代县二中学校2018-2019学年高二上学期二次月考试卷数学

代县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 给出下列各函数值：①sin100°；②cos （﹣100°）；③tan （﹣100°）；④．其中符号为
负的是（ ） A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
2． 对一切实数x ，不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣2）
B ． D ．上是减函数，那么b+c （ ）
A ．有最大值
B ．有最大值﹣
C ．有最小值
D ．有最小值﹣
3． 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”
的（ ） A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4． 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2D ．24πa 2 5． 下列命题中的假命题是（ ）
A ．∀x ∈R ，2x ﹣1＞0
B ．∃x ∈R ，lgx ＜1
C ．∀x ∈N +，（x ﹣1）2＞0
D ．∃x ∈R ，tanx=2
6． 设F 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到
另一条渐近线的距离为1
||2OF ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B
C ．
D ．3
【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想．
7． 复数
的虚部为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣2i
C ．2
D ．2i
8． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinB=2sinC ，a 2﹣c 2=3bc ，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
9． 已知抛物线C ：y x 82
=的焦点为F ，
准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2=，
则=QF （ ） A ．6
B ．3
C ．
3
8 D ．
3
4 第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 10．设集合3|01x A x x -⎧⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围 （ ）
A ．1a ≥
B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤< 11．下列各组表示同一函数的是（ ）
A ．y=
与y=（
）2
B ．y=lgx 2与y=2lgx
C ．y=1+与y=1+
D ．y=x 2﹣1（x ∈R ）与y=x 2﹣1（x ∈N ）
12．下列关系式中正确的是（ ）
A ．sin11°＜cos10°＜sin168°
B ．sin168°＜sin11°＜cos10°
C ．sin11°＜sin168°＜cos10°
D ．sin168°＜cos10°＜sin11°
二、填空题
13．已知曲线y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a 的范围为 ．
14．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.
【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力． 15．自圆C ：2
2
(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（ ） A ．
1310 B ．3 C ．4 D ．2110
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．
16．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一
个红球的概率为．
17．如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB1的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…，若从点O到点A3的回形线为第1圈（长为7），从点A3到点A2的回形线为第2圈，从点A2到点A3的回形线为第3圈…依此类推，第8圈的长为．
18．设p：实数x满足不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0），q：实数x满足不等式x2﹣x﹣6≤0，已知￢p是￢q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是．
三、解答题
19．A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若B⊆A，求a．
20．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
21．已知函数f （x ）=在（，f （））处的切线方程为8x ﹣9y+t=0（m ∈N ，t ∈R ）
（1）求m 和t 的值；
（2）若关于x 的不等式f （x ）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．
22．已知函数f （x ）=（ax 2+x ﹣1）e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ．
（Ⅰ）若a=0，求曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；
（Ⅱ）若
，求f （x ）的单调区间；
（Ⅲ）若a=﹣1，函数f （x ）的图象与函数的图象仅有1个公共点，求实数m 的取值范
围．
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为C 1：
为参数），曲线C 2： =1．
（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C 1，C 2的极坐标方程；
（Ⅱ）射线θ=（ρ≥0）与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的交点为B ，求|AB|．
24．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数()1
ln 1f x a x x
=+
-． （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()
11f ，
处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；
（3）当102a <<时，求证：对任意1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，，都有1e x a
a x +⎛⎫
+< ⎪
⎝⎭
．
代县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，
④∵sin＞0，cosπ=﹣1，tan＜0，
∴＞0，
其中符号为负的是②，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．
2．【答案】B
【解析】解：由f（x）在上是减函数，知
f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈，
则
⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣．
故选B．
3．【答案】B
【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，
若a⊥b，则α⊥β不一定成立，
故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．
4．【答案】B
【解析】解：根据题意球的半径R满足
（2R）2=6a2，
所以S球=4πR2=6πa2．
故选B
5．【答案】C
【解析】解：A．∀x∈R，2x﹣1=0正确；
B．当0＜x＜10时，lgx＜1正确；
C．当x=1，（x﹣1）2=0，因此不正确；
D．存在x∈R，tanx=2成立，正确．
综上可知：只有C错误．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数、正切函数的单调性，属于基础题．
6．【答案】B
【解析】
7．【答案】C
【解析】解：复数===1+2i的虚部为2．
故选；C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．
8．【答案】C
【解析】解：由sinB=2sinC，由正弦定理可知：b=2c，代入a2﹣c2=3bc，
可得a2=7c2，
所以cosA===﹣，
∵0＜A＜180°，
∴A=120°．
故选：C．
【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基本知识的考查．
9． 【答案】A
解析：抛物线C ：y x 82 的焦点为F （0，2），准线为l ：y=﹣2，
设P （a ，﹣2），B （m ，），则
=（﹣a ，4），
=（m ，
﹣2），
∵
，∴2m=﹣a ，4=
﹣4，∴m 2=32，由抛物线的定义可得|QF|=
+2=4+2=6．故选A ．
10．【答案】A 【解析】
考
点：集合的包含关系的判断与应用.
