吉林省XX实验中学高一上册期末数学试卷(有答案)【精选】.doc

吉林省中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则A ∩（∁U B）=（）
A．{5}B．{2，4}C．{2，4，5，6}D．{1，2，3，4，5，7}
2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是（）
A．y=sin B．y=cos C．y=ln D．y=3
3．（5分）已知平面向量=（1，﹣2），=（2，m），且∥，则m=（）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
4．（5分）函数f（）=2sin（ω+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）
A． B． C． D．
5．（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A．，B．，
C．，D．，
6．（5分）已知a=sin80°，，，则（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
7．（5分）已知cosα+cosβ=，则cos（α﹣β）=（）
A．B．﹣C．D．1
8．（5分）已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），则与的夹角为（）A．B．C． D．
9．（5分）函数y=log0.4（﹣2+3+4）的值域是（）
A．（0，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．[2，+∞）
10．（5分）把函数y=sin（+）图象上各点的横坐标缩短到原的倍（纵坐标不变），再
将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．
11．（5分）已知函数f（）和g（）均为奇函数，h（）=af（）+bg（）+2在区间（0，+∞）上有最大值5，那么h（）在（﹣∞，0）上的最小值为（）
A．﹣5 B．﹣1 C．﹣3 D．5
12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）
=f（c），则a+b+c的取值范围是（）
A．（1，2017）B．（1，2018）C．[2，2018]D．（2，2018）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13．（5分）已知tanα=3，则的值．
14．（5分）已知，则的值为．
15．（5分）已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到y=g（）的图象，则g（）在上的值域为．
16．（5分）下列命题中，正确的是．
①已知，，是平面内三个非零向量，则（）=（）；
②已知=（sin），=（1，），其中，则；
③若，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值为2；
④O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．
三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题10分，18-22小题每小题10分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知=（4，3），=（5，﹣12）．
（Ⅰ）求||的值；
（Ⅱ）求与的夹角的余弦值．
18．（12分）已知α，β都是锐角，，．
（Ⅰ）求sinβ的值；
（Ⅱ）求的值．
19．（12分）已知函数f（）=cos4﹣2sincos﹣sin4．
（1）求f（）的最小正周期；
（2）当时，求f（）的最小值以及取得最小值时的集合．
20．（12分）定义在R上的函数f（）满足f（）+f（﹣）=0．当＞0时，f（）=﹣4+8×2+1．（Ⅰ）求f（）的解析式；
（Ⅱ）当∈[﹣3，﹣1]时，求f（）的最大值和最小值．
21．（12分）已知向量=（），=（cos），记f（）=．
（Ⅰ）求f（）的单调递减区间；
（Ⅱ）若，求的值；
（Ⅲ）将函数y=f（）的图象向右平移个单位得到y=g（）的图象，若函数y=g（）﹣在上有零点，求实数的取值范围．
22．（12分）已知函数f（），当，y∈R时，恒有f（+y）=f（）+f（y）．当＞0时，f（）＞0
（1）求证：f（）是奇函数；
（2）若，试求f（）在区间[﹣2，6]上的最值；
（3）是否存在m，使f（2（）2﹣4）+f（4m﹣2（））＞0对任意∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
吉林省中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则A ∩（∁U B）=（）
A．{5}B．{2，4}C．{2，4，5，6}D．{1，2，3，4，5，7}
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，B={1，3，5，7}，
∴C U B={2，4，6}，又A={2，4，5}，
则A∩（C U B）={2，4}．
故选B
2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是（）
A．y=sin B．y=cos C．y=ln D．y=3
【解答】解：y=sin为奇函数，且以2π为最小正周期的函数；
y=cos为偶函数，且以2π为最小正周期的函数；
y=ln的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，没有奇偶性；
y=3为奇函数，不为周期函数．
故选A．
3．（5分）已知平面向量=（1，﹣2），=（2，m），且∥，则m=（）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【解答】解：∵∥，
