2020学年重庆市第七中学高二下学期期中数学(文)试题(解析版)

2020学年重庆市第七中学高二下学期期中数学试题
一、单选题
1．已知集合{}11A x x =-≤<,{}1,0,1B =-,则A B =( ) A ．{}0,1 B ．{}1,0- C ．{}0 D ．{}1,0,1-
【答案】B
【解析】根据交集定义,即可求得答案. 【详解】
{}11A x x =-≤<,{}1,0,1B =-
∴ {}{}{}111,0,11,0A B x x B ⋂=-≤<⋂=-=- ∴ {}1,0A B ⋂=-
故选:B. 【点睛】
本题考查了交集运算,解题关键是掌握交集定义,考查了分析能力,属于基础题. 2．若（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ）
A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i -
【答案】A
【解析】试题分析：(1)1z i i i =+=-+, 则z 的虚部是1． 【考点】复数的运算．
3．命题“2
0,0x x x ∃≤->”的否定是（ ） A ．2
0,0x x x ∀>-≤ B ．2
0,0x x x ∀≤-≤ C ．2
0,0x x x ∃>-≤
D ．2
0,0x x x ∃≤-≤
【答案】B
【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，存在改为任意，并将结论
加以否定，因此命题“20,0x x x ∃≤->”的否定是2
0,0x x x ∀≤-≤
【考点】全称命题与特称命题
4．有一段演绎推理：“对数函数log a y x =是减函数；已知2log y x =是对数函数，
所以2log y x =是减函数”，结论显然是错误的，这是因为（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．非以上错误
【答案】A
【解析】对数函数的底数a 的取值范围不同，函数的增减性不同，当a ＞1时，对数函数是一个增函数，当0＜a ＜1时，对数函数是一个减函数，根据演绎推理的三段论，可知大前提错误. 【详解】
：∵当a ＞1时，函数y=log a x （a ＞0且a ≠1）是一个增函数， 当0＜a ＜1时，此函数是一个减函数
∴y=log a x 是减函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误，故选：A 【点睛】
演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，包括：大前提（已知的一般原理），小前提（已知的一般原理）和结论，本题考查演绎推理的一般模式，根据对数函数的单调情况，分析出大前提是错误的。

5．有40件产品，编号从1到40，从中抽取4件检验，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为 （ ）
A ．5，10，15，20
B ．5，8，31，36
C ．2，14，26，38
D ．2，12，22，32 【答案】D
【解析】试题分析：系统抽样抽取的序号构成公差为10的等差数列，因此D 项正确 【考点】系统抽样
6．函数()()2
2log 43f x x x =+-的单调递减区间是（ ）
A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
B ．3,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
C ．31,2⎛
⎤- ⎥⎝⎦ D ．3,42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】令t=4+3x-x 2 ＞0，求得函数的定义域为（-1，4），且f （x ）=log 2t ，本题即求函数t 在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x 2 在定义域内的减区间． 【详解】
函数f （x ）=log 2（4+3x-x 2），令t=4+3x-x 2 ＞0，求得-1＜x ＜4， 即函数的定义域为（-1，4），且f （x ）=log 2t ， 即求函数t 在定义域内的减区间．
再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x 2 在定义域内的减区间为3,42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.故选
D ． 【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．
7．某校高三(1)班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间内，将该班所有同学的考试分数分为七组：
，绘制出频率分布
直方图如图所示，已知分数低于112 分的有18人，则分数不低于120分的人数为（ ）
A．10 B．12 C．20 D．40
【答案】A
【解析】由频率分布直方图得分数低于112分的频率为：
，
∵分数低于112分的有18人，
∴高三（1)班总人教为：，
∵分数不低于120分的频率为：，
∴分数不低于120分的人数为：人.
故选A.
8．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形,则该几何体的表面积是
A．64 B．76 C．88 D．112
【答案】C
【解析】试题分析：此多面体是一个放倒的直三棱柱，表面积为
1
26454264882
⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=选C ． 【考点】直观图,三棱柱的表面积计算．
9．（陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考）已知双曲线
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）
A ．22
1412
x y -
= B ．22
1124
x y -
= C ．2
213
x y -=
D ．2
2
13
y x -= 【答案】D
【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：
2222tan 603c c a b
b
a
⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：22
1,3a b ==， 双曲线方程为：2
2
13
y x -=. 本题选择D 选项.
【考点】 双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程，解方程组求出
,a b ，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为
2
2
1(0)mx ny mn -=>，（2）与22
221x y a b
-=共渐近线的双曲线可设为
2222(0)x y a b
λλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22
(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.
