难点详解冀教版九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系同步训练试卷(无超纲带解析)

九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系同步训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点P在边AB上，且AP＝3，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）
A．点B、C均在⊙P内B．点B在⊙P上、点C在⊙P内
C．点B、C均在⊙P外D．点B在⊙P上、点C在⊙P外
2、如图，PM，PN是O的切线，B，C是切点，A，D是O上的点，若44
∠=︒，
P
∠=︒，则D
MBA
30
∠的度数为（）
A．98︒B．96︒C．82︒D．78︒
3、如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作O的切线交BE延长线于点C，若∠ADE=36°，则∠C的度数是（）
A ．18°
B ．28°
C ．36°
D ．45°
4、如图，BC 与O 相切于点C ，AB 经过O 的圆心与O 交于D ，若40B ︒∠=，则A ∠=（ ）
A ．20︒
B ．25︒
C ．30︒
D ．35︒
5、如图，在平面直角坐标系中，()0,3A -，()2,1B -，()2,3C ．则△ABC 的外心坐标为
（ ）
A ．()0,0
B ．()1,1-
C ．()2,1--
D ．()2,1-
6、如图，面积为18的正方形ABCD 内接于⊙O ，则⊙O 的半径为（ ）
A ．32 B
C ．3
D ．7、平面内，⊙O 的半径为3，若点P 在⊙O 外，则OP 的长可能为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
8、如图，PA 、PB 是O 的切线，A 、B 是切点，点C 在O 上，且58ACB ∠=︒，则APB ∠等于（ ）
A ．54°
B ．58°
C ．64°
D ．68°
9、如图，将O 的圆周分成五等分（分点为A 、B 、C 、D 、E ），依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点M 是线段AD 、BE 的黄金分割点，也是线段NE 、AH 的黄金分割点．在以下结论中，不正确的是（ ）
A ．MN AM =
B ．FD AD =
C ．BN NM ME ==
D ．36A ∠=︒
10、若O 是ABC 的内心，当80A ∠=︒时，BOC ∠=（ ）
A ．130°
B ．160°
C ．100°
D ．110°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在ABC 中，4BC =，以点A 为圆心，2为半径的A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是A 上一点，且40EPF ∠=°，则图中阴影部分的面积是______．
2、如图，PM ，PN 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，C 为⊙O 上异于A ，B 的一点，连接AC ，BC ．若∠P ＝58°，则∠ACB 的大小是___________．
3、已知O 的半径为5，点A 到点O 的距离为7，则点A 在圆______．（填“内”或“上”或“外”）
4、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AB =，3AC =，O 是ABC 内切圆，则O 的半径为______．
5、如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，连结OA 、OB ．若OA ＝5，AB ＝6，则tan∠AOB ＝______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，AB 为O 的切线，B 为切点，过点B 作BC OA ⊥，垂足为点E ，交O 于点C ，连接CO ，并延长CO 与AB 的延长线交于点D ，与O 交于点F ，连接AC ．
(1)求证：AC 为O 的切线：
(2)若O 半径为2，4OD =．求阴影部分的面积．
2、如图，在ABC 中，AB AC =，⊙O 是ABC 的外接圆，过点C 作BCD ACB ∠=∠，交⊙O 于点D ，连接AD 交BC 于点E ，延长DC 至点F ，使CF AC =，连接AF ．
=；
(1)求证：ED EC
(2)求证：AF是⊙O的切线．
OA=，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，3、如图，点A在y轴正半轴上，1
C两点，D，C两点的横坐标是方程2430
>，连接BC．
x x
-+=的两个根，OC OD
(1)如图（1），连接BD．
①求ABD
∠的正切值；
②求点B的坐标．
⊥于点F，连接EB，ED，EC，求证：
(2)如图（2），若点E是DAB的中点，作EF BC
=+．
2CF BC CD
4、如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，PCB BDC
∠=∠．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求证：2
=⋅；
PE PB PA
(3)若BC=ACD的面积为12，求PB的长．
5、如图，已知AB是O的直径，点C在O上，点E在O外．
(1)动手操作：作ACB
∠的角平分线CD，与圆交于点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
∠=∠，求证：AE是O的切线．
(2)综合运用，在你所作的图中．若EAC ADC
-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
如图所示，连接DP，CP，先求出BP的长，然后利用勾股定理求出PD的长，再比较PC与PD的大小，PB与PD的大小即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，连接DP，CP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=3，AB=8，
∴BP=AB-AP=5，
∵5
PD==，
∴PB=PD，
>=，
∴PC PB PD
∴点C在圆P外，点B在圆P上，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，熟知用点到圆心的距离与半径的关系去判断点与圆的位置关系是解题的关键．
2、A
【解析】
【分析】
如图，连接,,,OA OB OC 先求解,,BOC AOB 再利用圆周角定理可得12ADC
BOC AOB ，从而
可得答案.
