余弦定理
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3.平行四边形两条邻边的 长分别是4 6cm和4 3cm, 它们
的夹角是45 , 求这个平行四边形的两 条对角线的长.
练习 : ABC中
求A. (a + b + c)(b + c a ) = 3bc，
若加上条件 sin A = 2sin B cos C，判断△ ABC的形状.
谢谢欣赏！
余 弦 定 理公式的结构特征
a = b + c 2bc cos A
2 2 2
b = a + c 2ac cos B
2 2 2 2
c = a + b 2abcos C
2 2
b +c a cos A = 2bc 2 2 2 a + c b cos B = 2ac 2 2 2 a +b a cos C = 2ab
2 2 2
三角形任何一边的平方等于其它两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍. 和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍.
例 在ABC中,已知a = 2
2
公式的应用
3, c = 6 + 2, B = 45 .求b及A. 2 2 2 (1)解 ∵ b = a + c 2ac cos B
= (2 3) + ( 6 + 2 ) 2 2 3( 6 + 2 ) cos45
学以致用.
1.在 ABC 中,已知 a = 2, b = 2 , c = 3 + 1.求 A.
2 .在 ABC 中 ,已知 b = 8 , c = 3, A = 60 , 求 a .
已知在△ ３. 已知在△ABC中, 若 a 2 中
45
7
求 A 的值 的值. 4、在 ABC 中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6, 、
（３）正弦定理的变形： 正弦定理的变形：
①
a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sinC
边角 互化
a b c , sin B = , sinC = ② sin A = 2R 2R 2R ③ a : b : c = sin A : sin B : sin C
创设情景 引出问题
∴ AC = AB + BC ∴ AC
2
B
c
a
C
A
2
= AB AB BC + BC
2
2
= AB + 2 | AB | | BC | cos(180 B ) + BC = c 2 2ac cos B + a 2 .
即b
2
= a + c 2 ac cos B
2 2
△ABC是钝角三角形 ABC是钝角三角形 Ａ、钝角 Ａ、钝角 Ｃ、锐角 Ｃ、锐角 Ｂ、直角 Ｂ、直角
当 a
2
< b
2
+ c 时 ？
2
Ｄ、不能确定 Ｄ、不能确定
例：以2、3、X为三条边，构成一个锐角三角形，求X的范围。 为三条边，构成一个锐角三角形， 的范围。
课堂小结
1.证明定理: 1.证明定理: 证明定理 2.余弦定理 余弦定理: 2.余弦定理:
= b + c + bc
2 2
求最大角
ABC中， ∠A = 90°
由余弦定理知
∠A为锐角 cos A > 0 a < b + c .
2 2 2
a =b +c
2 2
2
∠A为钝角 cos A < 0 a 2 > b 2 + c 2 ;
提炼： 提炼：设a是最长的边，则 是最长的边，
a2 > b2 + c2 ABC是锐角三角形 △ABC是锐角三角形 a 2 < b 2 + c 2 2 2 2 ABC是直角角三角形 △ABC是直角角三角形 a = b + c a 2 > b 2 + c 2 ， 那么Ａ是（ ） ABC中 那么Ａ 例、在△ABC中，
2
= 12 + ( 6 + 2 )2 4 3( 3 +1) =8
∴b = 2 2 .
b 2 + c 2 a 2 ( 2 2 ) 2 + ( 6 + 2 ) 2 (2 3 ) 2 1 (2) ∵ cos A = = = 2bc 2 2× 2 2 × ( 6 + 2)
1.已知三边,求三个角; 1.已知三边,求三个角; 已知三边 2.已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角. 已知两边和它们的夹角, 2.已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
a =b +c
2 2
a 2 + b2 - c2 cosC = 2ab
∠A为锐角 cos A > 0 a 2 < b 2 + c 2 . ∠A为钝角 cos A < 0 a 2 > b 2 + c 2 ;
8.作业
1.在ABC中,已知a = 20, b = 29, c = 21, 求B.
2.在ABC中,已知a = 3 3, c = 2, B = 150 , 求b.
向量法、解析法、几何法
b2 + c2 - a 2 cosA = ， 2bc
c2 + a 2 - b2 cosB = ， 2ca
3.由余弦定理知 3.由余弦定理知
ABC中， ∠A = 90°
2
a2 = b2 +c2 - 2bccosA 2 2 2 b = a +c - 2accosB c2 = a2 +b2 - 2abcosC
余弦定理
广饶一中 吴兴昌
复习回顾， 复习回顾，温故知新
a b c 正弦定理: （１）正弦定理 = = = 2R sinA sinB sinC
（２）正弦定理解两种类型的三角问题： 正弦定理解两种类型的三角问题：
(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角； 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角； 已知两角和任意一边 (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其 已知两边和其中一边的对角， 已知两边和其中一边的对角 他的边和角。 他的边和角。
B C
千岛湖
41° °
A
已知： 、 已知：AB、 AC、角Ａ 、 (两条边、一个夹角) 两条边、一个夹角 两条边
知识复习
1.数量积的定义： 数量积的定义： 数量积的定义
AC = AB + BC , AC - AB = BC ,
a b =| a || b | cos θ
其中： 其中： a ≠ 0, b ≠ 0
θ是 a和b的夹角 ,范围是 0 ≤ θ ≤ π
注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量. 注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.
2.数量积处理长度问题： 数量积处理长度问题： 数量积处理长度问题
2 2
a a = a =| a | ,
2
(a+b) = a+b
2
公式推导
如图，在△ABC中，AB、BC、 CA的长分别为c、a、b. ∵ AC = AB + BC ,
的夹角是45 , 求这个平行四边形的两 条对角线的长.
