2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2课件：3.2.2 复数代数形式的乘除运算 Word版

所以它所对应的点位于第四象限.
答案:D
【做一做1-2】 (4-2i)2=
.
解析:(4-2i)2=16-16i+(-4)=12-16i.
答案:12-16i
A.第一象限
第四页，编辑于星期日：点 十八分。
-4-
目标导航
知识梳理
知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.共轭复数的概念
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
1
2-i
2-i
解析:z= 2+i = (2+i)(2-i) = 22 -i2 =
故复数z 对应的点为
2
5
1
2-i
5
1
2+i
重难聚焦
对应的点位于 (
2
典例透析
)
1
= 5 − 5 I,
,- 5 , 它位于第四象限,故选 D.
答案:D
3-2i
【做一做 3-2】 计算: 8+6i .
互为共轭复数.通常记复数z的共轭复数
的两个共轭复
为, 虚部不等于0
数也叫做共轭虚数.
【做一做2】 若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,其中x,y∈R,则
x=
,y=
.
解析:x-2+yi = 3-i = 3x+i,则
答案:-1
-2 = 3,
= -1,
解得
= 1,
= 1.
1
第五页，编辑于星期日：点 十八分。
=
-8+6i+4i+3
25
=
-5+10i
25
1
2
= − 5 + 5 i.
-12-
第十二页，编辑于星期日：点 十八分。
目标导航
题型一
(3)( 3 − i)6=[(
=(2-2 3i)2(2-2
=(-8-8 3i)(2-2
=-16+16 3i-16
=
2i 4
-2i
典例透析
3 − i)2]3=(2-2 3i)3
=
-2-i+6i+3i 2
5
(5)原式 =
=
-5+5i
= −1+i.
5
(-1+ 3i)2 (-1+ 3i)
[(1+i)2 ]3
−
(-2+i)(1-2i)
(1+2i)(1-2i)
(-2-2 3i)(-1 + 3i) -2 + 4i + i-2i2
=
−
3
8i
5
2-2 3i + 2 3i-6i2
=
−i
-8i
解:
3-2i
8+6i
=
(3-2i)(8-6i)
(8+6i)(8-6i)
=
24-18i-16i-12
100
=
3
25
−
17
50
i.
第七页，编辑于星期日：点 十八分。
-7-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
1.如何理解复数代数形式的乘除法运算法则?
剖析(1)当复数的虚部为零时,复数的乘除法法则与实数的乘除法法则
(3)
=
3+4i
3+4i
5-3i + 2 + 4i
7+i
(7 + i)(3-4i)
=
=
=
3 + 4i
3 + 4i (3 + 4i)(3-4i)
=
21-28i+3i-4i 2
25
(i-2)(i-1)
=
25-25i
= 1-i.
25
2
i -i-2i+2
1-3i
(1-3i)(-2-i)
(4) (1+i)(i-1)+i = i-1+i2 -i+i = -2+i = (-2+i)(-2-i)
论
解:方法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
则1 = − i, 2 = − i,
∴A=z1·2 + 2 ·1
=(a+bi)(c-di)+(c+di)(a-bi)
=ac-adi+bci-bdi2+ac-bci+adi-bdi2=2ac+2bd.
∴A∈R.∵B=z1·1 + 2 ·2
结 合 律
乘法对加法的分配律
z1z2=z2z1
(z1z2)z3=z1(z2z3)
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
名师点拨1.复数的乘法与多项式的乘法是类似的,只有一点不同,即
必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.
2.实数范围内整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对复数
z,z1,z2和自然数n,m,有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·
目标导航
题型一
题型二
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型三
反思1.复数的乘法运算的技巧:
(1)复数的乘法与实数多项式的乘法类似,在计算两个复数的乘积时,
先按照多项式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可.
(2)三个或三个以上的复数相乘,可按从左到右的顺序运算或利用结合
律运算,混合运算和实数的运算顺序一致.
但 z1=0,z2=0⇒12 + 22 = 0.
也就是说,“两个复数的平方和为零”是“这两个复数同时为零”的必
要不充分条件.
第九页，编辑于星期日：点 十八分。
-9-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.如何理解共轭复数?
剖析(1)实数 a 的共轭复数仍是 a 本身,这是判断一个数是否为实
数的一个方法,即 = ⇔z∈R.
z2)n
= 1 ·2 .
第三页，编辑于星期日：点 十八分。
-3-
目标导航
知识梳理
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【做一做1-1】 已知复数z1=2+i,z2=1-i,则z=z1·
z2在复平面内对应的
点位于(
)
B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为z=z1·z2=(2+i)(1-i)=3-i,
数集中不一定成立.如:
(1)当z∈R时,|z|2=z2;当z∈C时,|z|2∈R而z2∈C,所以|z|2=z2不一定成
立,
但是|z|2=z·.
(2)当 z1,z2∈R时, 12 + 22 = 0⇔z1=0,且 z2=0;
当 z1,z2∈C时, 12 + 22 = 0 z1=0,且 z2=0,
(1)若n∈N*,则i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.
(2)若n∈N*,则in+in+1+in+2+in+3=0.