10．直线1y kx =+与曲线()ln f x a x b =+相切于点()1,2P ,则2a b +=( ) A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】A
【解析】直线1y kx =+与曲线()ln f x a x b =+相切于点()1,2P ,可得
1,2,k b ==求得()f x 的导数,可得1a =,即可求得答案.
【详解】
直线1y kx =+与曲线()ln f x a x b =+相切于点()1,2P 将()1,2P 代入1y kx =+可得:12k += 解得:1k = ()ln f x a x b =+
∴ ()a f x x
'=
由(1)11
a
f =
=',解得:1a =. 可得()ln f x x b =+,
根据()1,2P 在()ln f x x b =+上
∴ ()1ln12f b =+=,解得:2b =
故222 4.a b +=+= 故选:A. 【点睛】
本题考查了根据切点求参数问题,解题关键是掌握函数切线的定义和导数的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 11．F 1、F 2分别是椭圆
的左右焦点，过F 2作直线交椭圆于
A 、
B 两点，已知AF 1⊥BF 1，∠ABF 1=30°，则椭圆的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】试题分析：如图所示，设
，因为，所
以，
，所以
，解得
，所以
，，在
中，由余弦定理得 ，化为，所以 ，化简得
，所以，故选A ．
【考点】椭圆的标准方程及其简单的几何性质．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了余弦定理和椭圆离心率的求解，注重考查了学生的推理能力和计算能力、转化与化归思想的应用，解答中，根据题设条件，得出
，
，在根据余弦定理列出关于的方程是解答
的关键．
12．若函数()ln f x x =与函数2
()2(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取
值范围是（ ） A ．1
(ln
,)2e
+∞ B ．(1,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(ln 2,)-+∞
【答案】A
【解析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，，则切线方程为111
1
ln ()y x x x x -=
-；设公切线与函数2()2g x x x a =++切于点22222(2)(0)B x x x a x ，++<，则切线方程为2
2222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-，
所以有21
2121
2(1){ln 1x x x x a =+-=-+，．
∵210x x <<，∴1
1
02x <
<． 又2
2
11111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，令11t x =，∴21
02ln 4
t a t t t ，<<=--．
设21()ln (02)4h t t t t t =--<<，则211(1)3
()1022t h t t t t
--=--'=<，∴()h t 在(0，
2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln
2h t h e >=--=，∴1ln 2a e ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，，故选A ．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力，运算能力，创新意识，考查了函数与方程，分类与整合，转化与化归等数学思想方法，属于难题，由切线方程可得，分离参数，得到关于1x 的函数，求
出2
2
11111111
ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的取值范围即可，因此正确运用导数的性质是解决问题的关键. 二、填空题 13．复数
31i
i -+ .
【答案】12i - 【解析】试题分析： 复数
故答案为
【考点】复数的运算．
14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；
乙说：我没去过
城市.
丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________ 【答案】A
【解析】试题分析：由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A
【考点】进行简单的合情推理 15．设函数()
()2
2
1sin 1
x x
f x x ++=
+，若()f a M -=，()f a m =，则M m +=______． 【答案】2
【解析】根据分式函数的性质,进行转化,构造奇函数,利用奇函数的性质,即可求得答案. 【详解】 ()
()2
222
1sin 21sin 1
1
x x
x x x
f x x x +++++=
=++ 2sin 211
x x
x +=+
+
∴ 2sin 2()11
x x
f x x +-=
+
令()2sin 21
x x
g x x +=
+
()g x 的定义为R
又 ()()
2sin 21
x x
g x g x x ---==-+
故()2sin 21
x x
g x x +=
+是定义为R 的奇函数.
∴ ()()0g a g a -+=
()()11g a f a M -=--=- ())11g a f a m =--=-
∴ 110M m -+-= ∴ 2M m +=
故答案为:2. 【点睛】
本题考查了构造奇函数求值问题,解题关键是掌握奇函数的判断方法和灵活构造函数,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
16．函数f(x)的定义域是R ，f(0)＝2，对任意x ∈R ，f(x)＋f ′(x)>1，则不等式e x ·f(x)>e x ＋1的解集为______． 【答案】(0，＋∞)
【解析】构造函数g(x)＝e x ·f(x)－e x ，因为g ′(x)＝e x ·f(x)＋e x ·f ′(x)－e x ＝e x [f(x)＋f ′(x)]－e x >e x －e x ＝0，所以g(x)＝e x ·f(x)－e x 为R 上的增函数．又因为g(0)＝e 0·f(0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0. 三、解答题
17．已知0a >,1a ≠,设P :函数x
y a =在R 上单调递减;Q :函数
()2223y x a x a =+-+的图像与x 轴至少有一个交点.如果P 与Q 有且只有一个正确,求a 的取值范围.
