第二节 求导法则

2 2
所确定的
隐函数 y f ( x ) 的导数.
解 方程两边作为x的函数同时求导
1 x 2 2 得 [ ln(x y )]) (arctan ) 2 y
1 y yx 1 ( 2 x 2 y y ) 2 即 2( x 2 y 2 ) x 2 y 1 ( ) y y x . 故 y y x
y x yu u x
y
u
x
y u 链式法则： y x u x
例3：求下列函数的导数.
(1) y sin 2 x; (2) y (1 2 x )30 ; (3) y ln( x x 2 a 2 ).
(1) y sin u, u 2 x 解：
dy dy du cos u 2 2sin 2 x dx du dx
2x
x2 3 x 3 (2) y , y _______________ . 2 1 x ( x 3)
2 1 1 2 x2 3 x 3 y=[ ] x 1 x 3(3 x ) 3(3 x ) 1 x ( x 3)2
五、隐函数求导法
F ( x, y ) 0 所确定的函数 y y( x ) 称为隐函数.
x
1 (a ) (loga y )
x
x
1 1 y ln a
1 log x ln a
x a
y lna a ln a
特别地 (e ) e .
x x
例7 求 y arcsinx( 1 x 1)的导数. 解 y arcsinx 的反函数为 x sin y
适用于幂指函数以 及复杂分式的导数
( x 1)( x 3) (2) y ( x 5)( x 7)
例8、求下列函数的导数
(1) y (1 2 x )
x
ln y x ln(1 2 x ) (1) ①法 两边取对数， 解：
方程两边关于 x 求导,
y (1 2 x ) 2x ln(1 2 x ) x ln(1 2 x ) y 1 2x 1 2x
x
2x (1 2 x ) [ln(1 2 x ) ) 1 2x
x
(2) 方程两边取对数
( x 1)( x 3) 1 ( x 1)( x 3) ] ln y ln[ ] ln[ 2 ( x 5)( x 7) ( x 5)( x 7)
1 2
1 [ln( x 1) ln( x 3) ln( x 5) ln( x 7)] 2
2x ] 所以 y (1 2 x ) [ln(1 2 x ) 1 2x
x
②法
(1) y (1 2 x ) e x ln(1 2 x )
x
x ln(1 2 x ) y e [ x ln （ 1+2 x )]
(1 2 x ) (1 2 x ) [ln(1 2 x ) x ] 1 2x
tan( 10 3 x ) (10 3 x )
2
2
6 x tan( 10 3 x ).
2
三.反函数的导数
f ( x ) 1 [ f 1 ( y )]
即反函数的导数等于原函数导数的倒数！
例6 求指数函数 y a (a 0, a 1)的导数.
x
解 y a 的反函数为 x loga y
解： (1) y ( x) sec2 x x(sec2 x )
sec x x 2sec x sec x tan x
2
sec x(1 2 x tan x)
2
(2) y ( x ) ln x x (ln x )
3 3
1 3 x ln x x x

(sin x ) cos x sin x(cos x )
cos x
2 2
2
1 cos x sin x 2 se c x . 2 2 cos x cos x
同理可求得
(cot x ) csc x
2
(se cx ) sec x tan x
(cscx ) csc x cot x
[a1u1 ( x) a2u2 ( x) ... anun ( x)]
a1u1 ( x ) a2 u2 ( x ) ... an un ( x )
3 x y 5 x 10 e 2cos x,求 y 例1： 已知
3 x 解：y (5 x ) (10e ) (2cos x)
y 2 e sin( x y ) xy 0 所确定的 ★例9、求由方程
隐函数 y y( x ) 的导数.
解：方程两边关于 x 求导.
2 e y cos( x y)(1 y ) y x 2 yy 0 y
解得
y 2 cos( x y ) y y . e cos( x y ) 2 xy
两边求导，
y 1 1 1 1 1 ( ) y 2 x 1 x 3 x 5 x 7
1 ( x 1)( x 3) 1 1 1 1 y ( ) 2 ( x 5)( x 7) x 1 x 3 x 5 x 7
练习：(1) y x2 x , y _____________; 2 x (ln x 1)
(cot x)
cos x
[sinx lncot x csc x].
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作业题 习题三(A) 8、(1)(9)(15)(19)(26) 9、(2)(6)(7)(9)(10) 10、 (4) 11、 (3)
例13 设 y (cot x )
cos x
,求 y.
cos x y (cot x ) 解 将 两边取对数
ln y cos x lncot x
方程两边作为x的函数同时求导
1 1 y ( sin x ) ln cot x cos x ( csc2 x ) cot x y y y[( sinx ) lncot x ( csc x )]
二.复合函数的导数
定理3.3
du 如果 u ( x ) 在点 x处有导数 ( x ), dx
dy y f (u) 在对应点 u 处有导数 f ( u), du
则复合函数 y f [ ( x )] 在点 x处的导数也存在,
dy dy du f [ ( x )] f [ ( x )] ( x). 而且 或 dx du dx
x 5( x ) 10(e ) 2(cos x) 3
15 x 2 10e x 2sin x
例2：求下列函数的导数.
(1) y tan x;(2) y cot x;(3) y sec x;(4) y csc x.
sin x ) 解： y (tan x ) ( cos x
的切线方程. 解 方程两边作为x的函数同时求导 得 2 x ( y xy) 2 yy 0
2x y 故 y 2y x
y ( 2 , 2 ) 1
所以切线方程为 y 2 1( x 2)
即
x y 4 0.
例12
x 求由方程 ln x y arctan y
例10 求由方程e
解
x y
xy 0 所确定的隐函数
y f ( x ) 的导数.
方程两边作为x的函数同时求导 得 (e
x y
) ( xy) 0
x y
即 e
x y
(1 y ) ( y xy) 0
ye 故 y x y . e x
2 2 x xy y 4 上点(2,2)处的 例11 求曲线
1 1 (arcsinx ) (siny ) cos y

1 1 sin y
2

1 1 x
2
.
(arcsinx )
(arccosx )
1 1 x
1 1 x
2
2
1 (arctanx ) 2 1 x
1 (arc cot x ) 2 1 x
四、对数求导法
(2) y u30 , u 1 2 x
dy dy du 30u29 2 60(1 2 x )30 dx du dx
(3) y ln u, u x x 2 a 2
1 dy dy du (x u dx du dx
x 2 a 2 )

1 x x2 a2
[1
( x 2 a 2 ) 2 x2 a2
]


1 x x2 a2
1 x x2 a2
(1
2x 2 x2 a2
)
x2 a2 x x2 a2

1 x2 a2
例4:求下列函数的导数.
(1) y x sec2 x tan x,(2) y x 3 1)
2
10 3 x )] 的导数. 例5 求 y ln[cos(
2
解
1 2 y 10 3 x )] 2 [cos( cos(10 3 x )
1 2 2 [ sin( 10 3 x )] (10 3 x ) 2 cos( 10 3 x )