数学20版初中新课标全程复习方略人教课时13一元二次方程的应用
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第13课时 一元二次方程的应用
考点一 增长率问题 【主干必备】 对于正增长率问题,弄清增长的次数和问题中每一个数 据的意义,若经过两次增长后,则利用公式 ___m_(_1_+_x_)_2=_n___求解,其中m<n;
对于负增长率问题,若经过两次下降后,则利用公式 ___m_(_1_-_x_)_2=_n___求解,其中m>n.
(1)求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年 平均增长率. (2)若年平均增长率保持不变,2019年该贫困户的家庭 年人均纯收入是否能达到4 200元?
【自主解答】(1)设该贫困户2016年到2018年家庭年人 均纯收入的年平均增长率为x, 依题意,得2 500(1+x)2=3 600, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去). 答:该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平 均增长率为20%.
【解析】(1)设2016年这种礼盒的进价为x元/盒,则
2018年这种礼盒的进价为(x-11)元/盒, 根据题意得 3 500 2 400 ,解得x=35,
x x 11
经检验,x=35是原方程的解.
答:2016年这种礼盒的进价是35元/盒.
(2)设年增长率为a,2016年的销售数量为3 500÷35=100(盒). 根据题意得(60-35)×100(1+a)2=(60-35+11)×100,解 得a=0.2=20%或a=-2.2(不合题意,舍去). 答:年增长率为20%.
【微点警示】 解答与销售有关的利润问题时,要能准 确用未知数表示商品销售量和销售利润.此外,正确理 解商品销售量和销售利润之间的关系,是解答此类题目 的关键.
【核心突破】 【例3】列方程解应用题:某玩具厂生产一种玩具,按照 控制固定成本降价促销的原则,使生产的玩具能够及时 售出,据市场调查:每个玩具按480元销售时,每天可销 售160个;若销售单价每降低1元,每天可多售出2个.已 知每个玩具的固定成本为360元,问这种玩具的销售单 价为多少元时,厂家每天可获利润20 000元?
2.某商店在2016年至2018年期间销售一种礼盒.2016年, 该商店用3 500元购进了这种礼盒并且全部售完;2018 年,这种礼盒的进价比2016年下降了11元/盒,该商店用 2 400元购进了与2016年相同数量的礼盒也全部售完, 礼盒的售价均为60元/盒. 世纪金榜导学号
(1)2016年这种礼盒的进价是多少元/盒? (2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相 同,问年增长率是多少?
【自主解答】设销售单价为x元, 由题意得(x-360)[160+2(480-x)]=20 000, 整理,得x2-920x+211 600=0, 解得x1=x2=460. 答:当这种玩具的销售单价为460元时,厂家每天可获利 润20 000元.
【明·技法】
利润问题中三个常用的等量关系
(1)单件利润=单件售价-单件成本.
A.(30-x)(20-x)= 3 ×20×30
4
B.(30-2x)(20-x)= 1 ×20×30
4
C.30 x+2×20x= 1 ×20×30
4
D.(30-2x) (20-x)= 3 ×20×30
4
2.(2019·黄石模拟)如图,利用一面墙,用80 m长的篱 笆围成一个矩形场地.
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750 m2? (2)能否使所围的矩形场地面积为810 m2,为什么?
(2)总利润=(单件售价-单件成本)×销量=总售价-
总成本.
利润
(3)利润率= 进价 ×100%. 提醒:注意检验一元二次方程的解是否符合实际意义.
【题组过关】 1.(2019•达州模拟)某商品原价100元,连续两次涨价x% 后售价为120元,下面所列方程正确的是 ( B ) A.100(1-x%)2=120 B.100(1+x%)2=120 C.100(1-2x%)2=120 D.100(1-x2%)2=120
【自主解答】设扩充后广场的长为3xm,宽为2xm, 依题意得3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642 000, 解得x1=30,x2=-30(舍去). 所以3x=90,2x=60, 答:扩充后广场的长为90 m,宽为60 m.