【详解】
解：如图，连接,,,OA OB OC
PM ，PN 是O 的切线，
90,OBP OBM OCP 44,30,P MBA
360909044136,60,BOC OBA
,OA OB
60,60,OAB AOB 198.2ADC BOC AOB
故选A
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，圆周角定理的应用，圆的切线的性质的应用，理解12ADC
BOC AOB 是解本题的关键.
3、A
【解析】
【分析】
连接OA，DE，利用切线的性质和角之间的关系解答即可．
【详解】
解：连接OA，DE，如图，
∵AC是O的切线，OA是O的半径，
∴OA⊥AC
∴∠OAC=90°
∠ADE=36°
∴∠AOE=2∠ADE=72°
∴∠C=90°-∠AOE=90°-72°=18°
故选：A.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，切线的性质，能求出∠OAC和∠AOC是解题的关键．4、B
【解析】
【分析】
连结CO，根据切线性质BC与O相切于点C，得出OC⊥BC，根据直角三角形两锐角互余
∠COB=90°-∠B=90°-40°=50°，然后利用圆周角定理
11
5025
22
A COB
∠=∠=⨯︒=︒即可．
【详解】
解：连结CO，
∵BC与O相切于点C，
∴OC⊥BC，
∴∠COB+∠B=90°，
∵40
B︒
∠=，
∴∠COB=90°-∠B=90°-40°=50°，
∴
11
5025
22
A COB
∠=∠=⨯︒=︒．
故选B．
【点睛】
本题考查圆的切线性质，直角三角形两锐角互余性质，圆周角定理，掌握圆的切线性质，直角三角形两锐角互余性质，圆周角定理是解题关键．
5、D
【解析】
【分析】
由BC两点的坐标可以得到直线BC∥y轴，则直线BC的垂直平分线为直线y=1，再由外心的定义可知△ABC外心的纵坐标为1，则设△ABC的外心为P（a，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到
()()()222
22222131621148PA a a PB a a a =++=+==-++=-+，由此求解即可． 【详解】
解：∵B 点坐标为（2，-1），C 点坐标为（2， 3），
∴直线BC ∥y 轴，
∴直线BC 的垂直平分线为直线y =1，
∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，
∴△ABC 外心的纵坐标为1，
设△ABC 的外心为P （a ，1），
∴()()()222
22222131621148PA a a PB a a a =++=+==-++=-+，
∴221648a a a +=-+，
解得2a =-，
∴△ABC 外心的坐标为（-2， 1），
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．
6、C
【解析】
【分析】
连接OA 、OB ，则OAB 为等腰直角三角形，由正方形面积为18，可求边长为2=18AB ，进而通过勾股定理，可得半径为3．
【详解】
解：如图，连接OA ，OB ，则OA =OB ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴90AOB ∠=︒，
∴OAB 是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD 的面积是18，
∴2=18AB ，
∴222+18OA OB AB ==，即：2218OA =
∴3OA =
故选C ．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正方形的性质等知识，构造等腰直角三角形是解题的关键．
7、A
【解析】
【分析】
根据点与圆的位置关系得出OP ＞3即可．
【详解】
解：∵⊙O 的半径为3，点P 在⊙O 外，
∴OP ＞3，
故选：A ．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，解答的关键是熟知点与圆的位置关系：设平面内的点与圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点在圆外⇔d ＞r ，点在圆上⇔d =r ，点在圆内⇔d ＜r ．