∴m+4=0，解得m=﹣4．
故选：D．
4．（5分）函数f（）=2sin（ω+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在同一周期内，函数在=时取得最大值，=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，
由此可得T==π，解得ω=2，
得函数表达式为f（）=2sin（2+φ）
又∵当=时取得最大值2，
∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2π（∈）
∵，∴取=0，得φ=﹣
故选：A．
5．（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：对于A，，，是两个共线向量，故不可作为基底．
对于B，，是两个不共线向量，故可作为基底．
对于C，，，是两个共线向量，故不可作为基底．．
对于D，，，是两个共线向量，故不可作为基底．
故选：B．
6．（5分）已知a=sin80°，，，则（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【解答】解：a=sin80°∈（0，1），=2，＜0，
则b＞a＞c．
故选：B．
7．（5分）已知cosα+cosβ=，则cos（α﹣β）=（）
A．B．﹣C．D．1
【解答】解：已知两等式平方得：（cosα+cosβ）2=cos2α+cos2β+2cosαcosβ=，（sinα+sinβ）
2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ=，
∴2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，即cosαcosβ+sinαsinβ=﹣，
则cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣．
故选B
8．（5分）已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），则与的夹角为（）A．B．C． D．
【解答】解：由已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），可得•（2+）
=2+=0，
设与的夹角为θ，则有2+||•4||•cosθ=0，即cosθ=﹣，又因为θ∈[0，π]，所以θ=，
故选：C．
9．（5分）函数y=log0.4（﹣2+3+4）的值域是（）
A．（0，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．[2，+∞）
【解答】解：；
∴有；
所以根据对数函数log0.4的图象即可得到：
=﹣2；
∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．
故选B．
10．（5分）把函数y=sin（+）图象上各点的横坐标缩短到原的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．
【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原的倍（纵坐标不变），得到函数；
再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．
故选A．
11．（5分）已知函数f（）和g（）均为奇函数，h（）=af（）+bg（）+2在区间（0，+∞）上有最大值5，那么h（）在（﹣∞，0）上的最小值为（）
A．﹣5 B．﹣1 C．﹣3 D．5
【解答】解：令F（）=h（）﹣2=af（）+bg（），
则F（）为奇函数．
∵∈（0，+∞）时，h（）≤5，
∴∈（0，+∞）时，F（）=h（）﹣2≤3．
又∈（﹣∞，0）时，﹣∈（0，+∞），
∴F（﹣）≤3⇔﹣F（）≤3
⇔F（）≥﹣3．
∴h（）≥﹣3+2=﹣1，
故选B．
12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）
=f（c），则a+b+c的取值范围是（）
A．（1，2017）B．（1，2018）C．[2，2018]D．（2，2018）
【解答】解：作出函数的图象，直线y=m交函数图象于如图，
不妨设a＜b＜c，
由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线=对称，
因此a+b=1，
当直线y=m=1时，由log2017=1，
解得=2017，即=2017，
∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），
由a＜b＜c可得1＜c＜2017，
因此可得2＜a+b+c＜2018，
即a+b+c∈（2，2018）．
故选：D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13．（5分）已知tanα=3，则的值．
【解答】解：===
故答案为：
14．（5分）已知，则的值为﹣1．【解答】解：∵，
∴f（）==，
f（）=f（）﹣1=cos﹣1=﹣=﹣，
∴==﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（5分）已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到y=g（）的图象，则g（）在上的值域为[﹣1，] ．
【解答】解：将函数=sin2+﹣=sin（2+）的图象，
向左平移个单位长度后得到y=g（）=sin（2++）=﹣sin2 的图象，
在上，2∈[﹣]，sin2∈[﹣，1]，∴﹣sin（2）∈[﹣1，]，
故g（）在上的值域为[﹣1，]，
故答案为：[﹣1，]．
16．（5分）下列命题中，正确的是②③④．
①已知，，是平面内三个非零向量，则（）=（）；
②已知=（sin），=（1，），其中，则；
③若，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值为2；
