运筹学习题集

第一章线性计划
1．1将下述线性计划问题化成标准形式
1)min z＝－3x1＋ 4x2－ 2x3＋ 5 x4
4x1－ x2＋ 2x3－x4 ＝－2
st. x1＋ x2－ x3＋ 2 x4 ≤ 14
－2x1＋ 3x2＋ x3－ x4 ≥ 2
x1，x2，x3≥ 0，x4 无约束
2)min z ＝ 2x1－2x2＋3x3
－ x1＋ x2＋ x3＝ 4
st. －2x1＋ x2－ x3≤ 6
x1≤0 ，x2≥ 0，x3无约束
1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解仍是无可行解。

1)min z＝2x1＋3x2
4x1＋6x2≥6
st2x1＋2x2≥4
x1，x2≥0
2)max z＝3x1＋2x2
2x1＋x2≤2
st3x1＋4x2≥12
x1，x2≥0
3)max z＝3x1＋5x2
6x1＋10x2≤120
st5≤x1≤10
3≤x2≤8
4)max z＝5x1＋6x2
2x1－x2≥2
st－2x1＋3x2≤2
x1，x2≥0
1．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确信最优解
（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4
x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4＝7 st 2x 1＋2x 2＋x 3 ＋2x 4＝3 x 1，x 2，x 3，x 4≥0
1．4 别离用图解法与单纯形法求解以下LP 问题，并对照指出最优解所对应的极点。

1) maxz ＝10x 1＋5x 2 3x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥0
2) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥0
1．5 别离用大M 法与两时期法求解以下LP 问题。

1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥0
2) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3
. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4
x 1＋ x 2－ x 3＝5
3) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥0
123123
123123123
4)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨
++
≥⎪⎪≥⎩
1．6
求下表中a ～l 的值。

某班有男生30人，女生20人，周日去植树。

依照体会，一天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。

问应如何安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？请成立此问题的线性计划模型，没必要求解。

某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。

已知各类牌号糖果中A、B、C含量，原料本钱，各类原料的每一个月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。

问该厂每一个月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试成立此问题的线性计划的数学模型。

甲乙丙原料本钱(元/千克) 每一个月限量（千克）
A ≥60％≥15％2000
B 2500
C ≤20％≤60％≤50％1200
加工费（元/千克）
售价
某商店制定7－12月进货售货打算，已知商店仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每一个月初进货一次，假设各月份此商品买进售出单价如下表所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多？请成立此问题的线性计划模型。

月份7 8 9 10 11 12
买进单价28 24 25 27 23 23
售出单价29 24 26 28 22 25
某厂接到生产A、B两种产品的合同，产品A需200件，产品B需300件。

这两种产品的生产都通过毛坯制造与机械加工两个工艺时期。

在毛坯制造时期，产品A每件需要2小时，产品B每件需要4小时。

机械加工时期又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B需粗加工7小时，精加工12小时。

假设毛坯生产时期能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。

又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时别离为每小时3元、3元、2元。

另外在粗加工时期许诺设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时刻内每小时增加额外本钱4.,5元。

试依照以上资料，为该厂制订一个本钱最低的生产打算。

某公司有三项工作需别离招收技工和力工来完成。

第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。

第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。

第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。

已知技工和力工每周工资别离为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数别离为42和36。

为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：第
一项工作10000小时。

第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。

又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。

试成立数学模型，确信招收技工和力工各多少人。

使总的工资支出为最少(
第二章对偶与灵敏度分析
2．1写出以下线性计划问题的DLP
1)minz＝2x1＋2x2＋4x3
x1＋3x2＋4x3≥2
st 2x1＋x2＋3x3≤3
x1＋4x2＋3x3＝5
x1，x2≥0，x3无约束
2)max z＝5x1＋6x2＋3x3
x1＋2x2＋2x3＝5
st－x1＋5x2－x3≥3
4x1＋7x2＋3x3≤8
x1无约束，x2≥0，x3≤0
3)max z＝c1x1＋c2x2＋c3x3
a11x1＋a12x2＋a13x3≤b1
st a21x1＋a22x2＋a23x3＝b2
a31x1＋a32x2＋a33x3≥b3
x1≥0，x2≤0，x3无约束
2．2关于给出的LP：
minz＝2x1＋3x2＋5x3＋6x4
x1＋2x2＋3x3＋x4≥2
st－2x1＋x2－x3＋3x4≤－3
x j≥0 （j=1,2,3,4）
1)写出DLP；
2)用图解法求解DLP；
3)利用2）的结果及依照对偶性质写出原问题的最优解。

