江苏省2020届高三数学上学期模拟试题附加题.doc

江苏省2020届高三数学上学期11试试题
（附加题）
1、已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
e ，并且矩阵A 对
应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ．
2、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，
直线l 的极坐标方程为(sin )ρθθ+=P 是曲线22
:19
y C x +=上的
动点，求P 到直线l 距离的最大值.
3、现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．
（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；
（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．
4、数列满足且
.
（1）用数学归纳法证明：
；
（2）已知不等式
对成立，证明：
（其中无理数
）.
附加题
1、【解析】设所求二阶矩阵a b c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
A .
因为A 有特征值4λ=-，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
e ， 所以4=-Ae e ，且1824⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
A ，
所以444162824a b c d a b c d -+=⎧⎪-+=-⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得4282
a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩.
所以4282⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
A .
2、
【解析】易得直线0l y +-=， 设点(cos ,3sin )P αα， ∴P 到直线l
的距离
d ==≤=，
当且仅当ππ2π62k α+
=-，即2
2ππ()3
k k α=-∈Z 时取“=”， 所以P 到直线l
距离的最大值为3、【解析】（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：
因为两类学习互不影响，
所以概率111111115926223229
P =
⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以每日学习积分不低于9分的概率为5
9
．
（2）由题意可知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3． 由（1）知每个人积分不低于9分的概率为
59
． 则()3
464=0=9729P ⎛⎫= ⎪⎝⎭
ξ；
()2
1
3
5424080=1=C =
99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
ξ； ()2
2354300100=2=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ξ； ()3
5125=3=9729
P ⎛⎫=
⎪⎝⎭ξ．
所以，随机变量ξ的概率分布列为
所以01237297297297293
E =⨯
+⨯+⨯+⨯=ξ． 所以，随机变量ξ的数学期望为5
3
．
4、【解析】 （1）①当
时，
，不等式成立.
②假设当时不等式成立，即，那么
.
这就是说，当时不等式成立.根据①，②可知：
对所有
成立.
（2）当
时，由递推公式及（1）的结论有
，两边取对数并利用已知不等式
得，故
，求和可得
.由（1）知，，故有，而均小于，故对任意正整数，有
.。