《利用三角形全等测距离》示范公开课教案【北师大数学七年级下册】

《利用三角形全等测距离》教学设计
一、教学目标
1.能利用三角形全等解决无法直接测量距离之类的实际问题，体会数学与实际生活之间的联系．
2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达．
3.经历多种方案的设计过程及应用，培养学生的应用意识．
二、教学重难点
重点：能利用三角形全等解决无法直接测量距离之类的实际问题．
难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达．
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
【情境引入】
情境：一位经历过战争的老人讲述了这样一
个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔
河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我
军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量
工具的情况下，需要想出一个办法．如何测量
呢？
一位战士想出这样一个办法：他面向碉堡的
方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好
落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持
刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一
点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点
的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
你能解释其中的道理吗？
【探究】
问题1：分析两个三角形中存在的边角关系，填写下表：
已知问题边
角
教师活动：引导学生分析具体的测量步骤，得出已知的边、角相等的条件，找出实际问题的结论，并转化为数学语言描述．
预设答案：
已知问题边身高：AD=AD
说明：
直角：∠BAD=∠CAD；
AB=AC 角
视角：∠BDA=∠CDA
追问：你能证明AB=AC吗？
如图，已知△ABD与△ACD中，∠BAD=∠CAD，∠BAD=90°，∠CAD=90°，请说明
AB=AC．
预设答案：
证明：在△ABD与△ACD中，
D AD BAD CAD BA CA D
D A ∠⎪∠⎧==∠∠⎪
⎨⎩
= 所以△ABD ≌△ACD (ASA)． 所以AB=AC ． 【拓展】
仰望星空的人——泰勒斯曾利用日影来测量金字塔的高度，利用全等三角形的知识用不同的方法测量出轮船与海岸的距离．并准确地预测了公元前585年发生的日食．
如图，泰勒斯利用一种简单的工具进行测量．
1.竿EF 垂直于地面，在其上有一固定钉子A ，另一横杆可以绕A 转动，但可以固定在任一位置上．
2.将该细竿调准到河对岸B 的位置，然后转动EF (保持与地面垂直)，将细竿对准岸上的某一点C ．
3.则根据角边角(ASA)定理，DC = DB ． 【想一想】
问题2：如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明和小颖想用绳子测量A ，B 两点间的距离．他们想出了这样一个办法：
1.先在地上取一个可以直接到达点A 和点B 的点C ，
2.连接AC 并延长到D ，使CD =CA ；
3.连接BC 并延长到E ，使CE =CB ；
4.连接DE 并测量出它的长度，DE 的长度就是A ，B 两点间的距离．
你能说明其中的道理么？
预设答案：
证明：在△ABC 与△DEC 中，
AC DC ACB DCE BC EC =∠=⎪∠⎧⎪
⎨⎩
= 所以△ABC ≌△DEC (SAS)． 所以AB=DE ．
追问：还有别的方法吗？
教师活动：组织学生小组讨论，教师巡视，如遇有困难的小组，适当给出提示，小组内充分交流后，选代表回答，教师汇总并补充．待学生说出方案后，引导学生说明理由．
预设答案： 方案二：
1.戴一顶太阳帽，在点B 立正站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在池塘对面的点A ；
2.然后转过一个角度，保持刚才的姿势，帽檐不动，这时再望出去，仍让视线通过帽檐，视线所落的位置为点C ；
3.测出BC 的长，就是A ，B 间的距离． 方案三：
1.戴一顶太阳帽，在点B 立正站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在池塘对面的点A ；
2.保持姿势和帽檐不动，仍让视线通过帽檐，慢慢往后移动，当视线落到点B 时停止，此时所站的位置为C ；
3.测出BC 的长，就是A ，B 间的距离． 【归纳】
测量两点间距离问题的常见思路：
【典型例题】
【例1】把两根钢条AB ′，BA ′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，如图，若测得A 、B 间的距离为5 cm ，则槽宽为______cm ．
证明：在△AOB 与△B'OA'中，
O O AOB B A A OB OB OA ⎪'''=∠⎧'∠=⎪
⎨=⎩
所以△AOB ≌△B'OA'(SAS)． 所以AB=B'A'．
因为AB=5 cm ，所以B'A'=5 cm ． 【例2】某城市搞亮化工程，如图，在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯．已知A 灯恰
好照到 B 灯，B 灯恰好照到甲楼的顶部，如果两盏灯的光线与水平线的夹角是相等的，那么能否说甲楼的高度是乙楼的2倍？说说你的看法．
解：能，理由如下： 在△ABD 和△CBD 中，
CBD ABD BD BD
CDB ADB ∠⎪∠⎧=∠=∠⎪
⎨⎩
= 所以 △ABD ≌△CBD (ASA) 所以AD=CD ，所以AC=2AD ． 因为AD=BE ，所以AC=2BE ．
【随堂练习】
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当答疑.
1.如图，要测量河中礁石A 离岸边B 点的距离，采取的方法如下：顺着河岸的方向任作一条线段BC ，作∠CBA ′＝∠CBA ，∠BCA ′＝∠BCA ．可得△A ′BC ≌△ABC ，所以A′B ＝AB ，所以测量A′B 的长即可得AB 的长．判定图中两个三角形全等的理由是( )
A ．SAS
B ．ASA
C ．SSS
D ．AAS
解：在△A′BC和△ABC中，
由已知∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA．
又BC=BC，
根据ASA可得：△A′BC≌△ABC．
故选B．
2.某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳．图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm，依据是()
A．SAS B．ASA
C．SSS D．AAS
解：在△AOD和△BOC中，
由已知OA＝OB，OD＝OC．
又∠AOD=∠BOC，
根据SAS可得：△AOD≌△BOC．
故选A．
3.工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：
如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB 上分别取OM＝ON．移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，请你说明理由．。