2．3关于给出LP：
maxz＝x1＋2x2＋x3
x1＋x2－x3≤2
st x1－x2＋x3＝1
2x1＋x2＋x3≥2
x1≥0，x2≤0，x3无约束
1)写出DLP；
2)利用对偶问题性质证明原问题目标函数值Z≤1
2．4已知LP：
max z＝x1＋x2
－x1＋x2＋x3≤2
st－2x1＋x2－x3≤1
x j≥0
试依照对偶问题性质证明上述线性问题目标函数值无界。

2．5 给出LP ： maxz ＝2x 1＋4x 2＋x 3＋x 4 x 1＋ 3x 2 ＋x 4 ≤8 2x 1＋ x 2 ≤6 st. x 2 ＋ x 3＋ x 4≤6
x 1＋ x 2 ＋ x 3 ≤9 x j ≥0
1) 写出DLP ；
2) 已知原问题最优解X ＝（2,2，4,0），试依照对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

2．6 用对偶单纯形法求解以下线性计划问题
1) minz ＝4x 1＋12x 2＋18x 3 x 1 ＋3x 3 ≥3
st 2 x 2＋2x 3 ≥5 x j ≥0 (j=1,2,3)
123123123123
2)min 524324.63510,,0z x x x x x x st x x x x x x =++++≥⎧⎪
++≥⎨⎪≥⎩
2．7
考虑如下线性计划问题 minz ＝60x 1＋40x 2＋80x 3 3x 1＋2x 2＋ x 3 ≥2 st 4x 1＋ x 2＋3x 3 ≥4 2x 1＋2x 2＋2x 3 ≥3
x j ≥0 1) 写出DLP ；
2) 用对偶单纯形法求解原问题； 3) 用单纯形法求解其对偶问题； 4) 对照以上两题计算结果。

2．8 已知LP ：maxz ＝2x 1－x 2＋x 3 x 1＋ x 2＋ x 3≤6 st －x 1＋2x 2 ≤4
x 1，x 2，x 3≥0 1) 用单纯形法求最优解
2) 分析当目标函数变成maxz ＝2x 1＋3x 2＋x 3时最优解的转变； 3) 分析第一个约束条件右端系数变成3时最优解的转变。

2．9给出线性计划问题
maxz＝2x1＋3x2＋x3
1/3x1＋1/3x2＋1/3x3≤1
st 1/3x1＋4/3x2＋7/3x3≤3
x j≥0
试分析以下各类条件下，最优解（基）的转变：
1)目标函数中变量x3的系数变成6；
2)别离确信目标函数中变量x1和x2的系数C1、C2在什么范围内变更时最优解不变；
3)约束条件的右端由 1 变为 2 ；
3 3
某厂生产甲、乙两种产品，需要A、B两种原料，生产消耗等参数如下表（表中的消耗系
（1）请构造数学模型使该厂利润最大，并求解。

（2）原料A、B的影子价钱各为多少。

（3）现有新产品丙，每件消耗3千克原料A和4千克原料B，问该产品的销售价钱至少为多少时才值得投产。

（4）工厂可在市场上买到原料A。

工厂是不是应该购买该原料以扩大生产？在维持原问题最优基的不变的情形下，最多应购入多少？可增加多少利润？
某玩具公司别离生产三种新型玩具，每一个月可供量别离为1000、2000、2000件，它们别离被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。

