天津市滨海七所重点学校2021届高三数学上学期期末考试试题

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某某市滨海七所重点学校2021届高三数学上学期期末考试试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.考试结束后，上交答题卡.
第I 卷（选择题，共45分）
一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}35A =，
，{}1,2,5B =，则(
)U
B A =（）
A ．{}2
B ．{}1,2
C ．{}2,4
D ．{}1,2,4
2.设R ∈x ，则“21>-x ”是“12
>x ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离
分家万事休．”函数()
()2cos x x x e e f x x -+=+的部分图象大致为()
A ．B. C. D.
4.中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的
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女排精神．看过电影“夺冠”后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，现随机抽取800个学生进行体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据分成六组[)40,50，[)50,60．．．[]90,100，则成绩落在[)70,80上的人数为（） A ．12B ．120 C ．24D ．240
5.在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -
的表面积为积为( )
A
．B
C
． 3D
．
6.已知函数x
e x
f -=)(，)31
(log e f a =，)1(log 3e f b =，)9
1
(log 1
e
f c =，则下述关系式正确的是（ ）
A ．b a c >>
B ．b c a >>
C ．c a b >>
D ．a b c >>
7.已知抛物线2
2(0)y px p =>上一点(1
)M m ，到其焦点的距离为5，双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左顶点为A
且离心率为2
5，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则双曲线的方程为（ ）
A ．1422
=-y x B ．14
22=-y x C ．1222=-y x D ．1422=-y x
8.设函数(
)2sin cos f x x x x =+，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π
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②()y f x =的图像关于直线π
12
x =
对称 ③()f x 在π2,6π3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递减
④把函数2cos 2y x =的图象上所有点向右平移π
12
个单位长度，可得到函数()y f x =的图象。

其中所有正确结论的编号是（）． A ．①④B ．②④C ．①②④D ．①②③
9.已知函数()2
1log ,1()(+1)41
2,a f x x a x x x ⎧+≥-=+<-+⎨⎩ (0a >，且1a ≠)在区间(,)-∞+∞上为单调函数，若函数()()2g x f x x =--有三个不同的零点，则实数a 的取值X 围是（）
A ．1142⎛⎤ ⎥⎝⎦，
B ．1344⎛⎤ ⎥⎝⎦
， C ．11134216⎛⎤⎧⎫⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭， D ．13134416⎛⎤⎧⎫
⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭， 第Ⅱ卷(非选择题，共105分)
二.填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.) 10.若复数z 满足13i
1i
z +=
-(其中i 是虚数单位)，则z 为_____________. 11.
在二项式9
x ⎛ ⎝
的展开式中，含6
x 的项的系数为__________.
12.已知直线l ：y x m =+被圆C ：2
2
4021x x y y ---+=截得的弦长等于该圆的半径，则
实数m =．
13.为了抗击新冠肺炎疫情，现从A 医院150人和B 医院100人中, 按分层抽样的方法，选出
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5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B 医院至少有一人的概率是________.设两名联络人中B 医院的人数为X ，则X 的期望为. 14.已知正实数,a b 满足2lg()lg
lg b a a b a b +=+，则b
a
b a ++2121的最小值为__________． 15.已知平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，AB 2=，AD 1=，DAB 60︒∠=，其中点P 在线段MD 上且满足AP CP ⋅=25
16
-
，DP =_______，若点N 是线段AB 上的动点，则ND NP ⋅的最小值为_______.
三.解答题(本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
16.（本小题满分14分）
ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c
且21,cos ,3
ABC b c A S ∆-===
（Ⅰ）求边a 及sin B 的值；
（Ⅱ）求cos 26C π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的值.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，BC AD //，12
1
==
AD BC 且
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3=CD ，2=PA PA F AD E 的中点，是棱的中点，为，,ABCD PE 底面⊥
（Ⅰ）证明：PCD BF 平面//； （Ⅱ）求二面角F BD P --的正弦值；
（Ⅲ）在线段PC （不含端点）上是否存在一点M ,使得直线BM
和平面BDF 所成角的正弦值为13
39
？若存在，求出此时PM 的长；若不存在，说明理由.