【明·技法】 列一元二次方程解面积类问题的三点注意
【解析】设AD=BC=x m,则AB=(80-2x)m, (1)由题意得x(80-2x)=750,解得x1=15,x2=25, 当x=15时,AD=BC=15 m,AB=50 m; 当x=25时,AD=BC=25 m,AB=30 m.答:当平行于墙面的边 长为50 m,邻边长为15 m时,矩形场地面积为750 m2;或 当平行于墙面的边长为30 m,邻边长为25 m时,矩形场 地面积为750 m2.
A.9(1-2x)=1 C.9(1+2x)=1
B.9(1-x)2=1 D.9(1+x)2=1
2.(2019·长沙中考)近日,长沙市教育局出台《长沙市 中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志 愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提 供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2 万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.
世纪金榜导学号
(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率 相同,求这个增长率. (2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达 到多少万人次?
【解析】(1)设增长率为x,根据题意,得2(1+x)2=2.42, 解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%. 答:增长率为10%. (2)2.42(1+0.1)=2.662(万人次). 答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.
【微点警示】 解答有关平均增长(降低)的问题时,要 注意分清基本量和变化后的量及其之间的变化(增长或 降低)次数,此处易忽略变化率的意义而产生错解.
【核心突破】 【例1】(2019·贺州中考)2016年,某贫困户的家庭年 人均纯收入为2 500元,通过政府产业扶持,发展了养殖 业后,到2018年,家庭年人均纯收入达到了3 600元.
(2)由题意得x(80-2x)=810, Δ=402-4×405=1 600-1 620=-20<0. ∴方程无解,即不能围成面积为810 m2的矩形场地.
考点三 利用一元二次方程解决营销问题 【主干必备】 与市场经济有关的问题:如:营销问题、水电问题、水 利问题等,与利润相关的常用关系式有: (1)利润=销售价-成本价. (2)利润率=(销售价-进货价)÷进货价×100%. (3)销售额=销售价×销售量
(1)公式:熟记图形的面积公式,不要记错,混淆. (2)方法:平移转化是列一元二次方程解决面积类应用 题常用的方法,其核心思想是将不在一起的几块图形通 过平移转化为一块规则的图形.
(3)检验:注意检验所求解使实际问题有意义,不符合实 际意义的解应舍去.
Hale Waihona Puke 【题组过关】 1.(2019·北部湾中考)扬帆中学有一块长30 m,宽20 m 的矩形空地,计划在这块空地上划出四分之一的区域种 花,小禹同学设计方案如图所示,求花带的宽度.设花带 的宽度为xm,则可列方程为 世纪金榜导学号( D )
考点二 用一元二次方程解决图形面积问题 【主干必备】 解不规则图形的面积问题时,把不规则图形转化成规则 图形,找出变化前后面积之间的关系,列一元二次方程 求解.
【核心突破】 【例2】(2019·南京中考)某地计划对矩形广场进行扩 建改造.如图,原广场长50 m,宽40 m,要求扩充后的矩 形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用每平方 米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设 地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642 000元, 扩充后广场的长和宽应分别是多少米?
(2)3 600×(1+20%)=4 320(元), 4 320>4 200. 答:2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4 200 元.
【明·技法】 增长(降低)率问题的三事项
(1)增长率问题:设基数为a,平均增长率为x,则一次增 长后的值为a(1+x),两次增长后的值为a(1+x)2,…以此 类推,n次增长后的值为a(1+x)n.
(2)降低率问题:设基数为a,平均降低率为x,则一次降 低后的值为a(1-x),两次降低后的值为a(1-x)2,…以此 类推,n次降低后的值为a(1-x)n. (3)注意:①设增长率(降低率)为x,而不设为x%,这样能 简化计算; ②增长率大于0,降低率大于0且小于1.