已知每一个月百货商店各类玩具预期销售量均为1500件，由于经营方面缘故，各商店销售不同玩具的盈利额不同,见下表。

又知丙百货商店要求至少供给C玩具1000件，而拒绝进A玩具。

求知足上述条件下使总盈利额最大的供销分派方案。

甲乙丙可供量
A 5 4 －1000
B 16 8 9 2000
C 12 10 11 2000
第三章 运输问题
3．1
3．
23．3
某市有三个面粉厂，他们供给三个面食加工厂所需的面粉，各面粉厂的产量、各面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价，均式于下表。

假定在第1，2和3面食加工厂制作单位面粉食物的利润别离为12元、16元和11元，试确信使总效益最 光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。

已知1至6月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表：
已知上年末库存103台绣花机，
若是当月生产出来的机械当月不交货，那么需要运到分厂库
房，每台增加运输本钱万元,每台机械每一个月的平均仓储费、保护费为万元。

在7--8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台。

加班生产机械每台增加本钱1万元。

问应如何安排1--6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓储、保护）最少？
设有A 、B 、C 三个化肥厂供给1、2、3、4四个地域的农用化肥。

假设成效相同，有关数据如下表：
试求总费用为最低的化肥挑唆方案
第四章 动态计划
4．1 现有天然气站A ，需铺设治理到用气单位E ，能够选择的设计线路如以下图，B 、C 、D 各点是中间加压站，各线路的费用如图所标注（单位：万元），试设计费用最低的线路。

4．2 一艘货轮在A 港装货后驶往F 港，半途需靠港加油、加淡水三次，从A 港到F 港
全数可能的航运线路及两港之间距离如图，F 港有3个码头F 1，F 2，F 3，试求最合理停泊的码头及航线，使总路程最短。

F
4．3某公司有资金4万元，可向A、B、C三个项目投资，已知各项目的投资回报如下，
项目
投资额及收益
0 1 2 3 4
A 0 41 48 60 66
B 0 42 50 60 66
C 0 64 68 78 76
某厂有1000台机械，高负荷生产，产品年产量S1与投入机械数Y1的关系为S1＝8Y1，机械完好率为；低负荷生产，产品年产量S2与投入机械数Y2的关系为S2＝5Y2，机械完好率为；请制定一个五年打算，使总产量最大。

某厂预备持续3个月生产A种产品，每一个月初开始生产。

A的生产本钱费用为x2，其中x 是A产品当月的生产数量。

仓库存货本钱费是每一个月每单位为1元。

估量3个月的需求量别离为d1＝100，d2＝110，d3＝120。

现设开始时第一个月月初存货s0＝0，第三个月的月末存货s3＝0。

试问：每一个月的生产数量应是多少才使总的生产和存货费用为最小。

某公司为要紧电力公司生产大型变压器，由于电力采取预订方式购买，因此该公司能够预测以后几个月的需求量。

为确保需求，该公司为新的一年前四个月制定一项生产打算，这四个月的需求如表1所示。

生产本钱随着生产数量而转变。

调试费为4，除调度费用外，每一个月生产的头两台各花费为2，后两台花费为1。

最大生产能力每一个月为4台，生产本钱如2所示。

表1
表2
某工厂生产三种产品，各类产品重量与利润关系如下表，现将此三种产品运往市场出售，运
产品重量（t/件）利润（千元/件）
1 2 80
2 3 130
3 4 180
用动态计划方式求解
2
123
123123max 49224310,,0
z x x x x x x x x x =++++≤⎧⎨
≥⎩
第五章 存储论
5．1 某建筑工地每一个月需用水泥800t ，每t 定价2000元，不可缺货。

设每t 每一个月保管费率为%，每次订购费为300元，求最正确订购批量、经济周期与最小费用。

5．2 一汽车公司每一年利用某种零件150，000件，每件每一年保管费元，不许诺缺货，试比较每次订购费为1,000元或100元两种情形下的经济订购批量、经济周期与最小费用。