8、C
【解析】
【分析】
连接OB ，OA ，根据圆周角定理可得2116AOB ACB ∠=∠=︒，根据切线性质以及四边形内角和性质，求解即可．
【详解】
解：连接OB ，OA ，如下图：
∴2112AOB ACB ∠=∠=︒
∵PA 、PB 是O 的切线，A 、B 是切点
∴90OBP OAP ∠=∠=︒
∴由四边形的内角和可得：36064APB OBP OAP AOB ∠=︒-∠-∠-∠=︒
故选C ．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，切线的性质以及四边形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
9、C
【解析】
【分析】
利用正五边形的性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质，黄金分割定理判断即可．
【详解】
如图，连接AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，
∵点M 是线段AD 、BE 的黄金分割点，也是线段NE 、AH 的黄金分割点，
∴MN EM = ∵AB =BC =CD =DE =EA ，
∴∠DAE =∠AEB ，
∴AM =ME ，
∴MN AM = ∴A 正确，不符合题意；
∵点M 是线段AD 、BE 的黄金分割点，也是线段NE 、AH 的黄金分割点，
∴点F 是线段BD 的黄金分割点，
∴FD BD =， ∵AB =BC =CD =DE =EA ，∠BCD =∠AED ，
∴△BCD ≌△AED ，
∴AD =BD ，
∴FD AD ∴B 正确，不符合题意；
∵AB =BC =CD =DE =EA ， ∠BAE =108°，
∴∠BAC =∠CAD =∠DAE ，
∴∠CAD =36°，
∴D 正确，不符合题意；
∵∠CAD =36°， AN =BN =AM =ME ，
∴∠ANM =∠AMN =72°，
∴AM ＞MN ，
∴C 错误，符合题意；
故选C ．
【点睛】
本题考查了圆的性质，正五边形的性质，三角形的全等，黄金分割，熟练掌握圆的性质，正五边形的性质，黄金分割的意义是解题的关键．
10、A
【解析】
【分析】
由三角形内角和以及内心定义计算即可
【详解】
∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒
∴100ABC ACB ∠+∠=︒
又∵O 是ABC 的内心
∴OB 、OC 为ABC ACB ∠∠、角平分线，
∴OBC OCB ∠+∠1()502
ABC ACB =∠+∠=︒ ∴BOC ∠=180°()OBC OCB -∠+∠=180°-50°=130°
故选：A ．
【点睛】
本题考查了三角形内心的定义，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
二、填空题
1、849π-
【解析】
【分析】
连接AD ，由圆周角定理可求出80EAF ∠=︒，即可利用扇形面积公式求出EAF S 扇形．由切线的性质可知AD BC ⊥，即可利用三角形面积公式求出ABC S ．最后根据ABC EAF S S S =-阴扇形，即可求出结果．
【详解】
如图，连接AD ．
∵40EPF ∠=°，
∴280EAF EPF ∠=∠=︒， ∴22808028==3603609
EAF AE S πππ⨯⨯=扇形． ∵BC 是⊙O 切线，且切点为D ，
∴AD BC ⊥，2AD =， ∴1124422
ABC S AD BC =⋅=⨯⨯=△． ∵ABC
EAF S S S =-阴扇形， ∴849
S π=-阴． 故答案为：849π-
． 【点睛】
本题考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式．连接常用的辅助线是解答本题的关键． 2、61︒或119︒
【解析】
【分析】
如图，连接,,OA OB 利用切线的性质结合四边形的内角和定理求解122,AOB 再分两种情况讨论，结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.