④O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．
【解答】解：①已知，，是平面内三个非零向量，则（）•=•（）不正确，
由于（）•与共线，•（）与共线，而，不一定共线，故①不正确；
②已知=（sin），=（1，），其中，
则•=sinθ+=sinθ+|sinθ|=sinθ﹣sinθ=0，则，故②正确；
③若，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）=1﹣tanα﹣tanβ+tanαtanβ
=1﹣tan（α+β）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ=1﹣（﹣1）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ=2，
故③正确；
④∵，λ∈（0，+∞），设=，=，
=+λ（+），
﹣=λ（+），
∴=λ（+），
由向量加法的平行四边形法则可知，
以，为邻边的平行四边形为菱形，而菱形的对角线平分对角
∴直线AP即为A的平分线所在的直线，即一定通过△ABC的内心，故④正确．
故答案为：②③④
三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题10分，18-22小题每小题10分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知=（4，3），=（5，﹣12）．
（Ⅰ）求||的值；
（Ⅱ）求与的夹角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，=（4，3），=（5，﹣12）．
则+=（9，﹣9），
则|+|==9，
（Ⅱ）=（4，3），=（5，﹣12）．
则•=4×5+3×（﹣12）=﹣16，
||=5，||=13，
则cosθ==﹣．
18．（12分）已知α，β都是锐角，，．
（Ⅰ）求sinβ的值；
（Ⅱ）求的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵α，β都是锐角，且，．
∴cos，sin（α+β）=，
∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=；（Ⅱ）=cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2×．
19．（12分）已知函数f（）=cos4﹣2sincos﹣sin4．
（1）求f（）的最小正周期；
（2）当时，求f（）的最小值以及取得最小值时的集合．
【解答】解：f（）=cos2﹣2sincos﹣sin2
=cos2﹣sin2=cos（2+）
（1）T=π
（2）∵
∴
20．（12分）定义在R上的函数f（）满足f（）+f（﹣）=0．当＞0时，f（）=﹣4+8×2+1．（Ⅰ）求f（）的解析式；
（Ⅱ）当∈[﹣3，﹣1]时，求f（）的最大值和最小值．
【解答】解：由f（）+f（﹣）=0．当，则函数f（）是奇函数，且f（0）=0，
当＞0时，f（）=﹣4+8×2+1．
当＜0时，﹣＞0，则f（﹣）=﹣4﹣+8×2﹣+1．
由f（）=﹣f（﹣）
所以：f（）=4﹣﹣8×2﹣﹣1．
故得f（）的解析式；f（）=
（Ⅱ）∈[﹣3，﹣1]时，令，t∈[2，8]，则y=t2﹣8t﹣1，
其对称轴t=4∈[2，8]，
当t=4，即=﹣2时，f（）min=﹣17．
当t=8，即=﹣3时，f（）ma=﹣1．
21．（12分）已知向量=（），=（cos），记f（）=．
（Ⅰ）求f（）的单调递减区间；
（Ⅱ）若，求的值；
（Ⅲ）将函数y=f（）的图象向右平移个单位得到y=g（）的图象，若函数y=g（）﹣在上有零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（）==sin cos+=sin+=sin（+）+，由2π+≤+≤2π+，求得4π+≤≤4π+，
所以f（）的单调递减区间是[4π+，4π+]．
（Ⅱ）由已知f（a）=得sin（+）=，则a=4π+，∈．
∴cos（﹣a）=cos（﹣4π﹣）=1．
（Ⅲ）将函数y=f（）的图象向右平移个单位得到g（）=sin（﹣）+的图象，则函数y=g（）﹣=sin（﹣）+﹣．
∵﹣≤﹣≤π，所以﹣sin（﹣）≤1，
∴0≤﹣sin（﹣）+≤．
若函数y=g（）﹣在上有零点，则函数y=g（）的图象与直线y=在[0，]上有交点，
所以实数的取值范围为[0，]．
22．（12分）已知函数f（），当，y∈R时，恒有f（+y）=f（）+f（y）．当＞0时，f（）＞0
（1）求证：f（）是奇函数；
（2）若，试求f（）在区间[﹣2，6]上的最值；
（3）是否存在m，使f（2（）2﹣4）+f（4m﹣2（））＞0对任意∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）令=0，y=0，则f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．令y=﹣，则f（0）=f（）+f（﹣），
∴﹣f（）=f（﹣），即f（）为奇函数；
（2）任取1，2∈R，且1＜2
∵f（+y）=f（）+f（y），
∴f（2）﹣f（1）=f（2﹣1），
∵当＞0时，f（）＞0，且1＜2，
∴f（2﹣1）＞0，
即f（2）＞f（1），
∴f（）为增函数，
∴当=﹣2时，函数有最小值，f（）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．
当=6时，函数有最大值，f（）ma=f（6）=6f（1）=3；
（3）∵函数f（）为奇函数，
∴不等式可化为
，
又∵f（）为增函数，∴，
令t=log2，则0≤t≤1，
问题就转化为2t2﹣4＞2t﹣4m在t∈[0，1]上恒成立，
即4m＞﹣2t2+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，令y=﹣2t2+2t+4，只需4m＞y ma，
而（0≤t≤1），∴当时，，则．
∴m的取值范围就为．。