学17—18学年高一4月底月考数学试题(普通班)(附答案)

高一年级阶段测试(三)
数 学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位．．．．．．置上．．． 1．不等式
1
x
x +＜0的解集为 ▲ ．
2．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，| a |=2，| b ，则a ·b = ▲ ． 3．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π
3
，则B ＝ ▲ ．
4. 设U =R ，{}|1A x x =<，{}|B x x m =>，若U A B ⊆ð，则实数m 的范围是 ▲ ． 5．在等比数列{a n }中已知661=+n a a ，12811=⋅-n a a ，2q =，则n S = ▲ ．
6．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间+∞[0,）上是单调增函数，若
(1)(lg )f f x <，则x 的取值范围为 ▲ ．
7．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于 ▲ ． 8．已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x ＋2y ，则x ＋y 的最小值为 ▲ ．
9．已知正数数列{a n }对任意p ，q ∈N *，都有p q p q a a a +=，若2a ＝4，则9a ＝ ▲ ． 10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝ ▲ ．
11．若关于x 的不等式220ax x a -+<的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
12． 2cos10tan 20
cos 20
o
o o
-= ▲ ． 13．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2AD ＝1，AC ＝3，且∠CAB ＝π6，∠BAD ＝2π
3
，设
AC AB AD λμ=+，则λ＋μ＝ ▲ ．
14．已知a n ＝3n ，b n ＝3n ，n
*
，对于每一个k
*
，在a k 与a k ＋1之间插入b k 个3得到一
个数列{c n }．设T n 是数列{c n }的前n 项和，则所有满足T m ＝3c m ＋1的正整数m 的值为 ▲ ． 3
二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A
D
C
B
15． (本题满分14分)
如图，在平面四边形ABCD 中，AD
CD
ABD ＝60°，∠ADB ＝75°，∠ADC ＝120°．
(1)求BD 的长； (2)求△ABC 的面积．
16．（本题满分14分）
设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.
(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．
17．（本题满分14分）
已知函数1
()41
x f x a =++是奇函数. (1)求实数a 的值； (2)设函数1()11()2
g x f x =
-+
，对于任意的12,x x ∈R ，试比较
12()()
2
g x g x +与
12
(
)2
x x g +的大小.
18．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，()21a m m =≠-，前n 项和n S 满足
1
111(2)n n n n S a a +=-≥. (1)求3a (用m 表示）；
(2)求证：数列{}n S 是等比数列；
19．(本题满分16分)
如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是π
6
ECF ∠=，点E ，F 在直径AB 上，且π6
ABC ∠=
． (1)
若CE =AE 的长；
(2)设ACE α∠=, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
20．（本题满分16分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21)n n S a =-（，
数列{}n b 满足：对任意*n N ∈有a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 1(1)22n n +=-⋅+.
(1)求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； (2)记n
n n
b C a =
，数列{}n C 的前n 项和为n T ，证明：当6n ≥时，21n n T -<．
B
A
1. (－1，0)
2. 3
3. π6
4. 1
m< 5. 126
6.
1
(0)(10)
10
⋃+∞，，
7. －2
8. 3＋2 2
9. 512
10. π4
11. +
4⎫
∞⎪
⎢⎪
⎣⎭
12. 3
13. 4
14.3
15. 【答案】（1）2（2）
22
+解析：（1）在△ABD 中，AD ABD ＝60°，∠ADB ＝75°，∠BAD ＝180°－60°－75°＝45°，
由正弦定理得
sin 45BD =
，所以BD ＝2． ……………………4分 （2）解法一：在△BCD 中，BD ＝2，
因为∠BDC ＝∠ADC －∠ADB ＝120°－75°＝45°， CD
由余弦定理得BC 2
＝22
＋2
－＝2，所以BC ……………8分 所以△BCD 为等腰直角三角形，
所以∠DBC ＝45°，∠ABC ＝60°＋45°＝105°． ……………………10分
在△ABD 中，AD ABD ＝60°，∠ADB ＝75°，
由正弦定理得sin 75AB =
，所以AB 1． ……………………12分
△ABC
的面积
S ＝
12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12
×(＋1)××sin105°＝
．……………14分
解法二：在△ABD 中，AD BD ＝2，∠ADB ＝75°，
所以△ABD 的面积S 1＝12AD ·BD ·sin ∠ADB ……………………8分 又△ACD 的面积S 2＝
12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝32
， ……………………10分 △BCD 的面积S 3＝1． ……………………12分
所以△ABC 的面积S ＝S 1＋S 3－S 2． ……………………14分 考点：利用正余弦定理，三角形面积公式求解三角形
16. 解析 (1)由题意知S 6＝
－15
S 5
＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，…………2分
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.