【详解】
解：如图，连接,,OA OB 12,C C （即C ）分别在优弧与劣弧上，
PM ，PN 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，
90,PAO PBO ∴∠=∠=︒
58,P
360
909058122,AOB 12161,18061119.2
AC B AOB AC B 故答案为：61︒或119︒
【点睛】
本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，四边形的内角和定理的应用，求解122AOB ∠=︒是解本题的关键.
3、外
【解析】
【分析】
直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】
解：∵⊙O 的半径是5，点A 到圆心O 的距离是7，
即点A 到圆心O 的距离大于圆的半径，
∴点A 在⊙O 外．
故答案为：外．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
4、1
【解析】
【分析】
根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可．
【详解】
解：∵∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴BC，
如图，分别连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵⊙O是△ABC内切圆，D、E、F为切点，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB于D、E、F，OD=OE=OF，
∴S△ABC=S△BOC+S△AOC+S△AOB=1
2BC•DO+1
2
AC•OE+1
2
AB•FO=1
2
（BC+AC+AB）•OD，
∵∠ACB=90°，
∴11
()
22
AC BC BC AC AB OD ⨯⋅=++⋅，
∴
34
1
345
OD
⨯
==
++
．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查三角形内切圆与内心，勾股定理，熟练掌握三角形内切圆的性质是解答本题的关键．
5、6 5
【解析】
【分析】
由题意易得∠OAB=90°，然后根据三角函数可进行求解．【详解】
解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OAB=90°，
在Rt△OAB中，OA＝5，AB＝6，
∴
6 tan
5
AB
AOB
OA
∠==，
故答案为6
5
．
【点睛】
本题主要考查三角函数与切线的性质，熟练掌握三角函数与切线的性质是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)
2
3 S
π
=
阴影
【解析】
【分析】
（1）根据切线的判定方法，证出OC AC ⊥即可；
（2
）由勾股定理得，BD =
BOD S =△Rt BOD 中，根据90DBO ∠=︒，结合锐角三角函数求出角60BOD ∠=︒，再利用扇形的面积的公式求解即可．
(1)
解：如图，连接OB ，
∵AB 是O 的切线，
∴OB AB ⊥，即90∠=︒ABO ，
∵BC 是弦，OA BC ⊥，
∴CE BE =，
∴AC AB =，在AOB 和AOC △中，AB AC AO AO BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ∴()SSS AOB AOC ≌△△，
∴90ACO ABO ∠=∠=︒，即AC OC ⊥，
∴AC 是O 的切线；
(2)
解：在Rt BOD 中，
由勾股定理得，
BD ，122
BOD S =⨯=△ 在Rt BOD 中，90DBO ∠=︒， ∴21cos 42
OB BOD OD ∠===， ∴60BOD ∠=︒， ∴60423603
BOF S ππ︒⨯==︒扇，
∴23BOD BOF S S S π=-阴影扇△． 【点睛】
本题考查切线的判定和性质，三角形全等的判定及性质、勾股定理、锐角三角函数、扇形的面积公式，解题的关键是掌握切线的判定方法，锐角三角函数的知识求解．
2、 (1)见解析；
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)由AB=AC 知∠ABC =∠ACB ，结合∠ACB =∠BCD ，∠ABC=∠ADC 得∠BCD =∠ADC ，从而得证；
(2)连接OA ，由∠CAF =∠CFA 知∠ACD =∠CAF +∠CFA =2∠CAF ，结合∠ACB =∠BCD 得∠ACD =2∠ACB ，∠CAF =∠ACB ，据此可知AF ∥BC ，从而得OA ⊥AF ，从而得证．
(1)
解：∵AB AC =，
∴A ABC CB =∠∠，
又∵BCD ACB ∠=∠，ABC ADC ∠=∠