18.（本小题满分15分）
已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>
的离心率为2
，1F 、2F
分别为椭圆E 的左、右焦点，M
为E 上任意一点，12
F MF S
的最大值为1，椭圆右顶点为A .
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若过A 的直线l 交椭圆于另一点B ，过B 作x 轴的垂线交椭圆于C （C 异于B 点），连
E
A
P
B
C
D
F
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接AC 交y 轴于点P .如果1
2
PA PB ⋅=时，求直线l 的方程． 19.（本小题满分15分）
设{}n a 是等比数列，公比大于0，{}n b 是等差数列,(
)*
n N
∈.已知1
1a
=，322a a =+，
435a b b =+，5462a b b =+.
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n c 满足⎪⎩⎪⎨⎧=<<===+,
3,,33,1,1121k
k k k n n a n c c c 其中k *
∈N （i ）求数列{}
33(1)n n b c -的通项公式；
（ii ）若)()2)(1(*∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧++N n n n na n 的前n 项和为n T ，求)(31
3*
=∈+∑N n c b T n
i i i n .
20.（本小题满分16分）
已知函数2
()2ln ln f x x x a x =---. ()a R ∈
（Ⅰ）令()()g x xf x '=，讨论()g x 的单调性并求极值；
（Ⅱ）令2()()2ln h x f x x =++，若()h x 有两个零点；
（i ）求a 的取值X 围；
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（ii ）若方程(ln )0x
xe a x x -+=有两个实根1x ，2x ，且12x x ≠.证明：12
212x x e e
x x +>
2021年某某市滨海七所学校高三毕业班联考
数学试卷（理科） 评分标准
一、 选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分）
BACDB ADCD
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).
．144 12.24-或
13．
710
4514
15
．135256
(注：两个空的答对一个空给3分)
三.解答题(本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为()3
5
sin ,0,32cos =∈=
A A A 得π，……………… 1分 由53
5
21sin 21=⋅==
∆bc A bc S ABC 得6=bc ， ……………… 3分
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2,31===-c b c b ，得由……………… 4分
53
2
2cos 222==-+=a bc a c b A 得由余弦定理……………… 6分
由正弦定理
C
c
B b A a sin sin sin =
=得1sin =B ……………… 8分 （Ⅱ）()2
,0π
π=
∈∆B B ABC 由（Ⅰ）可知中，在……………… 9分
由于3
5
sin cos ,32cos sin ===
=A C A C ， ……………… 10分 ，
所以9
5
435322cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=C C C
，9
1
1cos 22cos 2=-=C C ……………… 12分
.185436sin 2sin 6cos 2cos 62cos +=⋅+⋅=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-πππC C C 所以……………… 14分
17. （本小题满分15分）
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解：（Ⅰ）法一：取PD 的中点为H ， ………… 1分 连接FH ，HC.因为F 为PA 的中点，所以FH //1
2
AD ， 又因为BC //
1
2
AD ，所以BC //FH ,所以四边形BCHF 为平行四边形， 所以C B F//H ， ………… 2分
又因为PCD.BF//PCD,PCD,C 平面所以平面平面⊄⊂BF H ………… 3分 （Ⅰ）法二：由题意得： BC
//
DE ,90,ADC ∠=
BCDE 所以四边形为矩形， ,PE ABCD ⊥又面
,
E xyz -如图建立空间直角坐标系 ()()()
()000,1,0,0,0,3,0,1,0,0,E A B D -则，， ()()
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-23,
0,21,0,3,1,3,0,0F C P ……………… 2分 设平面PCD 的法向量为()z y x m ,,=，()0,3,0=DC ，()
