高二数学月考试题及答案-大庆实验中学2015-2016学年高二下学期开学考试(理)

大庆实验中学2015—2016学年度下学期开学考试
高二数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．α,β表示平面，a 、b 表示直线，则a ∥α的一个充分条件是（ ） A ．α⊥β，且a ⊥β
B ．α∩β=b ，且a ∥b
C ．a ∥b ，且b ∥α
D ．α∥β，且a ⊂β
2. 命题,1)2(log ),,0[:3≤+∞∈∀x x p 则( ) A ．p 是假命题，p ⌝：,1)
2(log ),,0[0
30>+∞∈∃x x
B ．p 是假命题，p ⌝：,1)2(log ),,0[3≥+∞∈∀x x
C ．p 是真命题，p ⌝：,1)
2(log ),,0[0
30>+∞∈∃x x
D ．p 是真命题，p ⌝：,1)2(log ),,0[3≥+∞∈∀x x 3. 阅读下面的程序框图，则输出的= （ ）
(A)14 (B)30 (C)20 (D)55 4.设等差数列{ }的前n 项和为，若
=3 ，则9
12S S
=（ ） A.
35
B. C. D.2 5. 连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为m ,n ，记向量()(),,1,1a m n b →
→
==-的夹角为θ， 则)2
,0(π
θ∈的概率是（ ）
A.
512 B.12 C. 712
D. 56
S n a n S 63S S 73
83
6. 已知圆的方程为08622=--+y x y x ,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )
A ．10 6
B ．20 6
C ．30 6
D ．40 6
7．设0,1a a >≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值，则不等式0)1(log <-x a 的解集（ ）
A.)2,(-∞
B.)2,1(
C.),2(+∞
D. ),2()2,1(+∞
8. 设f (x )＝[]()(]()20,111,x x x e x
⎧∈⎪
⎨∈⎪⎩，则
⎰
e
dx x f 0
)(等于（ ）
A .43
B .54
C .6
5
D .7
6
9. 已知，若向区域上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.已知抛物线)0(22>=p px y ，过点)0,(m 作一直线交抛物线于),(11y x A ，),(11y x B 两点，若2-=⋅OB OA k k ，则m 的值为（ ）
A.
2
p
B.p
C.p 2
D. 23p
11. 若函数)2ln(2
1)(2
++-=x b x x f 在区间]2,1[-不单调，则的取值范围是 ( )
A ．]1,(--∞
B ．)
,8[+∞
C ．),8[]1,(+∞--∞
D ．)8,1(-
12. 已知点P 是双曲线
14
22
=-y x
上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为,,B A 则=⋅（ ） A.2512-
B.2512
C.2524-
D. 5
4- 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则圆锥的体积等于 14. 向量()()2,3,21,2a m m b m m =-+=+-，若a 与b 的夹角为锐角，
}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x Ω92323
19
1
b
则m 的取值范围是__________
15. 已知函数是定义在R 上的偶函数，0)2(=f
，),0(0)
()('2
><-x x
x f x xf 则不等式0)(<x xf 的解集__________
16．已知抛物线,4:2x y C =过焦点F 作与
x 轴垂直的直线1l ，C 上任意一点
)0)(,(000≠y y x P 处的切线为l ，l 与1l 交于M ，l 与准线交于N ，
则=NF
MF
__________ 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)已知函数.sin )3
2cos()(2x x x f ++=π
（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调区间；
（2）设锐角ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对应边分别是,,,c b a 若,3
1
cos =
B ,6=c ,4
1
)2(-=C f 求b
18. (本小题满分12分)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =,且1234,3,2S S S 成等差
数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n a n b ⋅-=)52(，求数列}{n b 的前n 项和n T .
19.(本小题满分12分)随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班身高不低于173cm 的同学中随机抽取两名同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率
)(x
f
20．(本小题满分12分)如图，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=3，E 是PB 的中点． （1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B ﹣PC ﹣D 的余弦值
21. (本小题满分12分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点，
且离心率等于2
． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点)0,2(P 作直线PB PA ,交椭圆于B A ,两点，且满足PB PA ⊥，试判断直线AB 是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由。

22.(本小题满分12分)已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) . (1)当4-=a 时,求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值; (2)当[]e x ,1∈时,讨论方程()0=x f 根的个数.