∠=∠，
∴BCD ADC
∴ ED EC
=；
(2)
解：如图，连接OA，
∵AB AC
=，
∴AB AC
=，
⊥，
∴OA BC
=，
∵CA CF
∠=∠，
∴CAF CFA
∴2
∠=∠+∠=∠，
ACD CAF CFA CAF
∵已知ACB BCD
∠=∠，
∴2
∠=∠，
ACD ACB
∴CAF ACB
∠=∠，
∴AF BC
∥，
∴OA AF
⊥，
∴AF为⊙O的切线．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理推论、切线的判定、平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
3、(1)①1
3
，②（4，3）
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）①过点P作PH⊥DC于H，作AF⊥PH于F，连接PD、AD，利用因式分解法解出一元二次方程，求出OD、OC，根据垂径定理求出DH，根据勾股定理计算求出半径，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据正切的定义计算即可；②过点B作BE⊥x轴于点E，作AG⊥BE于G，根据平行线分线段成比例定理定理分别求出OE、BE，得到点B的坐标；
（2）过点E作EH⊥x轴于H，证明△EHD≌△EFB，得到EH＝EF，DH＝BF，再证明
Rt△EHC≌Rt△EFC，得到CH＝CF，结合图形计算，证明结论．
(1)
解：①以AB为直径的圆的圆心为P，
过点P作PH⊥DC于H，作AF⊥PH于F，连接PD、AD，
则DH＝HC＝1
2
DC，四边形AOHF为矩形，
∴AF＝OH，FH＝OA＝1，
解方程x2﹣4x+3＝0，得x1＝1，x2＝3，
∵OC＞OD，
∴OD＝1，OC＝3，
∴DC＝2，
∴DH＝1，
∴AF＝OH＝2，
设圆的半径为r ，则PH 2＝21r -，
∴PF ＝PH ﹣FH ，
在Rt△APF 中，AP 2＝AF 2+PF 2，即r 2＝22+（PH ﹣1）2，
解得：r PH ＝2，PF ＝PH ﹣FH ＝1，
∵∠AOD ＝90°，OA ＝OD ＝1，
∴AD ，
∵AB 为直径，
∴∠ADB ＝90°，
∴BD ，
∴tan∠ABD ＝AD BD 13； ②过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，交圆于点G ，连接AG ，
∴∠BEO ＝90°，
∵AB 为直径，
∴∠AGB ＝90°，
∵∠AOE ＝90°，
∴四边形AOEG 是矩形，
∴OE ＝AG ，OA ＝EG ＝1，
∵AF ＝2，
∵PH ⊥DC ，
∴PH ⊥AG ，
∴AF ＝FG ＝2，
∴AG ＝OE ＝4，BG ＝2PF ＝2，
∴BE ＝3，
∴点B 的坐标为（4，3）；
(2)
证明：过点E 作EH ⊥x 轴于H ，
∵点E 是DAB 的中点，
∴ED ＝EB ，
∴ED ＝EB ，
∵四边形EDCB 为圆P 的内接四边形，
∴∠EDH ＝∠EBF ，
在△EHD 和△EFB 中，
90EDH EBF EHD EFB ED EB ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
， ∴△EHD ≌△EFB （AAS ），
∴EH ＝EF ，DH ＝BF ，
在Rt△EHC 和Rt△EFC 中，
EH EF EC EC
=⎧⎨=⎩， ∴Rt△EHC ≌Rt△EFC （HL ），
∴CH ＝CF ，
∴2CF ＝CH +CF ＝CD +DH +BC ﹣BF ＝BC +CD ．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定和性质、垂径定理、勾股定理的应用，正确作出辅助线、求出圆的半径是解题的关键．
4、 (1)见解析
(2)见解析
(3)PB 【解析】
【分析】
（1）连接OC ，根据直径所对的圆周角等于90°可得90ACB ∠=︒，根据等边对等角可得12∠=∠，进而证明1PCB ∠=∠，即可求得90PCB OCB ∠+∠=︒，从而证明PC 是⊙O 的切线；
（2）由（1）可得2PCB ∠=∠，进而证明ACP CBP △∽△，可得2PC PA PB =⋅，根据等角对等边证明PC PE =，即可得证2PE PB PA =⋅；
（3）作AF CD ⊥于点F ，勾股定求得AC =，证明∽ADF ABC ，进而求得DF 的长，设
CF AF a ==，根据△ACD 的面积为12，求得4CF AF ==，勾股定理求得AB ，由ACP CBP △∽△可得4=PA PB ，即可求得PB 的长．
(1)
连接O C ，如图，
∵AB 是O 的直径，
90ACB ∴∠=︒，
即190OCB ∠+∠=︒．
2BDC ∠=∠，PCB BDC ∠=∠，
2PCB ∴∠=∠
OA OC =，
12∠∠∴=.
