Gold码特性研究

Gold 序列是 m 序列的复合码序列，它是由两个码长相等、码时钟速率相同
的 m 序列优选对的模 2 和序列构成。每改变两个 m 序列相对位移就可得到一个 新的 Gold 序列。 当相对位移 1, 2, , 2 r 1 个比特时， 就可以得到一族 2r 1 个 Gold 序列，加上原来的两个 m 序列，共有 2r 1 个 Gold 序列，即
2r 1 。Gold 码族同族内互相关函数取值已有理论结果，且具有三值互相关函数
的特性。但是不同 Gold 码族之间的互相关函数取值已不是三值而是多值，而且 互相关值已大大超过了同族内部的互相关值。
2.3.4 平衡 Gold 序列
Gold 序列就其平衡性来讲，可以分为平衡码序列和非平衡码序列。在一个
Rab ( ) max
1 1 r2 2 r 2 2 2 1
r为奇数 r为偶数且不是4的倍数
(5)
则 F1 ( x ) 与 F2 ( x) 所产生的 m 序列 ai 与 bi 构成 m 序列优选对。
2.3.2 m 序列优选对的寻找
本试验在求取相关函数的过程中， 我们利用的是 2 个序列循环移位相加的形 式得到结果的，并且自相关函数是归一化的，而互相关函数则未进行归一化。 本项实验利用前面抽取获得的 m 序列，依次检查两项之间的互相关函数是
r 1
1 （例如当 r 5 时，平衡 Gold 序列中应该有 17 个 1 元素，16 个 0
元素，相加的结果就为 17） ，则为平衡 Gold 序列，否则为不平衡 Gold 序列。记 录下族内平衡和非平衡 Gold 序列个数再与理论值对比。
2.4 Kasami 序列
Kasami 序列分为 Kasami 小集序列和 Kasami 大集序列。 下面侧重介绍 Kasami
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数有关。理论分析已经表明，对于两个长度相同结构不同的 m 序列之间的互相 关值，当 取自于统一陪集中的数值时，所求的互相关值相同。
2.1.4 m 序列的构造
构造一个产生 m 序列的线性移位寄存器，首先要确定本原多项式。本原多 项式确定后，根据本原多项式可构造出 m 序列移位寄存器的结构逻辑图。 本原多项式的寻找是在所有 r 次多项式中去掉其中的可约多项式，在剩余的 r 次不可约多项式中，根据本原多项式的定义用试探的办法，查看其产生的序列 是否为 m 序列。若产生的序列是 m 序列，则该多项式为本原多项式，否则就不 是本原多项式。这一方法可以通过计算机编程来实现。
2.2 抽取 m 序列
由参考文献可知，给定一个最大周期的 r 级线性移位寄存器序列，可以从中 抽取出所有可能的最大周期的 r 级线性移位寄存器序列。即给定一 r 级 m 序列， 可以抽取出其他所有 r 级的 m 序列。
2.2.1 抽取 m 序列定义
设原 m 序列 u {u0 , u1 , u2 , , u N 1} ，序列 u q 为对 m 序列 u 进行等间隔采 样，采样间隔为 q 。即 u q {u0 , uq , u2 q , u3q } 。我们定义这个过程为 m 序列的 抽取过程。
2.1.1 m ห้องสมุดไป่ตู้列的定义
r 级非退化的移位寄存器的组成如图 1 所示，移位时钟源的频率为 Rc 。 r 级
线性移位寄存器的反馈逻辑可用二元域 GF(2)上的 r 次多项式表示
f ( x) c0 c1 x c2 x 2 cr x r
ci {0,1}
(1)
1
2
r
ai 1
c0 c1
2.2.2 m 序列抽取性质
（1） u q u 2i q ，即按照采样间隔为 q 和按照 q 二的倍数间隔采样得到 是处在不同相位的同一组序列。 （2）当以间隔 q 对一个 m 序列采样时，新得到的序列的周期为
Nv
N 。即当 gcd( N , q )=1 时抽取获得的序列满足 N v 2r 1 ，即抽取所得 gcd( N , q )
R( )
1 N 1 ( ) ( kNTc ) N N Tc k
(4)
2.1.3 m 序列的互相关函数
互相关函数是信号分析里的概念， 表示的是两个时间序列之间和同一个时间 序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度。 然而， m 序列的互相关函数不 具有理想的双值特性。 m 序列的互相关函数是指长度相同而序列结构不同的两个 m 序列之间的相关函数。研究表明，长度相同结构不同的 m 序列之间的互相关 函数不再是双值函数，而是一个多值函数。互相关函数值的个数与分元培集的个