练习 : ABC中
求A. (a + b + c)(b + c a ) = 3bc，
若加上条件 sin A = 2sin B cos C，判断△ ABC的形状.
谢谢欣赏！
余 弦 定 理公式的结构特征
a = b + c 2bc cos A
2 2 2
b = a + c 2ac cos B
2 2 2 2
c = a + b 2abcos C
2 2
b +c a cos A = 2bc 2 2 2 a + c b cos B = 2ac 2 2 2 a +b a cos C = 2ab
2 2 2
三角形任何一边的平方等于其它两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍. 和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍.
例 在ABC中,已知a = 2
2
公式的应用
3, c = 6 + 2, B = 45 .求b及A. 2 2 2 (1)解 ∵ b = a + c 2ac cos B
= (2 3) + ( 6 + 2 ) 2 2 3( 6 + 2 ) cos45
学以致用.
1.在 ABC 中,已知 a = 2, b = 2 , c = 3 + 1.求 A.
2 .在 ABC 中 ,已知 b = 8 , c = 3, A = 60 , 求 a .
已知在△ ３. 已知在△ABC中, 若 a 2 中
45
7
求 A 的值 的值. 4、在 ABC 中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6, 、
（３）正弦定理的变形： 正弦定理的变形：
①
a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sinC
边角 互化
a b c , sin B = , sinC = ② sin A = 2R 2R 2R ③ a : b : c = sin A : sin B : sin C
创设情景 引出问题
∴ AC = AB + BC ∴ AC
2
B
c
a
C
A
2
= AB AB BC + BC
2
2
= AB + 2 | AB | | BC | cos(180 B ) + BC = c 2 2ac cos B + a 2 .
即b
2
= a + c 2 ac cos B
2 2
△ABC是钝角三角形 ABC是钝角三角形 Ａ、钝角 Ａ、钝角 Ｃ、锐角 Ｃ、锐角 Ｂ、直角 Ｂ、直角
当 a
2
< b
2
+ c 时 ？
2
Ｄ、不能确定 Ｄ、不能确定
例：以2、3、X为三条边，构成一个锐角三角形，求X的范围。 为三条边，构成一个锐角三角形， 的范围。
课堂小结
1.证明定理: 1.证明定理: 证明定理 2.余弦定理 余弦定理: 2.余弦定理:
= b + c + bc
2 2
求最大角
ABC中， ∠A = 90°
由余弦定理知
∠A为锐角 cos A > 0 a < b + c .
2 2 2
a =b +c
2 2
2
∠A为钝角 cos A < 0 a 2 > b 2 + c 2 ;
提炼： 提炼：设a是最长的边，则 是最长的边，
a2 > b2 + c2 ABC是锐角三角形 △ABC是锐角三角形 a 2 < b 2 + c 2 2 2 2 ABC是直角角三角形 △ABC是直角角三角形 a = b + c a 2 > b 2 + c 2 ， 那么Ａ是（ ） ABC中 那么Ａ 例、在△ABC中，
2
= 12 + ( 6 + 2 )2 4 3( 3 +1) =8
∴b = 2 2 .
b 2 + c 2 a 2 ( 2 2 ) 2 + ( 6 + 2 ) 2 (2 3 ) 2 1 (2) ∵ cos A = = = 2bc 2 2× 2 2 × ( 6 + 2)
1.已知三边,求三个角; 1.已知三边,求三个角; 已知三边 2.已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角. 已知两边和它们的夹角, 2.已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
a =b +c
2 2
a 2 + b2 - c2 cosC = 2ab
∠A为锐角 cos A > 0 a 2 < b 2 + c 2 . ∠A为钝角 cos A < 0 a 2 > b 2 + c 2 ;
8.作业
1.在ABC中,已知a = 20, b = 29, c = 21, 求B.
2.在ABC中,已知a = 3 3, c = 2, B = 150 , 求b.
向量法、解析法、几何法
b2 + c2 - a 2 cosA = ， 2bc
c2 + a 2 - b2 cosB = ， 2ca
3.由余弦定理知 3.由余弦定理知
ABC中， ∠A = 90°
2
a2 = b2 +c2 - 2bccosA 2 2 2 b = a +c - 2accosB c2 = a2 +b2 - 2abcosC
余弦定理
广饶一中 吴兴昌
复习回顾， 复习回顾，温故知新
a b c 正弦定理: （１）正弦定理 = = = 2R sinA sinB sinC
（２）正弦定理解两种类型的三角问题： 正弦定理解两种类型的三角问题：
(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角； 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角； 已知两角和任意一边 (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其 已知两边和其中一边的对角， 已知两边和其中一边的对角 他的边和角。 他的边和角。
B C
千岛湖
41° °
A
已知： 、 已知：AB、 AC、角Ａ 、 (两条边、一个夹角) 两条边、一个夹角 两条边
知识复习
1.数量积的定义： 数量积的定义： 数量积的定义
AC = AB + BC , AC - AB = BC ,
a b =| a || b | cos θ
其中： 其中： a ≠ 0, b ≠ 0
θ是 a和b的夹角 ,范围是 0 ≤ θ ≤ π
注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量. 注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.
2.数量积处理长度问题： 数量积处理长度问题： 数量积处理长度问题
2 2
a a = a =| a | ,
2
(a+b) = a+b
2
公式推导
如图，在△ABC中，AB、BC、 CA的长分别为c、a、b. ∵ AC = AB + BC ,