状态空间_1简介 自动控制原理 浙江大学考研资料

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2. 系统的状态空间模型: Ex.1: R-L Circuit
如图 所示, 只有一个储能元件, 电感 L, 因此只有一个状态变量. 定义状态
变量 x1=i. 输入 u=e, 由回路方程可以得到状态方程
a R b +
iR L di Ri LDi dt e
1 C
vC
id
0
t
e
1 x
和
1 x2 C
di d dt
又
v L v R vC e
2 x
vL L
1 1 R x2 u x1 L L L
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2. 系统的状态空间模型:
1 x2 C 1 R 1 x x x u 2 1 2 Ex.2: R-L-C Circuit L L L 1 x
y v L e Ri Rx 1 u浙江大学控制科 Nhomakorabea与工程学系
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2. 系统的状态空间模型: Ex.2: R-L-C Circuit
如图 所示, 有 2个储能元件, 电感 L 和电容 C, 因此，可以定义两个状态变 量 x1=vc 和 x2=i . 因此需要列写两个状态方程. 令 e=u.
x1 x x 2 n 1
和
a11 A a 21
x 为 n1 的状态向量，本例 中n=2.
a12 0 a 22 1 L
1 C R L n n
A为nn矩阵, 称之为系数矩阵/系统矩阵/ 状态矩阵
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010xx???????????1012121ulxxlrlcxx?????????????????????????????????可以表示为更一般的形式buaxx???其中??和??1其中121????????nxxx和rcaaaa??????????????????11022211211annll?????x为为n??1的状态向量本例中的状态向量本例中n2a为n??n矩阵称之为系数矩阵系统矩阵浙江大学控制科学与工程学系12状态矩阵回顾与简介r11211xcx????其中b称为控制向量n??1因为u是是一的维的sim12
Y (s) C X (s) Y (s) G ( s) C ( sI A) 1 B D U ( s)
若初始状态为 x0 , 则
(t ) Ax(t ) sX ( s) X (0) AX ( s) x
Y (s) Y (s) X (s) C ( sI A) 1 X 0 (s) X (s) X 0 (s)
绘出一条轨迹称为状态轨迹(state trajectory)。
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1. 状态空间基本概念

Continuous-time system (连续时间系统)：x(t) 的定义域为某时
间域 [t0 , t] 内的一切实数。 x (t ) f ( x (t ), u (t ), t )
), x 2 ( t ) ), , x n ( t ) State space(状态空间)：以状态变量 以状态变量 x1 ( t ) 构成 的 n 维空间，称为状态空间。系统在任意时刻的状态向量 x(t) 是状 态空间中的一个点。系统随时间的变化过程，使 态空间中的 个点。系统随时间的变化过程，使 x(t) 在状态空间中描

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2. 系统的状态空间模型:

Ex.4: Circuit
列写如图所示系统状态方程 输入为电流源 i(t)，输出为电压 列写如图所示系统状态方程，输入为电流源 输出为电压 v1
有 5 个储能元件，状态变量数为 状态变量数为 5。可以列写出3个回路方程，两个节点 方程 其中一个电感电流与其它 其中 个电感电流与其它 dv di 两个电感电流相关 . 因此 , i2 C1 1 i1 v1 L1 1 dt dt 只有 4 个独立的状态变量. d dv di 所以这个电路系统的状态 i i3 C2 2 i2 v2 L2 2 v1 dt dt 方程阶数 n=4. di3 di di di v2 L3 L3 3 L2 2 L1 1 L3i3 L2i2 L1i1 K dt dt dt dt
e
L
_
vL
1 u Rx 1 L x
1 x
R 1 x1 u L L
(*)
其中 u 表示输入函数（标准写法），也称之为控制变量. 方程 (*)是系统状 态方程的标准形式. 如果我们定义 如果我们定义一个输出 个输出y, y 则输出方程可以用状态变量 和控制变量来表示. 例如：设 vL=y, 则输出方程为 :
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3. 简介
常规设计方法 和 本章设计方法的区别: 常规设计方法: 基于开环传递函数的分析，通过串级/反馈等手段得到一个好的闭环 响应特性 (根轨迹, 频域特性, etc..)
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3. 简介
闭环零极点设计 (状态反馈) 基于零极点配置方法，获得期望的模型或者闭环特性。换句话说, 采用系统状态反馈的方法 获得期望的系统特性.

Linear system（线性系统）: 状态空间表达式中，f 和 g 均为线 性函数, 若它们与时间无关，则称是线性时不变系统（Linear timeinvariable system）。
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1. 状态空间基本概念

St t variables State i bl representation t ti (状态空间表达式)：将反
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2. 系统的状态空间模型:
1 x2 C 1 R 1 x x x u 2 1 2 Ex.2: R-L-C Circuit L L L 1 x
• 其中 b 称为控制向量(n1) （因为u是 是一维的 维的 (SI, (SI m=1) 1) ， b1 0 在这种情况下b是一个控制向量）. 1 b • 如果 u 是 m维控制向量, i.e., 多输入系统 (MI), 则 B为 b2 L n1 nm 的控制矩阵. 如果输出y(t)是流过电容的电压 vc, 则
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2. 系统的状态空间模型: Ex.3: Circuit