【答案】3|14a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
【解析】先求出P Q 、均正确时a 的取值范围,分情况讨论:若P 正确,Q 不正确,若P 不正确,Q 正确,即可得到a 的范围. 【详解】
函数x
y a =在R 上单调递减
∴ 根据指数函数单调性可知:01a <<
.
函数()22
23y x a x a =+-+的图像与x 轴至少有一个交点,
∴ 根据二次函数知识可得:22(23)41290a a a ∆=--=-+≥
解得:34
a ≤
①若P 正确,Q 不正确,
则
3{|01}4a a a a a ⎧
⎫∈<<⋂⎨⎬⎩⎭ 即3|14a a a ⎧⎫
∈<<⎨⎬⎩⎭
②若P 不正确,Q 正确,
则{}31|4a a a a a ⎧
⎫∈⋂≤⎨⎬⎩
⎭
即a ∈∅
综上可知,所求a 的取值范围是:3|14a a a ⎧⎫
∈<<⎨⎬⎩⎭
【点睛】
本题考查了根据两个命题有且只有一个正确求参数范围,解题关键是掌握指数函数单调性和二次函数基础知识,及其集合交集运算,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
18．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
y ˆˆy bx a =+，并在坐标系中画出回归直线；
（2）试预测加工10个零件需要多少小时？
（注：1
2
2
1
ˆ
n
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-，41
52.5i i i x y ==∑，4
21
54i
i x ==∑） 【答案】（1）ˆ0.7 1.05y x =+；（2）8.05小时．
【解析】试题分析：（1）求出数据的横轴与纵轴的平均数，得到样本的中心点，求出对应的横标和纵标的和，求出横标的平方和，作出系数和a 的值，写出回归直线方程；（2）将10x =代入回归直线方程，可得出结论． 试题解析：（1）由表中数据得： 3.5, 3.5x y ==，
∴ˆ0.7b
=，ˆ 1.05a =，∴ˆ0.7 1.05y x =+． 回归直线如图所示：
（2）将10x =代入回归直线方程，
得ˆ0.710 1.058.05y =⨯+= （小时）．
【考点】回归分析的初步应用．
19．学校组织高考组考工作,为了搞好接待组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者,调查发现,男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动,其余不喜爱．
（1）根据以上数据完成以下22⨯列联表;并要求列联表的独立性检验,能否在
犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？
（2）如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有4人会外语),抽取2名负责翻译工作,则抽出的志愿者中2人恰有一人胜任翻译工作的概率是多少？
参考公式:
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
,其中n a b c d
=+++．
参考答数:
【答案】（1）答案见解析（2）2
5
【解析】（1）由题中条件补充22⨯列联表中的数据,利用22⨯列联表中的数据,计算出2K,对性别与喜爱运动有关的程度进行判断,即可求得答案;
（2）喜欢运动的女志愿者有6人,总数是从这6人中挑两个人,而有4人会外语,满足条件的是从这4人中挑两个人,即可求得答案.
【详解】
（1）22⨯列联表如下:
假设:是否喜爱运动与性别无关, 由已知数据可求得:
2
2
30(10866) 1.1575 2.70616141614
K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯
因此,在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关. （3）喜欢运动的女志愿者有6人,
设分别为,,,,,A B C D E F ,其中,,,A B C D 会外语, 则从这6人中任取2人有:
,,,,AB AC AD AE AF ; ,,,,BC BD BE BF CD ;
,,,,CE CF DE DF BF .共15种取法.
其中两人都会外语的有,,,,,,AB AC AD BC BD CD 共6种. 故抽出的志愿者中2人都能胜任翻译工作的概率是:62
155
P ==. 【点睛】
本题考查了的独立性检验和求事件的概率,解题关键是掌握独立性检验的求法和概率的解法,考查了分析能力,属于基础题.
20．如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是直角梯形,AD 垂直于AB 和DC ,侧棱SA ⊥底面ABCD ,且2SA =,1AD DC ==.点E 在SD 上,且AE SD ⊥．
⊥;
（1）证明:AE SC
-的体积.
（2）求三棱锥B ECD
【答案】（1）答案见解析（225
⊥,只需证AE⊥平面SDC,结合已知,即可求得答案; 【解析】（1）要证AE SC
（2）证明CD⊥平面ASD,AB∥平面SCD,可得点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE,即可求得答案.