【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 11．【答案】C
【解析】解：A ．y
=|x|，定义域为R ，y=（）2
=x ，定义域为{x|x ≥0}，定义域不同，不能表示同一函数．
B ．y=lgx 2，的定义域为{x|x ≠0}，y=2lgx 的定义域为{x|x ＞0}，所以两个函数的定义域不同，所以不能表示同一函数．
C ．两个函数的定义域都为{x|x ≠0}，对应法则相同，能表示同一函数．
D ．两个函数的定义域不同，不能表示同一函数．
故选：C ．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．
12．【答案】C
【解析】解：∵sin168°=sin（180°﹣12°）=sin12°，
cos10°=sin（90°﹣10°）=sin80°．
又∵y=sinx在x∈[0，]上是增函数，
∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．
故选：C．
【点评】本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用．关键在于转化，再利用单调性比较大小．二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：因为y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即
y'=在x＞0时有解，
所以3（a﹣3）x3+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．
函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，
即f'（x）=3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，
因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，
所以，所以．
综上．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．
14．【答案】
7
【解析】
15．【答案】D
【解析】
8
16．【答案】
9
【解析】
【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，),(y x 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有
时也可以看成是无序的，如)1,2)(2,1(相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用)(1)(A P A P -=求解较好． 17．【答案】 63 ．
【解析】解：∵第一圈长为：1+1+2+2+1=7 第二圈长为：2+3+4+4+2=15
第三圈长为：3+5+6+6+3=23 …
第n 圈长为：n+（2n ﹣1）+2n+2n+n=8n ﹣1 故n=8时，第8圈的长为63， 故答案为：63．
【点评】本题主要考查了归纳推理，解答的一般步骤是：先通过观察第1，2，3，…圈的长的情况发现某些相同性质，再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论，最后将一般性结论再用于特殊情形．
18．【答案】
．
【解析】解：∵x 2﹣4ax+3a 2
＜0（a ＜0）， ∴（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0， 则3a ＜x ＜a ，（a ＜0）， 由x 2
﹣x ﹣6≤0得﹣2≤x ≤3，
∵￢p 是￢q 的必要非充分条件， ∴q 是p 的必要非充分条件，
即，即≤a＜0，
故答案为：
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：解：集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}
∵B⊆A，
∴（1）B=∅时，a=0
（2）当B={1}时，a=2
（3））当B={2}时，a=1
故a值为：2或1或0．
20．【答案】
【解析】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：
sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，
所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，
所以A=；
（2）S
△ABC=bcsinA=，所以bc=4，
a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，
即有，
解得b=c=2．
21．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=，
由题意可得，f（）=，f′（）=，
即=，且=，
由m∈N，则m=1，t=8；
（2）设h（x）=ax+﹣，x≥．
h（）=﹣≥0，即a≥，
h′（x）=a﹣，当a≥时，若x＞，h′（x）＞0，①
若≤x≤，设g（x）=a﹣，
g′（x）=﹣＜0，g（x）在[，]上递减，且g（）≥0，
则g（x）≥0，即h′（x）≥0在[，]上恒成立．②
由①②可得，a≥时，h′（x）＞0，h（x）在[，+∞）上递增，h（x）≥h（）=≥0，
则当a≥时，不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立；