列写如图 所示状态方程, 其中 i2 是系统输出. 定义状态变量为x1= i1 , x2= i2 和 x3=vc . 则可以写出2个回路方程和1个节点方程.
R1
+
L1
vc=x3
C
L2 i2 =x2
R2
回路 1 回路 2 节点
1 x 3 u R 1 x1 L1 x 2 R2 x2 0 x3 L2 x 3 0 x1 x 2 C x
e=u
_
i1 =x1
其中 x1、x2 和 x3 是独立的.
1 x

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R1 1 1 x1 x3 u L1 L1 L1
X ( s) ( sI A) 1 X (0) 浙江大学控制科学与工程学系
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1. 状态空间基本概念

对系统状态的描述通常采用三种方式表达：物理变量, 相变量和正则 变量. 物理变量法: 基于系统的储能元件 每一个储能元件都可以被看作是系统的一个状态变量. 只有 独立的 物理变量才能被选作状态变量. 独立的状态变量是指它们 不能用其他定义的状态变量来表示.
y(t ) vc x1 则系统输出方程为
x1 y (t ) C x Du 1 0 [0][u ] x1 x2
C为ln维, 被称为输出矩阵/观测矩阵， 观测矩阵 D为 lm维, 被称为前馈矩阵/输入输出 矩阵，本例中l=1 ，D =0. 如果y为l1维, 则称之为输出向量(MO). (MO) 这里 y 是一维输出 是 维输出 (SO). (SO)
(t) A x (t) B u(t) x y(t) C x (t)
Du D
State equation Output equation
x( k 1) Ax ( k ) Bu ( k ) y ( k ) Cx ( k ) Du ( k )

(t ) 分别为状态向量及其一阶导数,u(t),y(t)分别为系统 式中, x(t ), x 输 输 , A, , B, , C,D , 分别 分别为具有一定维数的系统矩阵。 具有 定维数 系 矩阵 的输入变量和输出变量
第八章 状态空间模型分析与设计
周立芳 lf h @ii lfzhou@ j d
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内容

回顾与简介 状态空间模型及求解 可控性和可观性 线性变换与标准型 SISO系统状态反馈 状态反馈: 稳态误差分析 SISO系统状态观测器 …………..
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回顾与简介——内容

回顾

状态空间基本概念 状态空间模型

简介

可控性和可观性 状态反馈基本概念 问题
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1. 状态空间基本概念

Input(输入)：由外部施加到系统上的全部激励. Output(输出)：能从外部量测到的来自系统的信息。 State(状态)：所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况.可以认 为是信息的集合。 State variable(状态变量)： 状态变量是指能确定系统运动状态的最 少数目的一组变量。一个用n阶微分方程描述的系统就有n个独立的变 量 当这n个独立变量的时间响应都可以获得时，系统的行为也就完全 量，当这 个独立变量的时间响应都可以获得时 系统的行为也就完全 确定了。因此，由n阶微分方程描述的系统就有n个状态变量。状态变 量具有非唯 性，因为不同的状态变量也能表达同 个系统的行为。 量具有非唯一性，因为不同的状态变量也能表达同一个系统的行为。 要注意的是，状态变量不一定是物理上可观察的量，可以是一个纯数 学量。
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1. 状态空间基本概念

State vector( ecto (状态向量)：若以n个状态变量 x1 (t ), ) x2 (t ) ), , xn (t ) 作为向量x(t)的分量，则x(t)称为状态向量。 阶数为n，也即特征方程的阶数。
x1 (t ) x1 x (t ) x x(t ) 2 2 x xn (t ) xn
映系统动态过程的n阶微分方程，转换成一阶微分方程组的形式， 并利用矩阵和向量来表示 这就是状态方程 将状态方程与描述系 并利用矩阵和向量来表示，这就是状态方程。将状态方程与描述系 统状态变量与系统输出变量之间关系的输出方程一起就构成了状态 空间表达式。下面就是状态空间表达式的标准描述 Continuoustime system Discretetime system
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1. 状态空间基本概念
状态空间模型
(t ) Ax (t ) Bu(t ) x y(t ) Cx (t ) Du
状态方程 输出方程
状态空间模型方框图
传递函数模型
1 ( s ) ( sI A) 1
X (s) ( sI A) 1 B U (s)
R-L-C 电路的状态方程为n个一阶微分方程, n为独立状态个数.
1 0 x x 1 2 L 1 C R L 0 x1 1 x 2 L [u ]
可以表示为更一般的形式 其中
Ax bu x
r
K
要求: 所有的状态必须 可控 控 并且在物理系统中 并且在物 系统中 是 可实现的.
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3. 简介
本章所讲状态变量法的主要目的是 SISO 系统闭环极点配置. 对于高阶系统来说通过将状态方程转换为可控标准型来简化设计过程
y (t ) g ( x (t ), u (t ), t )

Discrete-time system y (离散时间系统)： x( (t) ) 的自变量 t 只能取
到某实数域内的离散值。
x (t k 1 ) f ( x (t k ), u (t k ), t k ) y (t k 1 ) g ( x (t k ), u (t k ), t k )