2021-2022学年山东省东营市垦利第一中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021-2022学年山东省东营市垦利第一中学高三数学文下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列{a n}的前n项和为S n，其中n∈N*，则下列命题错误的是（）
A．若a n＞0，则S n＞0
B．若S n＞0，则a n＞0
C．若a n＞0，则{S n}是单调递增数列
D．若{S n}是单调递增数列，则a n＞0
参考答案：
D
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列的性质可得：?n∈N*，a n＞0，则S n＞0，反之也成立．a n＞0，d＞0，则{S n}是单调递增数列．若{S n}是单调递增数列，则d＞0，而a n＞0不一定成立．即可判断出正误．
【解答】解：由等差数列的性质可得：?n∈N*，a n＞0，则S n＞0，反之也成立．a n＞0，d＞0，则{S n}是单调递增数列．
因此A，B，C正确．
对于D：{S n}是单调递增数列，则d＞0，而a n＞0不一定成立．
故选：D．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和直角的关系、等差数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2. 已知向量a=（1，2），b=（-3，2）若ka+b//a-3b，则实数k= （）
A． B． C．-3 D．3
参考答案：
A 略
3. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（）
A. (－∞,－1]
B. (－∞,2]
C. [2,+∞)
D. [－1,+ ∞)
参考答案：
C
【分析】
先利用一元二次不等式的解法化简集合，再根据包含关系列不等式求解即可.
【详解】因为，且，
所以，即实数的取值范围为，故选C.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及集合子集的定义，属于基础题.
4. 已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
5. 设函数的图像如图，则满
足
A．B．
C．D．
参考答案：
D
略
6. 已知{a n}是递增数列，对于任意的正整数n均有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是
( )
A．[﹣2，+∞） B．（﹣3，+∞） C．R D．
参考答案：
B
试题分析：{a n}是递增数列，对于任意的正整数n均有a n=n2+λn恒成立，可得a n+1＞a n，解出即可．试题解析：解：∵{a n}是递增数列，对于任意的正整数n均有a n=n2+λn恒成立，
∴a n+1＞a n，
∴（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，
化为λ＞﹣（2n+1），
∴λ＞﹣3.
则实数λ的取值范围是（﹣3，+∞）．
故选：B．
考点：数列的函数特性．
点评：本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是
A.满足的点P必为BC的中点
B.满足的点P有且只有一个
C.的最大值为3
D.的最小值不存在
参考答案：
C
8. 若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）
参考答案：
C
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．
【解答】解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，
故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），
故选C．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
9. “ 为假命题”是“ 为真命题”的
A. 充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
10. 为了研究性格和血型的关系，抽查80人实验，血型和性格情况如下：O型或A型者是内
向型的有18人，外向型的有22人，B型或AB型是内向型的有12人，是外向型的有28人，则有多大的把握认为性格与血型有关系
A．99.9℅ B．99℅C．没有充分的证据显示有
关 D．1℅
参考数据：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知曲线在处的切线的斜率为2，则实数a的取值
是
．
参考答案：
f′（x ）=3ax2+，
则f′（1）=3a+1=2，解得：a=，
故答案为：．
12. 已知，则的值为
参考答案：
3
13. 若()是所在的平面内的点，且.
给出下列说法：①；②的最小值一定是；
③点、在一条直线上．其中正确的个数是
A．个. B．个. C．
个. D．个.
参考答案：
B
14. 若复数满足，则复数在复平面上的对应点在第象限. 参考答案：
三
略15. （5分）将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式为．
参考答案：
y=sin（2x﹣）
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题．
分析：左加右减上加下减的原则，直接求出将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式．
解答：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式：y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣），
故答案为：y=sin（2x﹣）．
点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意x前面的系数的应用．
16. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为元．
参考答案：
8800
【考点】BB：众数、中位数、平均数．
【分析】由题意知这8位员工月工资的中位数取最大值时，两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，由此能求出这8位员工月工资的中位数的最大值．
【解答】解：由题意知这8位员工月工资的中位数取最大值时，
两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，
此时这8位员工月工资的中位数取最大值为： =8800．
故答案为：8800．
【点评】本题考查中位数的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．
17. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱，P为上底面A1B1C1D1上的动点，给出下列四个结论：
①若，则满足条件的P点有且只有一个；
②若，则点P的轨迹是一段圆弧；
③若PD∥平面ACB1，则DP长的最小值为2；
④若PD∥平面ACB1，且，则平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面图形的
面积为.
其中所有正确结论的序号为．
参考答案：
①②④
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R．
（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，然后对a分a=0，a＞0，与a＜0分类讨论，利用f′（x）＞0，与f′（x）＜0可得其递增区间与递减区间；
（3）由（2）可知，当a＞0，函数取到极大值，此时f（x）=0有两个不等的根，即lnx=ax2﹣x有
两个不等的根构造函数y=lnx与y=ax2﹣x，则两个图象有两个不同的交点，从而可求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x2+x，f′（x）=﹣x+1，
f（1）=，f′（1）=1，
故切线方程是：y﹣=x﹣1，
整理得：y=x﹣；
（2）∵f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R，∴f′（x）=﹣ax+1=（x＞0），∴当a=0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，由于x＞0，故﹣ax2＞0，于是﹣ax2+x+1＞0，
∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f′（x）＞0得，0＜x＜，
即f（x）在（0，）上单调递增；
由f′（x）＜0得，x＞，即f（x）在（，+∞）上单调递减；
（3）由（2）可知，当a＞0，x=时函数取到极大值，
∵x→0，f（x）＜0，x→+∞，f（x）＜0，
∴f（x）=0有两个不等的根，
即f（x）=lnx﹣ax2+x=0有两个不等的根，
即lnx=ax2﹣x有两个不等的根，
构造函数y=lnx与y=ax2﹣x，则两个图象有两个不同的交点；
∵y=lnx过（1，0），y=ax2﹣x的对称轴为直线x=，
顶点坐标为（，﹣）
∴＞，解得a＜2，
∴0＜a＜2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）－在定义域内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
参考答案：
略
20. 已知数列{a n}为等差数列，，且依次成等比数列.
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，数列{b n}的前n项和为S n，若，求n的值.
参考答案：
(1) (2)
【分析】
（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得b n（），运用裂项相消求和可得S n，解方程可得n．
【详解】解：（1）设数列{a n}为公差为d的等差数列，
a7﹣a2＝10，即5d＝10，即d＝2，
a1，a6，a21依次成等比数列，可得
a62＝a1a21，即（a1+10）2＝a1（a1+40），
解得a1＝5，
则a n＝5+2（n﹣1）＝2n+3；
（2）b n（），
即有前n项和为S n（）
（），
由S n，可得5n＝4n+10，
解得n＝10．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．
21. 已知（其中e为自然对数的底数）。

（1）求函数上的最小值；
（2）是否存在实数处的切线与y轴垂直？若存在，
求出的值，若不存在，请说明理由。

参考答案：解：（1）
令，得
①若，则在区间上单调递增，此时函数无最小值
②若时，，函数在区间上单调递减
当时，，函数在区间上单调递增
时，函数取得最小值
③若，则，函数在区间上单调递减
时，函数取得最小值
综上可知，当时，函数在区间上无最小值；
当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为
（2）
由（1）可知，当
此时在区间上的最小值为
即
当，
曲线Y在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解
而，即方程无实数解
故不存在，使曲线处的切线与轴垂直
略
面平面.
（I）求证：；
（II）若点是线段的中点，求二面角的余弦值.
参考答案：。