3
,0,1=DP
0,0DC m DP m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则30
,30y x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩则
0,=则y 3,x =-不妨设1,
=则z
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(3,0,1)
m =-可得………… 3分
,023,
3,21=⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=，可得又………… 4分
.//,BCD BF BCD BF 平面所以平面又因为直线⊄……… 5分
（Ⅱ）设平面PBD 的法向量为()1111,,z y x n =，()
,0,3,1=()
,3,3,0-=
则(
)
，可得，不妨设，即1,1,3,3033030
1111111--==⎩⎨⎧=+-=+⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅n x z y y x n BP n …… 6分
设平面BDF 的法向量为()2222,,z y x n =，,23,0,23⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=DF
则()
，可得，不妨设，即3,1,3,30232
3030022222222-==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n x z x y x n n …… 7分
因此有121212
65
cos 65
n n n n n n ⋅==-
⋅，
……………… 8分 （注：结果正负取决于法向量方向）
于是,6565
4,cos 1,212
21=
-=n n n n ……………… 9分
所以二面角F BD P --的正弦值为.65
65
4……………… 10分(注：前面设角后面不写答话不扣分)
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（Ⅲ）设(
()
,PM PC λλλ==-=-，……………… 11分
()
0,1λ∈
()
，λλλ33,33,-+--=+=……………… 12分
由（Ⅱ）可知平面BDF 的法向量为()
，3,1,32-=n
(
)
，13
39
332133333333cos 2
2
=
-
+⋅-+-+=
=
λλ
λλλ……………… 13分 有，01432
=+-λλ解得()
，或舍31
1==λλ……………… 14分
可得，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=33,33,3
1PM .3
7
=
……………… 15分 18. （本小题满分15分）
解：（Ⅰ）当M 为椭圆的短轴端点时，12
F MF S
取得最大值
即
1
212
S c b =⨯⨯=； ……………… 1分
又因为
2
c a =， 222a b c =+……………… 2分
解得：a =
1b =，1c =……………… 3分
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所以椭圆方程为2
212
x y +=……………… 4分
（Ⅱ）A ，根据题意，直线l 斜率存在且不为0 设直线l
：(y k x =， ……………… 5分
(,)
o o B x y
联立22
(12
y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
得2222
(12)420k x x k +-+-=……………… 6分
2212o x k =+
2242
12o k k -=+……………… 7分
即2221),)1212k B k k
--++……………… 8分
由题意得：2
22
1),)1212k C k k -+
+2
AC k k =
=-……………… 9分 （注：因为直线AB 与直线AC 关于x 轴对称，所以AC k k =-也可）
所以直线AC
：(y k x =--，令0x =
，则)P ……………… 10分 (注：写出P 点坐标才给分)
(2,))PA PB ⋅=⋅
42241021
122
k k k +-==+……………… 12分
（注：写出向量坐标，没整理对给1分）
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即4
2
81850k k +-=……………… 13分 解得：25()2k =-
舍21
4
k =……………… 14分 所以：12
k =±
直线l
：22x y =
-
或22
x y =-+……………… 15分 19. （本小题满分15分）
（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+
可得2
20q q --=.因为0q >，可得2q =，
……………… 1分
故
1
2n n a -=.……………… 2分
设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=
由5462a b b =+，可得131316,b d +=
从而
11,1,
b d ==……………… 3分
故
.
