB=PC=3，PD与面PAC成30°角，求此四棱锥的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）设AC，AD的中点分别为G，F，由已知条件推导出BF∥面PCD，EF∥面PCD，从而面BEF∥面PCD，由此能证明BE∥面PCD．
（2）由已知得PG⊥面ABCD，CD⊥面PAC，从而∠CPD=30°，进而，由此能
求出四棱锥P﹣ABCD的体积．
解答：（1）证明：设AC，AD的中点分别为G，F，
由已知得B，G，F三点共线，
∴BF∥CD，∵DC⊂平面PCD，BF⊄平面PCD，∴BF∥面PCD，
EF∥PD，∵PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，∴EF∥面PCD，
又BF∩EF=F，∴面BEF∥面PCD，
∵BE⊂平面BEF，∴BE∥面PCD．（6分）
（2）解：∵PA=PB=PC，∴PG⊥面ABCD，
则有PG⊥CD，
又AC⊥CD，PG∩AC=G，∴CD⊥面PAC，
∴PC是PD在面PAC内的射影，
∵PD与面PAC成30°角，∴∠CPD=30°，（10分）
∵PA=PB=PC=3，∴CD=，PG=，AB=BC=，
∴，
∴V==．（13分）
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2（a＞0），g（x）=min{x，4﹣x，2x﹣1}，min{s，t}是取s，t中较小者．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若对于任意x1∈（1，+∞），都存在x2∈（0，+∞），使得f（x1）﹣g（x2）=0，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：（1）求导f′（x）=﹣2ax=，x＞0，a＞0；从而确定函数的单调区间及
极值；
（2）由题意设A={f（x）|x＞1}，B={g（x）|x＞0}，故A⊊B；化简g（x）=min{x，4﹣x，2x ﹣1}=，从而讨论求最值，从而解得．
解答：解：（1）∵f′（x）=﹣2ax=，x＞0，a＞0；
∴f（x）的减区间是（，+∞），增区间是（0，）；
f（x）极大值=f（）=﹣（1+ln2a）；无极小值；
（2）依题意：设A={f（x）|x＞1}，
B={g（x）|x＞0}，
故A⊊B；
g（x）=min{x，4﹣x，2x﹣1}=，
∴B=（﹣∞，2]；
①若＞1，x∈（1，+∞），f（x）∈（﹣∞，﹣﹣ln2a）=A⊂B；
∴﹣﹣ln2a≤2，
∴a≥e﹣5；
故a∈[e﹣5，）；
②若0＜≤1，在x∈（1，+∞），f（x）∈（﹣∞，f（1））=A⊂（﹣∞，2]；∵f（1）=﹣a≤2；显然成立，
故a≥符合题意；
综上所述，a≥e﹣5．
点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．。