(3)若0>a ,且对任意的[]12,1,x x e ∈,都有()()2
1
211
1x x x f x f -
≤-,求实数a 的取值范围.
高二数学(理)参考答案
DA BBAAB DCBAA 121-
1
.16)
,2()0,2(.15)34
,25511()25511,(),2(.1412.13+∞-------∞+∞ π
π=+-
=T x x f ,2
1
2sin 23)(1.17）（ 单调递增区间))(4
,
4
(Z k k k ∈++-
ππ
ππ
，单调递减区间))(4
3,
4
(
Z k k k ∈++ππ
ππ
3
8)2(=
b 142)72()2(2)1.(181+⋅-==+n n n n n T a
1.171,170)1.(19==乙甲T T ，乙的平均值大
5
2)3(2
.57)2(2
=甲S
.20（1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
A （0,0,0），
B （1,0,0），
C （1,1,0），
D （0,3,0），P （0,0,1），
E （,0,）， ∴=（,0,），=（0,1,0），
=（﹣1,0,1）．∴
•
=0，
•
=0，
所以
⊥
，
⊥
．所以AE ⊥BC ，AE ⊥BP ．因为BC ，BP ⊂平面PBC ，且BC∩BP=B ，
所以AE ⊥平面PBC ．
（2）解：设平面PCD 的法向量为=（x ，y ，z ），则•=0，•=0．
因为
=（﹣1,2,0），
=（0,3,﹣1），所以
．
令x =2，则y =1，z =3．所以=（2，1，3）是平面PCD 的一个法向量． 因为AE ⊥平面PBC ，所以
平面PBC 的法向量．所以cos ＜
，＞=
=
．
根据图形可知，二面角B ﹣PC ﹣D 的余弦值为﹣．
21.12
4)1(2
2=+y x )2(解：m kx y AB +=的方程为设直线，
联立椭圆方程得0424)21(2
2
2
=-+++m kmx x k k
m x x k km x x 214
2,2142212
21+-=+-=+ m kx y m kx y y x y x +=+=-=-=2112211,),,2(),,2(
由0))(()2)(2(2121=+++--m kx m kx x x 得038422=++m km k
k m k m 3
2
)(2-=-=，舍去，)32(-=x k y ，所以过定点)0,32(
22. 解:(1))0(4
2)(2>-=
'x x
x x f ,当)2,1[∈x 时,0)(<'x f .当(
]
e x ,2∈时,0)(>'x
f ,
又014)1()(2>-+-=-e f e f ,故4)()(2max -==e e f x f ,当e x =时,取等号 (2)易知1≠x ,故[]e x ,1∈,方程()0=x f 根的个数等价于(]e x ,1∈时,
方程x
x
a ln 2=
-根的个数. 设()x g =x x ln 2
, x
x x x
x x x x x g 222
ln )1ln 2(ln 1
ln 2)(-=-=
'
当()
e x ,1∈时,0)(<'x g ,函数)(x g 递减,当]e e x ,(∈时,0)(>'x g ,函数)(x g 递增.又
2)(e e g =,e e g 2)(=,作出)(x g y =与直线a y -=的图像,由图像知:
当22e a e ≤-<时,即e a e 22
-<≤-时,方程()0=x f 有2个相异的根; 当2
e a -< 或e a 2-=时,方程()0=x
f 有1个根;
当e a 2->时,方程()0=x f 有0个根;
(3)当0>a 时,)(x f 在],1[e x ∈时是增函数,又函数x
y 1
=是减函数,不妨设e x x ≤≤≤211,则()()2
12111x x x f x f -≤
-等价于21121
1)()(x x x f x f -≤-
即1
1221
)(1)(x x f x x f +≤+
,故原题等价于函数()x x f x h 1)(+=在],1[e x ∈时是减函数,
01
2)(2≤-+=
'∴x
x x a x h 恒成立,即221x x a -≤在],1[e x ∈时恒成立.
221x x y -=
在],1[e x ∈时是减函数 221
0e e a -≤<∴.。