【试题】江西省新余市2018届高三第二次模拟考试数学理试题含Word版含解析

【关键字】试题
余市2018年高三“二模”考试
数学试题卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，
∴．选D．
2. 已知复数满足：则复数的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，
∴，
∴复数的虚部为1．选C．
3. 已知下列命题：
①在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值范围概率为，则在内取值的概率为；
②若，为实数，则“”是“”的充分而不必要条件；
③已知命题，，则是：
，；
④中，“角，，成等差数列”是“”的充分不必要条件；其中，所有真命题的个数是（）
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
【答案】C
【解析】对于①，根据正态曲线的对称性可得，故，即①正确．
对于②，，故“”是“”的既不充分也不必要条件．故②不正确．
对于③，由题意得是：，，故③不正确．
对于④，“角，，成等差数列”等价于；由得，即，当，即时等式成立．当，可得．即“”等价于“或”，所以“角，，成等差数列”是“”的充分不必要条件，故④正确．
综上可得①④正确．选C．
4. 从中不放回地依次取个数，事件“第一次取到的是奇数”“第二次取到的是奇数”，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，
∴．选A．
5. 为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的名学生中选派名学生参加，且当这名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么不同的朗诵顺序的种数为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】6名学生选派4名参加，共有种，当甲乙丙都参加且甲乙朗诵次序相邻时，共有种数，由去杂法可知所求不同的朗诵顺序的种数为,选B.
6. 在的展开式中，项的系数等于，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，必须，，的系数为，解得，所以
【点睛】本题主要考查多项式的展开式，考查定积分计算.由于本题多项式的次方的式子中，有一个，这个数的指数很大，采用二项式定理展开，写出通项的后可知它的指数一定是，才能使得存在的项，由此可求得，进而求得的值，最后求得定积分.
7. 在如图所示的程序框图中，若输入的，，则输出的结果为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，第四次循环：，第五次循环：，第六次循环：，结束循环，输出，选C.
8. 已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，画出函数
的图象．
结合图象可得，当直线为x轴时，满足条件，此时；当直线经过点时，不再满足条件．故m 的取值范围为．选D．
9. 斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于，两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（）
A. 为定值
B. 为定值
C. 点的轨迹为圆的一部分
D. 点的轨迹是圆的一部分
【答案】C
【解析】由题意知抛物线的焦点为，故直线的方程为，
由消去y整理得，
设，
则，
∴．
选项A中，，为定值．故A正确．
选项B中，，为定值，故B正确．
选项C中，由消去k得，故点的轨迹不是圆的一部分，所以C不正确．
选项D中，由于，直线过定点，所以点Q在以为直径的圆上，故D正确．综上选C．
点睛：
（1）解答圆锥曲线中的综合性问题时，要根据题目的要求逐步进行求解，解题过程中对于常见的一些结论要注意合理地运用，以减少计算量、提高解题的速度．
（2）本题中的轨迹问题，一种解法是直接计算，另一种方法是根据曲线的定义进行判断，解题时要注意观察动点所满足的特点，并作出正确的判断．
10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题设中提供的三视图中图形信息与数据信息可知该几何体是两个三棱锥的的拼合体，如图，其外接球的球心在中点上，由于都是以为斜边的直角三角形，所以
，而，故，所以几何体的外接球的面积，应选答案D。

11. 已知椭圆，，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足，的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，
由，可得G为的重心，
即有G点坐标为，
由，可得IG∥x轴，
即有I的纵坐标为，
在中，，
则．
因为I为的内心，故有I的纵坐标即为内切圆半径，
所以，
故，
即，
整理得，
故椭圆C的离心率．选B．
点睛：
（1）本题中的向量条件较多，解题时要根据所给的向量式得到相应的位置和数量关系，如在本题中得到点G为三角形的重心是解题的关键，并由此得到内心的纵坐标，然后利用面积的两种不同表现方式得到2c=a，从而得到离心率．
（2）求椭圆的离心率或其范围时，将提供的条件中的几何关系转化为关于椭圆的基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式可得所求．
12. 定义：如果函数在区间上存在，满足，
，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
∵函数是区间上的双中值函数，
∴区间上存在，
满足
∴方程在区间有两个不相等的解，
令，
则，
解得
∴实数的取值范围是.
故答案为．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量，，，若，则__________．
【答案】
【解析】∵，，
∴,
又，
∴，解得，
∴，
∴．
答案：
14. 若实数，满足不等式组，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
①当时，，可得，平移直线，结合图形可得当直线经过可行域内的点B（1,0）时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，且．
②当时，，可得，平移直线，结合图形可得当直线经过可行域内的点时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，且．
综上．
答案：
点睛：
解答线性规划问题时，首先要熟练画出可行域，然后把目标函数适当变形，把所求最值问题转化为求直线的斜率、截距、点到直线的距离等去解决．在本题中，由于目标函数中含有绝对值，故在解题时要根据x的取值把绝对值去掉后再求解，求得最值后要进行比较再确定所求的值．
15. 在中，内角，，的对边分别为，,,,,则__________．【答案】
【解析】依据题设可得，由正弦定理余弦定理可得，
即，也即与联立可得，故，应填答案。