解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. …………6分
(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，
即2a 21＋9da 1＋10d 2
＋1＝0，…………10分
故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8. （用判别式的给全分） 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥22. …………14分
17. 解：(1)1
()41
x
f x a =++是奇函数且定义域为R ，则12a =-，经检验，函数()f x 为奇函
数. …………6分
(2) ()4x
g x =，有1212()()4422x x g x g x ++=，12
12
2(
)42
x x x x g ++= 则
1212121212222
12122()()4422222(22)
()4022222
x x x x x x x x x x g x g x x x g +++++-⨯⨯--=-==≥
故有
12()()2g x g x +≥12()2
x x
g +. …………14分
18. 【答案】（1）23a m m =+ 解析：（1）令2n =，则
223111S a a =-，将11a =， 2a m =代入，有3
111
1m m a =-+，解 23a m m =+ (6)
分 （2）由
1111(2)n n n n S a a +=-≥，得11111
n n n n n
S S S S S -+=-
--，化简得211n n n S S S -+=， 又0n S ≠，∴数列{}n S 是等比数列……………………………………………………………16分
19. 解析： （1）连结AC ，已知点C 在以AB 为直径的半圆周上，所以ABC ∆为直角三角形， 因为8AB =，6
ABC π
∠=
，所以3
BAC π
∠=
，4AC =，在ACE ∆中由余弦定理
222
2cos CE AC AE ACAE A =+-
，且CE =213164AE AE =+-，解得1AE =或
3AE =，
（2）因为2ACB π∠=
，6ECF π∠=
，所以ACE α∠=[0,]3
π
∈，所以
362
AFC A ACF πππ
ππαα⎛⎫∠=-∠-∠=--+=- ⎪⎝⎭，
在ACF ∆中由正弦定理得：
sin sin cos sin()2CF AC AC AC A CFA πα
α===∠-
，所以CF =，
在ACE ∆中，由正弦定理得：
sin sin sin()
3CE AC AC A AEC πα==∠+
，所以sin()
3
CE α+ ，
若产生最大经济效益，则CEF 的面积ECF S D 最大，
1312sin 2sin()cos 2sin(2)33ECF S CE CF ECF ππααα∆=⋅∠==++，因为[0,]3π
α∈，所以
0sin(2)13
π
α+≤≤
所以当=3
π
α时，ECF S D
取最大值为，此时该地块产生的经济价值最大．
20.【解析】（1）当1n =时，1112(1)S a a ==-，所以12a =， 当1n >时，
112()n n n n n a S S a a --=-=-，
所以数列{}n a 是以12a =，公比2q =的等比数列，通项公式为2()n n a n N *=∈.由题意有
11a b =2(11)222-⋅+=，得11b =.
当2n ≥时，n n a b =1122()n n a b a b a b ++
+112211()n n a b a b a b ---+++
1(1)22n n -⎡⎤=-⋅+-⎣⎦(2)22n n ⎡⎤-⋅+=⎣⎦2n n ⋅，于是得n b n =故数列{}n b 的通项公式为
n b n =()n N *∈．
（2） 证明：n T =
12
12
n n b b b a a a +++
=2
12
222n n +
++
，所以12n
T =23
1
12
222n n
++++
，
错位相减得12n T =
23
1111122222n n n +++++
-，所以2n T =-22n n +，即2n T -=22n
n +， 下证：当6n ≥时，
(2)1
2n n n +<，令()f n =(2)2n
n n +，(1)()f n f n +-=1(1)(3)(2)22n n n n n n ++++-
=2
132
n n +- 当2n ≥时，(1)()0f n f n +-<，即当2n ≥时，()f n 单调减，又(6)1f <， 所以当6n ≥时，()1f n <，即
(2)
12n
n n +<，即当6n ≥时，21n n T -<.。