-11-
第十一页，编辑于星期日：点 十八分。
目标导航
题型一
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型三
题型二
复数代数形式的乘除运算
【例1】 计算下列各题:
2-i
2
(1)(3+2i)(-2-4i)+(5-2i) ;(2)
1.复数代数形式的乘法及其运算律
(1)复数代数形式的乘法运算法则.
设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么它们的积
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,d∈R).
(2)复数乘法的运算律.
对于任意z1,z2,z3∈C,有
交 换 律
3.2.2
复数代数形式的乘除运算
第一页，编辑于星期日：点 十八分。
-1-
目标导航
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
1.掌握复数代数形式的乘除运算.
2.了解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.理解共轭复数的概念.
第二页，编辑于星期日：点 十八分。
-2-
目标导航
知识梳理
知识梳理
重难聚焦
典例透析
母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)复数的除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形
式,即实部与虚部要完全分开的形式.
-14-
第十四页，编辑于星期日：点 十八分。
目标导航
题型一
题型二
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型三
【变式训练1】 计算下列各题:
(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);
1
=− − i=0.
i
-16-
第十六页，编辑于星期日：点 十八分。
目标导航
题型一
题型二
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型三
共轭复数的概念
【例 2】 设 z1,z2∈C,A=z1·2 + 2 ·1 ,B=z1·1 + 2 ·2 , 则A 与 B
是否可以比较大小?为什么?
分析:设出z1,z2的代数形式→化简A,B→判断→A,B是否同为实数→结
3i)
3i)
3i-48=-64.
1+i 8
1-i
=
4
1+i 2
1-i
= (-1)4=1.
1+i
(1+i)2
(方法 2)因为 1-i = (1-i)(1+i) =
所以
重难பைடு நூலகம்焦
题型三
题型二
(4)(方法 1)
知识梳理
1+i 8
1-i
2i
2
= i,
= i8=i4=1.
-13-
第十三页，编辑于星期日：点 十八分。
-5-
目标导航
知识梳理
知识梳理
重难聚焦
典例透析
3.复数代数形式的除法运算法则
复数的除法法则是:
(a+bi)÷(c+di) =
+
2 + 2
-
+ 2 + 2 i(c+di≠0).
归纳总结在进行复数的除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)
(a,b,c,d∈R)写成
(3)( 3 − i)6;(4)
1+i 8
1-i
-4-3i
;
.
分析:按照复数的乘法与除法的运算法则进行计算.
解:(1)(3+2i)(-2-4i)+(5-2i)2
=(-6-12i-4i+8)+(25-20i-4)=23-36i.
2-i
(2-i)(-4+3i)
(2) -4-3i = (-4-3i)(-4+3i)
证明一个复数是实数.
4.若z≠0,且z+ = 0, 则z为纯虚数,利用此性质可以证明一个复数是
纯虚数.
-18-
第十八页，编辑于星期日：点 十八分。
目标导航
题型一
题型二
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型三
【变式训练 2】 已知复数 z=1+i,求实数 a,b,使 az+2 = (a+2z)2.
=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i
=(3+11i)(3-4i)+2i
=(9-12i+33i-44i2)+2i
=53+21i+2i=53+23i.
-15-
第十五页，编辑于星期日：点 十八分。
目标导航
重难聚焦
典例透析
题型三
题型二
题型一
知识梳理
(1-4i)(1+i)+2+4i
(1+i-4i-4i 2 )+2+4i
=|z1|2+|z2|2=a2+b2+c2+d2,
∴B∈R.故A与B可以比较大小.
-17-
第十七页，编辑于星期日：点 十八分。
目标导航
题型一
题型二
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型三
方法二:∵z1,z2∈C,
∴设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).
∴B=z1·1 + 2 ·2 = (a+bi)(a-bi)+(c+di)·(c-di)=a2+b2+c2+d2,
(3)在进行复数的乘法运算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计
算.例如:(a±b)2=a2±2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等.
(4)对于复数的高次乘方运算,可以利用公式(zm)n=zmn进行转化运算.
2.复数的除法运算的技巧:
(1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分
一致.
(2)实数集中乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复数集中仍
成立.
(3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数.
(4)两个复数的乘除可以推广到多个复数进行乘除法运算.
第八页，编辑于星期日：点 十八分。
-8-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
温馨提示实数集中乘法、乘方的一些重要结论和一些运算法则在复
(1)z+ = 2a,z− = 2bi;(2) = ; (3)z= ⇔z∈R;(4)1 ± 2 =
1 ± 2 , 1 ·2 = 1 ·2 ,
1
2

= 1 .
2
第十页，编辑于星期日：点 十八分。
-10-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
3.虚数单位i的幂值的周期性.
剖析虚数单位i的幂值具有以下性质:
+
-
+i
+i
的形式,再将分子与分母都乘复数 c-di,并化简
成 2 + 2 + 2 + 2 i 的形式,复数的除法实际上是一个分母实数化的过
程.
第六页，编辑于星期日：点 十八分。
-6-
目标导航
知识梳理
知识梳理
【做一做 3-1】在复平面内,复数 z=
A.第一象限
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;
(3)
(1-4i)(1+i)+2+4i
3+4i
(i-2)(i-1)
;
(4) (1+i)(i-1)+i ;
(5)
(-1+ 3i)3
(1+i)6
−
-2+i
1+2i
.
解:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i