点睛：本题解决的思路是先运用同角三角函数之间的关系将切化弦，再运用正弦定理余弦定理将其化为边的关系，进而借助题设中的等式建立方程组，通过解方程组使得问题巧妙获解。

16. 对于函数，下列个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写上）．
（1）任取，都有；
（2）函数在上单调递增；
（3），对一切恒成立；
（4）函数有个零点；
（5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则.
【答案】（1）（4）（5）
【解析】由题意，得的图象如图所示，
由图象，则任取，,都有
，故（1）正确；函数在上先增后减，故（2）错误；当时，
，即，故（3）错误；在同一坐标系中作出和
的图象，可知两函数图象有三个不同公共点，即函数有3个零点，故（4）正确；
在同一坐标系中作出和的图象，由图象可知当且仅当时，关于的方程有且只有两个不同的实根,，且,关于对称，即；故（5）正确；故填（1）、（4）、（5）.
点睛：在处理函数的零点个数问题时，往往将问题转化为两个基本函数图象的交点个数问题，体现了“方程的根”、“函数的零点”、“图象的交点”之间的等价关系.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求的前项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).
【解析】试题分析：
（1）由数列中与的关系及条件可得，从而可得结论成立．（2）由（1）得
到，故得，然后再由与的关系可求得．（3）由（2）得
，根据数列项的特点，选择并项的方法求和，但需要对n进行分类讨论．试题解析：
（1）由题意知，即，①
当n≥2时，有a n=S n﹣S n﹣1，代入①式得
，
整理得（n≥2）．
又当n=1时，由①式可得S1=1；
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得，
∵数列{a n}是各项都为正数，
∴，
∴当n≥2时，，
又满足上式，
∴．
（3）由（2）得，
当n为奇数时，
当n为偶数时，
∴数列{b n}的前n项和．
点睛：
（1）由S n和a n的关系求通项公式是一种常见题型，解题时要熟练掌握由S n求a n的纽带：，根据题目已知条件，消掉S n或a n，通过构造等差数列或等比数列进行求解．
（2）对于数列的求和问题，解题时要注意分析观察数列项的特点，然后选择适合的方法求解，当数列的项中含有或等字样时一般要对n进行分类讨论求解，然后判断结果是否
能写成统一的形式，否则则写成分段的形式．
18. “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的人（男、女各人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
步量
0~2000 2001~5000 5001~8000 8001~10000 >10000
性别
男 1 2 3 6 8
女0 2 10 6 2
（1）已知某人一天的走路步数超过步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
积极型懈怠型总计
男
女
总计
附：，
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706
3.841 5.024 6.635
（2）若小王以这位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选人，其中每日走路不超过步的有人，超过
步的有人，设，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：
（1）有条件中给出的数据可得列联表，求得后根据临界值表中的数据可得判断．（2）由题意得从小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过步的概率为，超过步
的概率为．然后判断得到随机变量的所有可能取值，分别求出概率后得到分布列，然后求得期望。