当a＜时，h（）＜0，不合题意．
综上可得a≥．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵a=0，∴f（x）=（x﹣1）e x，f′（x）=e x+（x﹣1）e x=xe x，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f（1）=e．
又∵f（1）=0，∴所求切线方程为y=e（x﹣1），
即．ex﹣y﹣4=0
（Ⅱ）f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=[ax2+（2a+1）x]e x=[x（ax+2a+1）]e x，
①若a=﹣，f′（x）=﹣x2e x≤0，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞），
②若a＜﹣，当x＜﹣或x＞0时，f′（x）＜0；
当﹣＜x＜0时，f′（x）＞0．
∴f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，﹣]，[0，+∞）；单调递增区间为[﹣，0]． （Ⅲ）当a=﹣1时，由（Ⅱ）③知，f （x ）=（﹣x 2+x ﹣1）e x
在（﹣∞，﹣1）上单调递减，
在[﹣1，0]单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
∴f （x ）在x=﹣1处取得极小值f （﹣1）=﹣，在x=0处取得极大值f （0）=﹣1，
由
，得g ′（x ）=2x 2
+2x ．
当x ＜﹣1或x ＞0时，g ′（x ）＞0；当﹣1＜x ＜0时，g ′（x ）＜0．
∴g （x ）在（﹣∞，﹣1]上单调递增，在[﹣1，0]单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
故g （x ）在x=﹣1处取得极大值，
在x=0处取得极小值g （0）=m ，
∵数f （x ）与函数g （x ）的图象仅有1个公共点，
∴g （﹣1）＜f （﹣1）或g （0）＞f （0），即.
．
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程：（x ﹣1）2+y 2
=1，
由可得曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ2（1+sin 2
θ）=2．
（Ⅱ）射线与曲线C 1的交点A 的极径为，
射线与曲线C 2的交点B 的极径满足
，解得
，
所以
．
24．【答案】（1）10x y --=；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）当2a =时，求出导数易得()'11f =，即1k =，利用点斜式可得其切线方程；（2）
求得可得()2
1'ax f x x -=
，分为0a ≤和0a >两种情形判断其单调性；（3）当1
02
a <<时，根据（2）可 得函数()f x 在()12，上单调递减，故()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即ln 1a a a x x a
⎛⎫
+<
⎪+⎝⎭，化简可得所证结论. 试题解析：（1）当2a =时，
()12ln 1f x x x =+
-，()112ln1101f =+-=，()221'f x x x =-，()221
'1111
f =-=，所以函数()f x 在点()10，处的切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=． （2）()1ln 1f x a x x =+
-，定义域为()0+∞，，()2211
'a ax f x x x x
-=-=． ①当0a ≤时，()'0f x <，故函数()f x 在()0+∞，上单调递减； ②当0a >时，令()'0f x =，得1
x
= 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减；当0a >时，函数()f x 在10a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递减，在
1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上单调递增． （3）当102a <<时，由（2）可知，函数()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，显然，12a >，故()1120a ⎛⎫
⊆ ⎪⎝⎭
，，，
所以函数()f x 在()12，上单调递减，对任意1+2x ⎛⎫
∈∞ ⎪⎝⎭
，，都有01a x <<，所以112a x <+<．所以
()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即1ln 1101a a a x x ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭+，所以ln 1a a a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，即1ln 1a x x a
⎛⎫
+< ⎪+⎝⎭，所以()ln 11a x a x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，即ln 11x a
a x +⎛⎫
+<
⎪⎝⎭
，所以1e x a
a x +⎛⎫
+< ⎪
⎝⎭
．。