浙江省杭州市第七中学人教版高一数学 选修2-2 课件：1-1-2导数的概念

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例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种 不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果 第 x h时，原油温度(单位℃)为
f (x) x2 7x 15 (0 x 8).
计算第2 h和第6 h，原油温度的瞬时变化率，
并说明它们的意义
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y 是函数值的改变量，可为零
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4. 求函数 y f (x)在 x0 处的导数的步骤
（1）求函数的增量: f f (x0 x) f (x0 ) ；
（2）求平均变化率: f f (x0 x) f (x0 ) ；
x
x
（3）取极限，得导数:
f
(
x0
)
lim
f 的增量(改变量) f f (x x) f (x)
f 平均变化率 f f (x x) f (x)
x
x
令 x 0，得到f 在x 的瞬时变化率
lim f lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
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问题情境 高台跳水运动中，运动员相对于 水面的高度h与起跳后时间t 存在函数关系为
记为 f (x0 ) 或 y xxo
f (x0 )
lim f x0 x
lim x0
f (x0
x) x
f
(x0 )
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说明：
（1）函数 f (x) 在点 x0 处可导，是指 x 0 时，
y 有极限．如果 y 不存在极限，就说函数在
x
x
点 x0 处不可导，或说无导数． （2）x是自变量x在 x0 处的改变量， x 0，
t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度的极限．即
v s lim s(t t ) s(t )
t t0
t
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3.导数的概念
函数y =f(x)在点x=x0的瞬时变化率是
lim f (x0 x) f (x0 ) lim f
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数，
x0
f x
．
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例1 已知f(x)=x2,求利用导数的概念求f’(5)
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5. 导数的主要用途 (1) 由路程关于时间的函数s(t), 求速度v和 加速度a (2) 求曲线y=f(x)的在某点处的切线斜率k
……
V (t0 ) S(t0 ), k切 f (x0 )
s OA1 OA0 s(t0 t ) s(t0 )
在时间段t 内，物体的平均速度为
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v s(t0 t) s(t0 ) s
t
t
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在
每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是 s
=s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是物体在t 到
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
(1)求运动员在 t=0s时高度和瞬时速度，并解释此 时的运动状态
(2)(2) 在0≤t≤0.5内的平均速度? (3) 在1≤t≤2呢?
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(1) t=0时, h(0) 10 此时v 0
(2)在0≤t≤0.5内的平均速度
能否借助f(x)图象说明平均变化率 表示什么吗？请在函数图象中画出来.
f x0 x f (x0 )
x
描述一下当Δx→0时, 割线PQ的变化情况.
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作业: 作业本 P3
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高台跳水 h(t) 4.9t 2 6.5t 10
v h h(t t) h(t)
t
t
在[2，2+t ]时间内
v h(2 t) h(2) t
4.9t 13.1
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高台跳水 v 4.9t 13.1
在[2+Δt, 2]上平均速度 在[2, 2+Δt]上平均速度
x x0
x0
同理可得 f '(6) 5
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y
f '(2) lim lim (x 3) 3
x x0
x0
同理可得 f '(6) 5
意义: 在第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率 分别为-3与5. 它说明在第2h附近原油温度大约以 3℃/h的速度下降, 在第6h附近,原油温度大约以 5℃/h的速度上升
思考:当Δt趋向于0时,平均速度有怎样的变化趋势?
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高台跳水 h(t) 4.9t 2 6.5t 10
规律:当Δt趋向于0时,2+Δt趋向于2，
v h(2 t) h(2) t
(4.9t 13.1) 13.1
方便记作
v(2) lim h(2 t) h(2)
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(2) 瞬时速度 已知物体作变速直线运动，其运动方程为s＝
s(t) (s表示位移，t表示时间)，求物体在t0 时刻的
速度．
分析: 设物体在时刻t0的位置ｓ(t0)＝OA0，在时刻 t0 +t 的位置s(t0+t) ＝OA1，则从 t0 到 t0 +t 这
段时间内，物体的位移
f (x) x2 7x 15 (0 x 8)
解：第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率
就是 f '(2)和f '(6)
由导数定义 y f (2 x) f (2)
x
x
(2 x)2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) x
x 3
f '(2) lim y lim (x 3) 3
Δt
v
-0.1
-12.61
-0.01 -13.051
-0.001 -13.0951
-0.0001 -13.009951
-0.00001 -13.099951
Δt
v
0.1
-13.59
0.01 -13.149
0.001 -13.1049
0.0001 -13.10049
0.00001 -13.100049
v h(0.5) h(0) 4.05(m / s) 0.5 0
当1≤t≤2
v h(2) h(1) 8.2(m / s) 2 1
(3) 平均速度为0时，是否表示静止?
(4) 求在t =2时的瞬时速度.
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锦囊： 将“t =2”时间点转化为“t =2附近”的时间段
t 0
t
lim (4.9t 13.1) 13.1 t 0
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2. 平均速度→瞬时速度 (1) 平均速度
一辆汽车在10秒内行驶了150米,则其平均速度为
v
经过的路程 所有的时间
s tBiblioteka 150 1054(km
/
h)
平均速度反映汽车在10秒内的快慢程度，要 了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的 速度——瞬时速度．
数学知识不是教出来的,也不是学出来的, 而是研究出来的.
——弗莱登塔尔（荷兰）
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1.1.2 导数的概念
第二页，编辑于星期日：十五点 三十三分。
一、知识回顾
1.定义: 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化
率为
y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
增量 x x2 x1 x2 x1 x
增量 y y2 y1 f (x2 ) f (x1)
Δx是一个符号,是一个整体
2.平均变化率的作用
刻画曲线在某一区间上的平均变化趋势
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二.内容新授
1.平均变化率→瞬时变化率
设变量f 随x 的变化而变化，从x到x +△x
一般地, f’(x)反映了原油温度在时刻x0附近的 变化情况
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变式练习：
若函数y f (x)在x x0处可导,且
lim
x0
f
( x0
2x) x
f
(x0 )
3，则f ’(x0 )
________ .
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思考题