..............................
试题解析：
（1）由题意得列联表为：
积极型懈怠型总计
男14 6 20
女8 12 20
总计22 18 40
由表中数据可得
，
故没有95%以上的把握认为认为“评定类型”与“性别”有关．
（2）由条件知，从小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过步的概率为，超过步的概率为．
由题意得的所有可能取值为0,1,2．
，
,
故随机变量的分布列为：
所以．
19. 已知四棱锥，底面为菱形，，为上的点，过的平面分别交，
于点，，且平面.
（1）证明：；
（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】【试题分析】（1）连结交于点，连结．根据菱形有，根据等腰三角
形有，所以以平面，.利用线面平行的性质定理有，故，所以.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量来计算二面角的余弦值.
【试题解析】
（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、
的中点，因为，所以，
因为且平面，所以平面，
因为平面，所以．
因为平面，平面，且平面平面，
所以，所以．
（2）由（1）知且，因为，且为的中点，
所以，所以平面，所以与平面所成的角为，
所以，所以，因为，所以．
分别以，，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则
，
所以．
记平面的法向量为，则，
令，则，所以，
记平面的法向量为，则，
令，则，所以，
记二面角的大小为，则．
所以二面角的余弦值为．
20. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求直线与曲线围成的区域面积；
（2）点在直线上，点，过点作曲线的切线、，切点分别为、，证明：存在常数，使得，并求的值.
【答案】(1)；(2)答案见解析。

【解析】试题分析：
（1）根据直接法求得曲线方程为，解方程组得到直线和曲线C的交点坐标，根据定积分可求得面积．（2）设、，结合题意求得切线的方程，根据切线方程的特点求出直线的方程，将直线的方程与联立消元后得到二次方程，根据根与系数的关系求得和后比较可得，从而得到结论．
试题解析：
（1）设动圆圆心的坐标为，
由题意可得，
化简得，
故曲线的方程为．
由，解得或，
所以直线与曲线围成的区域面积为．
（2）设、，
则由题意得切线的方程为，切线的方程为，设点，从而有，
所以可得直线AB的方程为
即．
由消去y整理得，
又，
所以，
所以，
故，
= ，
所以．
故存在常数，使得成立．
点睛：
（1）解析几何中证明问题的解法和其他问题类似，解题时可借助相关参数将所证问题代数化，主要是通过计算验证的方法进行．
（2）解决探索性问题的步为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
21. 已知函数（为自然对数的底数）.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，且方程在内有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数求解；(2)借助题设条件运用导数的知识构造函数求解.
试题解析：
（1）当,所以,时,的单调递减区间为；时,的单调递增区间为,递减区间为；时,
的单调递增区间为,递减区间为.
（2）由得.由得,设,则在内有零点.设为在内的一个零点,则由、知在区间
和上不可能单调递增,也不可能单调递减,设,则在区间和上均存在零点,即在上至少有两个零点.
.
当时,在区间上递增,不可能有两个及以上零点；当时,
在区间上递减,不可能有两个及以上零点；
当时,得所以在区间上递减,在上递
增,在区间上存在最小值,若有两个零点,则有：.
,设,则,令,得,当时,递增, 当
时,
递减,恒成立.
由,得.
当时,设的两个零点为,则在递增,在递减,在递增,所以
,则在内有零点.
综上,实数的取值范围是.
考点：导数在研究函数的单调性和极值最值等方面的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求函数的单调区间问题,由于,因此解答时先求导后对参数进行讨论,判定导函数值的符号,确定函数的单调性,进而求出的单调区间；第二问运用,将两个参数变为一个,然后构造函数,进而将问题进行等价转化,最后借助题设条件求出参数的取值范围是.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为
，直线的参数方程为（为参数），直线和圆交于，两点.
（1）求圆心的极坐标；
（2）直线与轴的交点为，求.
【答案】(1)；(2)8.
【解析】试题分析：
（1）把圆的极坐标方程化为直角坐标方程后得到圆心的直角坐标，然后再化为极坐标．（2）将直线的参数化为过与x轴交点的形式，然后代入圆的普通方程得到关于参数的二次方程，再根据参数的几何意义求解．
试题解析：
（1）由,得,
故得,
所以圆的普通方程为,
所以圆心坐标为,圆心的极坐标为.
（2）把化为普通方程得，
令得点Ｐ坐标为，
故直线的参数方程可化为，
代入整理得，
所以点A、B对应的参数分别为，
所以．
法二：把化为普通方程得，
令得点Ｐ坐标为，又因为直线恰好经过圆C的圆心，
故．
23. 设不等式的解集为，.
（1）证明：；
（2）比较与的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】试题分析：（1）利用绝对值不是的解法求出集合，利用绝对值三角不等式直接证明；（2）利用（1）的结果，说明的范围，比较与两个数的平方差的大小，即可得到结果．
试题解析：（1）记
由，解得，则．
所以．
（2）由（1）得，
因为，
所以．
故，
考点：绝对值不等式的求解；不等式的证明．
此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。