2021_2022学年高中数学第一章三角函数1.1.2弧度制课时作业新人教A版必修4

1.1.2 弧度制
选题明细表
知识点、方法题号
弧度制的概念 1
角度与弧度的互化 2
弧度制表示角的应用3,4,7,10,11
扇形的弧长、面积5,6,8,9,12,13
根底稳固
1.弧度为2的角所在的象限是( B )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:因为<2<π,所以2弧度的角是第二象限角.
2.弧度化为角度是( C )
(A)110°(B)160°(C)108°(D)218°
解析:=×180°=108°.
α的终边在如下图的阴影局部,那么角α的取值范围是( D )
(A)｛α|<α<｝
(B)｛α|<α<｝
(C){α|≤α≤}
(D){α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}
解析:易知阴影局部的两条边界分别是和的终边,所以α的取值范围是
{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
终边一样的是( B )
(A)- (B) (C) (D)
解析:-π+2π=π.应选B.
5.(2021·庐山区期中)扇形的周长是 5 cm,面积是 cm2,那么扇形的中心角的弧度数是( C )
(A)3 (B) (C)3或 (D)2
解析:设扇形的半径为r,弧长为l,那么:
l+2r=5,S=lr=,
所以解得r=1,l=3或r=,l=2,
所以α==3或,应选C.
6.在半径为1的圆中,一条弦AB的长度为1,那么弦AB所对的劣弧长l为.
解析:设该弦AB所对的圆心角为α,
由R=1,AB的长度为1,
所以α=,所以l=αR=.
答案:
α的终边与π的终边关于y轴对称,且α∈(0,2π),那么角α的弧度数为.
解析:因为角α的终边与π的终边关于y轴对称,
所以α=2kπ+π-π(k∈Z).
又α∈(0,2π),
所以α=π.
答案:π
8.如图,扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求
(1)的长;
(2)扇形所含弓形的面积.
解:(1)因为120°=π=π,
所以l=6×π=4π,
所以的长为4π.
(2)因为S扇形OAB=lr=×4π×6=12π,
如题干图所示有S△OAB=×AB×OD(D为AB中点)
=×2×6cos 30°×3=9.
所以S扇形OAB-S△OAB=12π-9.
即弓形的面积是12π-9.
能力提升
9.圆弧长度等于圆内接正三角形边长,那么其所对圆心角的弧度数为( C )
(A) (B) (C) (D)2
解析:设圆内接正三角形边长为a,
那么圆的半径r=a,
所以a=r,因此α==.
终边一样的角的表达式中,正确的选项是( C )
(A)2kπ+45°,k∈Z (B)k·360°+,k∈Z
(C)k·360°-315°,k∈Z (D)kπ+,k∈Z
解析:弧度和角度不能在同一个表达式中,应选项A,B错误;而kπ+
,k∈Z表示的是一、三象限的角,应选C.
θ的终边与的终边一样,那么在[0,2π]内终边与角的终边一样的角是.
解析:θ=+2kπ,k∈Z,
所以=+,k∈Z.
当k=0,1,2,3时,=,,,.
答案:,,,
α,所在圆的半径是R.
(1)假设α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;
(2)假设扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?
解:(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,
因为α=60°=,R=10,
所以l=αR=(cm).
S弓=S扇-S△=××10-×10×10×sin 60°
=50(-)(cm2).
(2)扇形周长c=2R+l=2R+αR,
所以α=,
所以S扇=αR2=··R2=(c-2R)R
=-R2+cR=-(R-)2+.
当且仅当R=,即α=2时,扇形面积最大,且最大面积是.
探究创新
13.如图,一长为 dm,宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚,翻滚到第三面时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成30°的角.求点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积.
解:AA1所对的圆半径是2 dm,圆心角为,
A1A2所对的圆半径是1 dm,圆心角是, A2A3所对的圆半径是 dm,圆心角是, 所以走过的路程是3段圆弧之和,
即2×+1×+×=π(dm);
3段圆弧所对的扇形的总面积是
×2×π+×+××=(dm2).。