5．3 某拖沓机厂生产一种小型拖沓机，每一个月可生产1000台，但对该拖沓机的市场需要量为每一年4,000台。

已知每次生产的预备费用为15,000元，每台拖沓机每一个月的存贮费为10元，许诺缺货（缺货费为20元/台月），求经济生产批量、经济周期与最小费用。

5．4 某产品每一个月需求量为8件，生产预备费用为100元，存贮费为5元/月件。

在不许诺缺货条件下，比较生产速度别离为每一个月20件和40件两种情形下的经济生产批量、经济周期与最小费用。

5．5 对某种电子元件每一个月需求量为4,000件，每件本钱为150元，每一年的存贮费为本钱的10%，每次订购费为500元。

求： （1） 不许诺缺货条件下的最优存贮策略；
（2） 许诺缺货（缺货费为100元/件年）条件下的最优存贮策略。

5．6 某农机维修站需要购一种农机配件，其每一个月需要量为150件，订购费为每次400元，存贮费为元/件月，并非许诺缺货。

（1） 求经济订购批量、经济周期与最小费用；
（2） 该厂为少占用流动资金，希望进一步降低存贮量。

因此，决定使订购和存贮总
费用能够超过原最低费用的10%，求这时的最优存贮策略。

5．7 某公司每一年需电容器15,000个，每次订购费80元，保管费1元/个年，不许诺缺货。

假设采购量少于1000个时，每一个单价为5元，当一次采购1000个以上时每一个单价降为元。

求该公司的最优采购策略。

5．8 某工厂对某种物料的年需要量为10,000单位，每次定货费为2,000元，存贮费率为20%。

该物料采购单价和采购数量有关，当采购数量在2,000单位以下时，单价为100元；当采购数量在2,000及以上单位时，单价为80元。

求最优采购策略。

5．9某制造厂在装配作业中需用一种外购件，全年需求量为300万件，不许诺缺货；一次订购费为100元；存贮费为元/件月。

该外购件进货单价和订购批量Q有关，具体如下表，求最正确订购策略。

5．10试证明：一个许诺缺货的EOQ模型的费用，决可不能超过一个具有相同存贮费、订购费、但又不许诺缺货的EOQ模型的费用。

5．11某时装屋在某年春天欲销售某种流行时装。

据估量，该时装可能的销售量见下表：
该样式时装每套进价180元，售价200元。

因隔季会过时，故在季末需低价抛售完，较有把握的抛售价为每套120元。

问该时装屋在季度初时一次性进货多少为宜？
第六章排队论
6．1某店仅有一个修理工人，顾客抵达进程为Poisson流，平均3人/h，修理时刻服从负指数散布，平均需10min。

求：
（1）店内空闲的概率；
（2）有4个顾客的概率；
（3）至少有1个顾客的概率；
（4）店内顾客的平均数；
（5）等待效劳的顾客的平均数；
（6）平均等待修理时刻；
（7）一个顾客在店内停留时刻超过15 min的概率。

6．2设有一单人打字室，顾客的抵达为为Poisson流，平均抵达时刻距离为20 min ，打字时刻服从负指数散布，平均为15min。

求：
（1）顾客来打字没必要等待的概率；
（2）打字室内顾客的平均数；
（3）顾客在打字室内的平均停留时刻；
（4）假设顾客在打字室内的平均停留时刻超过，那么主人将考虑增加设备及打字员。

问顾客的平均抵达率为多少时，主人材会考虑如此做。

6．3汽车按平均90辆/h的Poisson流抵达高速公路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时刻为38s。

由于驾驶人员反映等待时刻太长，主管部门打算采纳新装置，使汽车通过关卡的平均时刻减少到平均30s。

但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系统中关卡的空闲时刻不超过10%时才是合算的。

依照这一要求，分析采纳新装置是不是合算。

有一个M/M/1/5系统，平均效劳率µ＝10。

就两种抵达率λ＝6，λ＝15已取得相应的概率p n,如下表所示，试就两种抵达率分析：
（1）有效抵达率和系统的效劳强度；
（2）系统中顾客的平均数；
（3）系统的满员率；
（4）效劳台应从哪些方面改良工作，理由是什么？
1。