2.3.1 m 序列优选对
m 序列优选对，是指在 m 序列集中，其互相关函数绝对值的最大值(称为峰
值互相关函数) R( ) max 最接近或达到互相关值下限的一对 m 序列。 设 ai 是应对于 r 次本原多项式 F1 ( x ) 所产生的 m 序列， bi 是对应于 r 次本 原多项式 F2 ( x) 所产生的另一 m 序列，当序列 ai 与 bi 的峰值互相关函数(非归 一化) Rab ( ) max 满足下列关系：
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第 2 章 实验原理
2.1 m 序列
伪随机信号既有随机信号所具有的优良的相关性， 又有随机信号所不具备的 规律性。因此，伪随机信号既易于从干扰信号中被识别和分离出来，又可以方便 地产生和重复，其相关函数接近白噪声的相关函数。 m 序列又叫做伪随机序列、伪噪声(PN)码或伪随机码。可以预先确定并且可 以重复实现的序列称为确定序列； 既不能预先确定又不能重复实现的序列称随机 序列；不能预先确定但可以重复产生的序列称伪随机序列。二元 m 序列是一种 伪随机序列， 有优良的自相关函数， 是狭义伪随机序列。 m 序列易于产生于复制， 在扩频技术中得到了广泛应用。 m 序列是目前广泛应用的一种伪随机序列， 其在 通信领域有着广泛的应用，如扩频通信，卫星通信的码分多址，数字数据中的加 密、加扰、同步、误码率测量等领域。
ai 2
c2
ai r
cr 1
cr
图 2-1 r 级线性移位寄存器 式(1)称为线性移位寄存器的特征多项式，其给出的表示反馈网络的而逻辑 关系式是现行的。因此成为线性移位寄存器。
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对于动态线性移位寄存器， 其反馈逻辑也可以用线性移位寄存器的递归关系 式来表示 ai c1ai 1 c2 ai 2 c3 ai 3 cr ai r ci {0,1} (2)
以式 (1) 为特征多项式的 r 级线性反馈移位寄存器所产生的序列，其周期
N 2r 1 。假设以 GF(2)域上 r 次多项式(1)为特征多项式的 r 级线性移位寄存器
所产生的非零序列 {ai } 的周期为 N 2 r 1 ，称序列为 {ai } 是最大周期的 r 级线性 移位寄存器序列，简称 m 序列。
周期内，平衡码序列中 1 码元与 0 码元的个数之差为 1，非平衡码元中 1 码元与
0 码元的个数之差多余 1。在扩频通信中，对系统质量影响之一就是扩频码的平
衡性，平衡码具有更好的频谱特性。在直接序列系统中码的平衡性与载波的抑制 度有密切的联系。码不平衡时直接序列系统的载波泄露增大，这样就破坏了扩频 系统的保密性、抗干扰与侦破能力。
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Harbin Institute of Technology
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课程名称： 实验题目： 院 班 姓 学 时 系： 级： 名： 号：
迟永钢 2013 年 5 月 扩频通信 Gold 码特性研究 电信学院
指导教师： 间：
哈尔滨工业大学
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第 1 章 实验内容
1. 2. 3. 以 r=6 1 103F 为基础，抽取出其他 m 序列，请详细说明抽取过程； 画出 r=6 全部 m 序列移位寄存器结构，并明确哪些序列彼此是互反多项式； 在生成的 m 序列集中，寻找出 m 序列优选对，确定优选对数量，并画出它 们自相关和互相关函数图形； 4. 依据所选取的 m 序列优选对生成所有 Gold 序列族， 确定产生 Gold 序列族的 数量，标出每个 Gold 序列族中的所有序列，并实例验证（选取 3 个就可） 族内序列彼此的自相关和互相关特性； 5. 在每个 Gold 序列族内，明确标出平衡序列和非平衡序列，并验证其分布关 系； 6. 生成 r=6 的 Kasami 小集序列，分别列出各序列，给出自相关和互相关计算 值，并与同等长度的 Gold 序列和 m 序列加以比较。