n b n =……………… 4分
所以数列{}n a 的通项公式为1
2n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =
（Ⅱ）
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（i ）⎪⎩⎪⎨⎧=<<=-+,
3,2,
33,111k
k k k n n n c ……………… 5分 )1()1(333-=-n a b c b n n n ……………… 6分
n n n n 363)12(311-⨯=-=--………………7分
（ii ）1222)2)(1(2)2)(1(1
1+-+=++⨯=++--n n n n n n n na n n n n .……………… 8分
1
322324458324421321
333+-+++-+-+-=-n n T n n n ……………… 9分
（注：先求n T 再求3n T 也没问题）
2
123233-+=n T n n ……………… 10分
∑∑∑∑====+=+=n
n
n
n
i i
i i
i
i
i i
i
i i
i b c b b c b
c b 31
31
31
31
1-)1-(）（）（……………… 11分 ∑∑==+-=n
i i i i
n
i b c b 31
1
33)1(
31
1131-6)3(13)(13)3(363)1-6132n
n n n n
n
i i
i i i -==⨯⨯-+⨯=⨯-+=-+
-∑∑（
（等比求和1分，等差求和1分）
……………… 13分
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2
323109623)31(2)1-3(35)1-6321n n n n n n n ⨯-++=⨯++⨯-⨯=+（…………… 14分
（注：写成
333331
1
1
1
n
n
n
i i
n
n
i i
i
i i i i b c b b b c
=====-+∑∑∑∑
(13)33(13)31-6)2131-6n n n n +⨯⨯-⨯=-+-（1269323102n n n
++-⨯=+没问题
）
23291046238131
3n
n n n i i i n n c b T n
⨯-++++=++=∑……………… 15分
（注：结果对即可如）
20. （本小题满分16分） 解：（Ⅰ）因为2ln ()1x a
f x x x
'=-
- 所以()()2ln g x xf x x x a '==--……………… 1分
(0,)x ∈+∞
2
()x g x x -'=
………………2分
1分) ……………… 3分 所以()g x 单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞
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极小值为(2)22ln 2g a =--,无极大值.………………4分 （Ⅱ）()ln h x x a x =-有两个零点. 因为()1a x a
h x x
x -'=-
=
所以……………… 5分 ①当0a ≤时，()0h x '>，()h x 单调递增，不可能有两个零点；……………… 6分 ②当0a >时，令()0h x '<，得0x a <<，()h x 单调递减；
令()0h x '>，得x a >，()h x 单调递增.……………… 7分
所以min ()()ln h x h a a a a ==-
要使()h x 有两个零点，即使()0h a <，得e a >，.……………… 8分 又因为(1)10h =>，所以()h x 在(1,)e 存在唯一一个零点……………… 9分 且e a >，()2e
e
0a
a
h a =->，
所以()h x 在()
e,e a 上存在唯一一个零点，符合题意.……………… 10分 综上，当a e >时，函数()h x 有两个零点. 法二：()ln h x x a x =-有两个零点， 等价于1ln x
x x
≠=
时，a 有两个实根，（1） …………5分 令()ln x F x x
=
2ln 1
()ln x F x x
-'=
…………6分 当(0,1)x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，且()0F x <； …………7分 当(1,)x e ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减；
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当(,)x e ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增；…………8分
()F e e =，1,()x F x +→→+∞， ,()x F x →+∞→+∞…………9分
要使（1）有两个实数根，即使()a F e e >=， 综上，当a e >时，函数()h x 有两个零点.…………10分 （Ⅲ）()()e (ln )e ln e 0x x x
x a x x x a x x -+=->有两个实根，
令e x t x =，
()ln g t t a t =-有两个零点1t ,2t ,111e x t x =，222e x t x =
所以1122ln 0ln 0
t a t t a t -=⎧⎨
-=⎩………………11分
（注意：上来没有直接换元，写12
111222(ln )0(ln )0
x
x x e a x x x e a x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩给1分）
所以()2121ln ln a t t t t -=-（1）
()2121ln ln a t t t t +=+（2） ………………12分
（注意：写2121
2122112
12211(ln ln )0(ln ln )0x x
x x x e x e a x x x x x e x e a x x x x ⎧+-+++=⎪⎨--+--=⎪⎩给1分）
要证12
2
12
e x x e
x x +>，只需证()()12212e e e x x x x ⋅>，即证()()1212ln e ln e 2x x x x +>，………13分 所以只需证12
ln ln 2t t +>.
18 / 18
由（1）（2）可得()22
11212121221
1
1ln ln ln ln ln 1t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--， 只需证22112
1
1ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-. ………………14分 设120t t <<，令21t t t =
，则1t >，所以只需证1ln 21t t t ->+，即证4
ln 201
t t +
->+. 令4()ln 21h t t t =+-+，1t >，则222
14(1)()0(1)(1)t h t t t t t '
-=-=>++，………………15分 ()(1)0h t h >=.即当1t >时，4
ln 201
t t +
->+成立. 所以12ln ln 2t t +>，即()()
122
12e e e x x x x ⋅>，
即12
212e e
x x x x +>. ………………16分。