1PCB ∴∠=∠，
90PCB OCB ∴∠+∠=︒.
∴⊥OC PC ．
又OC 是O 半径，
PC ∴是⊙O 的切线．
(2)
由（1），得2PCB ∠=∠．
P P ∠=∠，
ACP CBP ∴△∽△.
PC PB PA PC
∴=， 2PC PA PB ∴=⋅． CD 平分ACB ∠，
ACD BCD ∴∠=∠.
又2PCB ∠=∠，
2ACD BCD PCB ∴∠+∠=∠+∠，即PEC PCE ∠=∠． PC PE ∴=，
2PE PA PB ∴=⋅.
(3)
作AF CD ⊥于点F ，如图，
90AFD ∴∠=︒． CD 平分ACB ∠，90ACB ∠=︒， 45BCD ACD ∴∠=∠=︒．
CF AF ∴=
，由勾股定理得：AC =． ADC ABC ∠=∠，90AFD ACB ∠=∠=︒， ADF ABC ∴∽，
AF DF AC BC ∴==
2BC =
2DF ∴=.
设CF AF a ==，
2CD a ∴=+，
1(2)122
ACD S a a ∴=+=△. 解得4a =或6a =-（舍去）．
4CF AF ∴==．
Rt△ACF 中，由勾股定理得：
AC =
1
2CB AC ∴
=，AB == 由（2）得ACP CBP △∽△，
12
PC CB PB PA AC PC ∴===. 2PA PC ∴=，2PC PB =，
4PA PB ∴=，
3AB PB ∴=，
1
3PB AB ∴==【点睛】
本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
5、 (1)作图见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）如图，以点C为圆心BC为半径画弧交AC于点M；以B、M为圆心，大于1
BM为半径画弧，交点
2
为N，连接CN交O于点D即可．
∠=∠，
（2）连接AD，9090
∠=∠∠=︒∠+∠=︒
ADC ABC ACB ABC BAC
，，，EAC ADC
，，90
∠=︒，AB为直径，进而可得AE是O的切线．
BAE
∠=∠∠+∠=︒
90
EAC ABC EAC BAC
(1)
解：如图，以点C为圆心BC为半径画弧交AC于点M；以B、M为圆心，大于1
BM为半径画弧，交点
2
为N，连接CN交O于点D．
(2)
解：连接AD，如图
∵AC AC AB
=，为直径
∴9090ADC ABC ACB ABC BAC ∠=∠∠=︒∠+∠=︒，，
∵EAC ADC ∠=∠
∴90EAC ABC EAC BAC ∠=∠∠+∠=︒，
∴90BAE ∠=︒
又∵AB 为直径
∴AE 是O 的切线．
【点睛】
本题考查了角平分线的画法，圆周角，切线的判定等知识．解题的关键在于对知识的灵活熟练的运用．。