2.3 Gold 序列
Gold 序列是 m 序列的复合码序列，由两个码长相等、码时钟速率相同的 m
序列优选对的模 2 和序列构成.每改变两个 m 序列相对位移就可得到一个新的
Gold 序列。 Gold 序列具有良好的自相关与互相关特性，可以用作地址码的数量远大于 m 序列，而且易于实现、结构简单，因而在工程上得到广泛的应用。
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否满足式（5） ，若满足，即为优选对，最后记录下优选对的个数和每一对的八进 制表示。
2.3.3 Gold 序列族
在给定了移位寄存器级数 r 时，总可以找到一对互相关函数值是最小的码序 列，采用移位相加的方法构成新的码组，其互相关旁瓣都很小，而且自相关函数 与互相关函数均是有界的。这一新的码组被称为 Gold 码或 Gold 序列。
小集序列。 由本原多项式 hu(x)产生的 m 序列 u，周期为 N=2n-1，其中 n 为偶数。如上 述对抽取 m 序列的介绍，序列 u q 为对 m 序列 u 进行等间隔采样，采样间隔为
图310优选对1的互相关函数扩频通信实验报告图311优选对2的互相关函数图312优选对3的互相关函数扩频通信实验报告图313优选对4的互相关函数图314优选对5的互相关函数扩频通信实验报告图315优选对6的互相关函数图316优选对7的互相关函数扩频通信实验报告图317优选对8的互相关函数图318优选对9的互相关函数扩频通信实验报告由这些互相关曲线可以看出m序列优选对的互相关性具有为奇数为偶数但不是的整倍数34gold序列族生成结果及其分布关系341gold序列生成及平衡性结果每个m序列优选对可以产生2个gold序列构成一个gold序列族
Gr 2r 1
(6)
产生 Gold 序列的移位寄存器结构有两种形式。一种是乘积型的，即将 m 序 列优选对的两个特征多项式的乘积多项式作为新的特征多项式，根据此 2r 次多 项式构成新的线性移位寄存器。另外一种是直接求两 m 序列优选对输出序列的 模 2 和序列。由于这样产生的复码的后期是组成复码的子码周期的最小公倍数， 由于组成复码 Gold 序列的子码的周期都是 2r 1 ，所以 Gold 码序列的周期是
为 m 序列。
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2.2.3 抽取 m 序列设计
2r 2 ，使用 Matlab 抽取获得这 2r 2 对 r 级 m 序列抽取的 q 可以取为 1, 2, …,
个序列。如果某序列移位循环 k 位与另一序列相同，则它们是处于不同相位的同 一 m 序列，将它们对应的 q 归为一类。
2.1.2 m 序列的自相关函数
m 序列的自相关函数为
1 R ( ) 1 N
mN mN
(3)
但是(3)式给出的是 m 序列的自相关函数，并不是 m 码的自相关函数。首先 将 m 序列变换为 m 码。将 m 序列的每一比特换为宽度为 Tc (Tc 1/ Rc ) 、幅度为 1 的波形函数，当 m 序列为 0 元素时，波形函数取正极性，否则取负极性。通过 这样的变换后，周期为 N 的 m 序列就变为宽度为 Tc 、周期为 NTc 的 m 码。下面 计算 m 码的自相关函数。 已知 m 码的自相关函数 R ( ) 是一个周期函数，其周期为 N，经过计算可以 写出：在 Tc ( N 1)Tc 区间内 m 码的自相关函数表达式为
Gold 序列是 m 序列的复合码序列，它是由两个码长相等、码时钟速率相同
的 m 序列优选对模 2 和或模 2 乘法构成。本报告采用模 2 加法实现。利用前面 获得的优选对，每改变两个序列相对位移就可得到一个新的 Gold 序列。当相对
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位移 1, 2, , 2r 1 个比特时，就可以得到一族 2r 1 个 Gold 序列，加上原来 m 序 列优选对，共有 2r 1 个 Gold 序列，构成一个 Gold 序列族。最后记录并求其族 内序列的自相关函数和互相关函数。 若 Gold 序列中元素 1 的个数比元素 0 的个数多且仅多一个，那么这个 Gold 序列就是平衡 Gold 序列。 那么将所得到 Gold 序列一周期内的元素相加（序列采用+1，0 表示） ，若结 果为 2