【题组过关】 1.(2019·衡阳中考)国家实施“精准扶贫”政策以来, 很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫 困人口9万人,通过社会各界的努力,2018年底贫困人口 减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口 的年平均下降率为x,根据题意列方程得 ( B )
考点一 增长率问题 【主干必备】 对于正增长率问题,弄清增长的次数和问题中每一个数 据的意义,若经过两次增长后,则利用公式 ___m_(_1_+_x_)_2=_n___求解,其中m<n;
对于负增长率问题,若经过两次下降后,则利用公式 ___m_(_1_-_x_)_2=_n___求解,其中m>n.
(1)求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年 平均增长率. (2)若年平均增长率保持不变,2019年该贫困户的家庭 年人均纯收入是否能达到4 200元?
【自主解答】(1)设该贫困户2016年到2018年家庭年人 均纯收入的年平均增长率为x, 依题意,得2 500(1+x)2=3 600, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去). 答:该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平 均增长率为20%.
【解析】(1)设2016年这种礼盒的进价为x元/盒,则
2018年这种礼盒的进价为(x-11)元/盒, 根据题意得 3 500 2 400 ,解得x=35,
x x 11
经检验,x=35是原方程的解.
答:2016年这种礼盒的进价是35元/盒.
(2)设年增长率为a,2016年的销售数量为3 500÷35=100(盒). 根据题意得(60-35)×100(1+a)2=(60-35+11)×100,解 得a=0.2=20%或a=-2.2(不合题意,舍去). 答:年增长率为20%.
【微点警示】 解答与销售有关的利润问题时,要能准 确用未知数表示商品销售量和销售利润.此外,正确理 解商品销售量和销售利润之间的关系,是解答此类题目 的关键.
【核心突破】 【例3】列方程解应用题:某玩具厂生产一种玩具,按照 控制固定成本降价促销的原则,使生产的玩具能够及时 售出,据市场调查:每个玩具按480元销售时,每天可销 售160个;若销售单价每降低1元,每天可多售出2个.已 知每个玩具的固定成本为360元,问这种玩具的销售单 价为多少元时,厂家每天可获利润20 000元?
2.某商店在2016年至2018年期间销售一种礼盒.2016年, 该商店用3 500元购进了这种礼盒并且全部售完;2018 年,这种礼盒的进价比2016年下降了11元/盒,该商店用 2 400元购进了与2016年相同数量的礼盒也全部售完, 礼盒的售价均为60元/盒. 世纪金榜导学号
(1)2016年这种礼盒的进价是多少元/盒? (2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相 同,问年增长率是多少?
【自主解答】设销售单价为x元, 由题意得(x-360)[160+2(480-x)]=20 000, 整理,得x2-920x+211 600=0, 解得x1=x2=460. 答:当这种玩具的销售单价为460元时,厂家每天可获利 润20 000元.
【明·技法】
利润问题中三个常用的等量关系
(1)单件利润=单件售价-单件成本.
A.(30-x)(20-x)= 3 ×20×30
4
B.(30-2x)(20-x)= 1 ×20×30
4
C.30 x+2×20x= 1 ×20×30
4
D.(30-2x) (20-x)= 3 ×20×30
4
2.(2019·黄石模拟)如图,利用一面墙,用80 m长的篱 笆围成一个矩形场地.
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750 m2? (2)能否使所围的矩形场地面积为810 m2,为什么?
(2)总利润=(单件售价-单件成本)×销量=总售价-
总成本.
利润
(3)利润率= 进价 ×100%. 提醒:注意检验一元二次方程的解是否符合实际意义.
【题组过关】 1.(2019•达州模拟)某商品原价100元,连续两次涨价x% 后售价为120元,下面所列方程正确的是 ( B ) A.100(1-x%)2=120 B.100(1+x%)2=120 C.100(1-2x%)2=120 D.100(1-x2%)2=120
【自主解答】设扩充后广场的长为3xm,宽为2xm, 依题意得3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642 000, 解得x1=30,x2=-30(舍去). 所以3x=90,2x=60, 答:扩充后广场的长为90 m,宽为60 m.