【详解】
（1）侧棱SA⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD
∴SA CD
⊥
底面ABCD直角梯形,AD垂直于AB和DC,
∴⊥
AD CD
又AD SA A
=
∴CD⊥侧面SAD
AE⊂侧面SAD
⊥
∴AE CD
⊥⋂=
AE SD CD SD D
,
∴AE⊥平面SDC
（2）,
⊥⊥
CD AD CD AE
∴CD⊥平面ASD,
∴⊥
CD SD
1
2
EDC
S
ED DC ∴=
⋅ 在Rt ASD 中,2,1SA AD ==,AE SD ⊥
ED AE ∴== 1EDC
S
∴=
又 AB ∥CD ,CD ⊂平面SCD ,AB ⊄平面SCD ,
∴ AB ∥平面SCD ,
∴点B 到平面SCD 的距离等于点A 到平面SCD 的距离AE
1
3
15
B ECD ED
C V S
AE -∴=⋅⋅=
【点睛】
本题考查了求证线线垂直和求三棱锥的体积,解题关键是掌握三棱体积的求法和将线线垂直转化为线面垂直的证法,考查了分析能力和空间想象能力,属于中档题.
21．已知函数()f x 满足满足1
2
1()(1)(0)2
x f x f e f x x --+
'=； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若2
1()2
f x x ax b ≥
++，求(1)a b +的最大值. 【答案】（1）()f x 的解析式为2
1()2
x
f x e x x =-+
且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞
（2）1,a b ==
(1)a b +的最大值为
2
e
【解析】（1）12
11()(1)(0)()(1)(0)2
x x f x f e f x x f x f e f x --=-+
⇒-'='+' 令1x =得：(0)1f =
12
11()(1)(0)(1)1(1)2
x f x f e x x f f e f e --=-+
⇒'=⇔'=='
得：2
1(
)()()12
x
x f x e x x g x f x e x =-+
⇒==-+' ()10()x g x e y g x =+>⇒='在x R ∈上单调递增
()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x >=⇔>''='<⇔<'得：()f x 的解析式为
2
1()2
x f x e x x =-+
且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）2
1()()(1)02
x f x x ax b h x e a x b ≥
++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x >⇒='在x R ∈上单调递增
x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾
②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a >⇔>+<⇔<+'' 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥
令22
()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x =-'
()00,()0F x x e F x e >⇔<<⇔''x e =max ()2
e F x =
当1,a e b e ==(1)a b +的最大值为
2
e 22．在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为35x t
y t
=-⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),在极坐标
系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程25ρθ=, （1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程;
（3）设圆C 与直线l 交于点A 、B ,若点P 的坐标为(5,求PA PB +, 【答案】（1）直线l :35x y -=-圆C :22(5)5x y +=（2）32【解析】（1）因为直线l 的参数方程为35x t
y t
=-⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),消掉参数t ,即可
得到直线l 直角坐标方程.因为圆C 的方程5ρθ=,利用极坐标化直角坐
标的公式:cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
,即可求得答案.
（2）将直线l 的参数方程化为
:3x y ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
和圆C 的直角坐标方程建立方
程组,利用韦达定理,即可求得答案. 【详解】
（1
） 直线l
的参数方程为3x t
y t
=-⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),
消掉t 得
:3x y -=- 即
:30x y --+=
圆的极坐标方程
:ρθ=, 转化为
:220x y +-= . 即
:22(5x y +-=
∴直线l 直角坐标方程为
:3x y -=圆C 的直角坐标方程
:22(5x y +-=
（2）将直线l 的参数方程化为
:32
2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 参数)
代入圆的直角坐标方程得
:2
2
35⎛⎫⎫
+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
240t ∴++=
根据韦达定理可得
:1212
4t t t t ⎧+=-⎪⎨⋅=⎪⎩
可得120,0t t <<
根据直线标准参数方程的参数几何意义可得:
∴
12PA PB t t +=--=
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,解题关键是掌握直线参数方程的参数的几何意义的应用,考查了转化能力和计算求解能力,属于中档题.
23．已知函数
解不等式；
对任意，都有成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）（2）或
【解析】（1）通过对与三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；
（2）在坐标系中，作出的图象，对任意，都有成立，分与讨论，即可求得实数的取值范围．【详解】
(1)f(x)=|x+2|-2|x-1|≥-2.当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,故x∈⌀;
当-2<x<1时,3x≥-2,即x≥-,故-x<1;
当x≥1时,-x+4≥-2,即x≤6,故1≤x≤6;
综上,不等式f(x)≥-2的解集为
(2)f(x)=函数f(x)的图象如图所示.
令y=x-a,当直线y=x-a过点(1,3)时,-a=2.
故当-a≥2,即a≤-2时,即往上平移直线y=x-a,都有f(x)≤x-a.
往下平移直线y=x-a时,联立
解得x=2+,当a≥2+,即a≥4时,对任意x∈[a,+∞),-x+4≤x-a.
综上可知,a的取值范围为a≤-2或a≥4.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的性质及应用，考查等价转化思想与作图分析能力，突出恒成立问题的考查，属于难题．。