【明·技法】 列一元二次方程解面积类问题的三点注意
【解析】设AD=BC=x m,则AB=(80-2x)m, (1)由题意得x(80-2x)=750,解得x1=15,x2=25, 当x=15时,AD=BC=15 m,AB=50 m; 当x=25时,AD=BC=25 m,AB=30 m.答:当平行于墙面的边 长为50 m,邻边长为15 m时,矩形场地面积为750 m2;或 当平行于墙面的边长为30 m,邻边长为25 m时,矩形场 地面积为750 m2.
A.9(1-2x)=1 C.9(1+2x)=1
B.9(1-x)2=1 D.9(1+x)2=1
2.(2019·长沙中考)近日,长沙市教育局出台《长沙市 中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志 愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提 供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2 万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.
世纪金榜导学号
(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率 相同,求这个增长率. (2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达 到多少万人次?
【解析】(1)设增长率为x,根据题意,得2(1+x)2=2.42, 解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%. 答:增长率为10%. (2)2.42(1+0.1)=2.662(万人次). 答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.
【微点警示】 解答有关平均增长(降低)的问题时,要 注意分清基本量和变化后的量及其之间的变化(增长或 降低)次数,此处易忽略变化率的意义而产生错解.
【核心突破】 【例1】(2019·贺州中考)2016年,某贫困户的家庭年 人均纯收入为2 500元,通过政府产业扶持,发展了养殖 业后,到2018年,家庭年人均纯收入达到了3 600元.
(2)由题意得x(80-2x)=810, Δ=402-4×405=1 600-1 620=-20<0. ∴方程无解,即不能围成面积为810 m2的矩形场地.
考点三 利用一元二次方程解决营销问题 【主干必备】 与市场经济有关的问题:如:营销问题、水电问题、水 利问题等,与利润相关的常用关系式有: (1)利润=销售价-成本价. (2)利润率=(销售价-进货价)÷进货价×100%. (3)销售额=销售价×销售量
(1)公式:熟记图形的面积公式,不要记错,混淆. (2)方法:平移转化是列一元二次方程解决面积类应用 题常用的方法,其核心思想是将不在一起的几块图形通 过平移转化为一块规则的图形.
(3)检验:注意检验所求解使实际问题有意义,不符合实 际意义的解应舍去.
Hale Waihona Puke 【题组过关】 1.(2019·北部湾中考)扬帆中学有一块长30 m,宽20 m 的矩形空地,计划在这块空地上划出四分之一的区域种 花,小禹同学设计方案如图所示,求花带的宽度.设花带 的宽度为xm,则可列方程为 世纪金榜导学号( D )
考点二 用一元二次方程解决图形面积问题 【主干必备】 解不规则图形的面积问题时,把不规则图形转化成规则 图形,找出变化前后面积之间的关系,列一元二次方程 求解.
【核心突破】 【例2】(2019·南京中考)某地计划对矩形广场进行扩 建改造.如图,原广场长50 m,宽40 m,要求扩充后的矩 形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用每平方 米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设 地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642 000元, 扩充后广场的长和宽应分别是多少米?
(2)3 600×(1+20%)=4 320(元), 4 320>4 200. 答:2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4 200 元.
【明·技法】 增长(降低)率问题的三事项
(1)增长率问题:设基数为a,平均增长率为x,则一次增 长后的值为a(1+x),两次增长后的值为a(1+x)2,…以此 类推,n次增长后的值为a(1+x)n.
(2)降低率问题:设基数为a,平均降低率为x,则一次降 低后的值为a(1-x),两次降低后的值为a(1-x)2,…以此 类推,n次降低后的值为a(1-x)n. (3)注意:①设增长率(降低率)为x,而不设为x%,这样能 简化计算; ②增长率大于0,降低率大于0且小于1.
【题组过关】 1.(2019·衡阳中考)国家实施“精准扶贫”政策以来, 很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫 困人口9万人,通过社会各界的努力,2018年底贫困人口 减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口 的年平均下降率为x,根据题意列方程得 ( B )