高中数学 第4章 §1 1.1导数应用课件 北师大版选修1-1

∴a≤0.
4．若在区间(a，b)内有f ′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a，b)内 有( ) A．f(x)＞0 C．f(x)＝0 B．f(x)＜0 D．不能确定
[答案] A
[解析] ∵在区间(a，b)内有f ′(x)>0，且f(a)≥0， ∴函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，∴f(x)>f(a)≥0.
1 (2)函数的定义域为 R，f′(x)＝2－sinx. 1 7π π 令2－sinx>0，解得 2kπ－ 6 <x<2kπ＋6(k∈Z)； 1 π 5π 令2－sinx<0，解得 2kπ＋6<x<2kπ＋ 6 (k∈Z)． π 5π 故函数 f(x)在(2kπ＋6， 2kπ＋ 6 )(k∈Z)上为减函数， 在(2kπ 7π π － 6 ，2kπ＋6)(k∈Z)上为增函数.
2 ．如图所示是函数 f(x) 的导函数f′(x) 的图像，则下列判断
中正确的是( ) A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减少的 B．函数f(x)在区间(1,3)上是减少的 C．函数f(x)在区间(0,2)上是减少的
D．函数f(x)在区间(3,4)上是增加的
[答案] A [解析] 当x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则f(x)是减少的．其他判 断均不正确，故选A.
在整个定义域上的整体性质，要注意两者的联系与区别．
4．利用导数的方法解决实际问题时，数学建模是关键， 特别是对有关物理问题，要能够将其物理意义与导数联系起来.
第四章 §1 函数的单调性与极值

第四章 1.1 导数与函数的单调性
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
自主预习学案
结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数
单调递增． 再观察函数 y＝ x的图像， 除原点外每一点的切线斜率都
正 值，函数单调递增． 取_____
思维导航 1． 结合高台跳水运动和函数 y＝3x， y＝x2， y＝x3 ， y＝ x， 1 y＝x 的单调性与导函数值正负的关系，你能得出什么结论？
新知导学 2．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1) 如果在区间 (a ， b) 内， f ′(x)>0 ，则 f(x) 在此区间内单调 递增 ___________ ； (2) 如果在区间 (a ， b) 内， f ′(x)<0 ，则 f(x) 在此区间内单调 递减 _________ ．
新知导学 3 ．如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么 快 ，其图像比较______ 陡峭 ． 这个函数在这个范围内变化较_______
牛刀小试 1．函数y＝3x－x3的单调递增区间为( A．(0，＋∞) C．(－1,1) B．(－∞，－1) D．(1，＋∞) )
[答案] C
[解析] y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)， 令y′>0，得－1<x<1，故选C.
(3)函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， b b f ′(x)＝(x＋x )′＝1－x2， 1 令 f ′(x)＞0，则x2(x＋ b)(x－ b)＞0， ∴x＞ b，或 x＜－ b. ∴函数的单调递增区间为(－∞，－ b)和( b，＋∞)． 1 令 f ′(x)＜0，则x2(x＋ b)(x－ b)＜0， ∴－ b＜x＜ b，且 x≠0. ∴函数的单调递减区间为(－ b，0)和(0， b)．
典例探究学案
用导数求函数的单调区间
求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x－lnx； x (2)f(x)＝2＋cosx； b (3)f(x)＝x＋x(b>0)．
[ 解析]
(1)函数的定义域为(0，＋∞)，
1 其导函数为 f′(x)＝2－ x. 1 1 令 2－x >0，解得 x>2； 1 1 令 2－x <0，解得 0<x<2. 1 1 故函数 f(x)在(2， ＋∞)上为增函数， 在(0， 2)上为减函数．
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第四章
导数应用
●情景导学 在一个古老的大家族里，族长是位老者名叫函数，领着他
的众多子孙如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数快乐
地生活着，日复一日、年复一年，突然有一天，他的子孙发生 了变异，出现了高次函数和一些复合函数，老者无法认清它们
3．函数 y＝ax3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( 1 A．a＝3 C．a＝2
[ 答案] [ 解析] D y′＝3ax2－1，
)
B．a＝1 D．a≤0
∵函数 y＝ax3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数， 则 3ax2－1≤0 在 R 上恒成立， ∴a＝0
a<0， 或 Δ＝12a≤0.
●学法探究 1．利用导数研究函数的单调性，要注意借助数形结合思 想来加深对函数的导数与单调性的关系的理解．通过实例，体 会利用导数解决单调性问题的方法．
2．函数的极值与函数的单调性密切相关，结合函数的单
调性用数形结合的思想方法不难把握极值点的实质． 3．函数的极值是函数的局部性质，而函数的最值是函数
的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多
项式函数的单调区间.
重点：利用求导的方法判断函数的单调性．
难点：探索发现函数的导数与单调性的关系.
函数的单调性与导函数正负的关系
新知导学
负 1． 观察函数 y＝x2 的图像， x<0 时， 切线的斜率都取_____ 正 值，函数 值，函数单调递减；x>0 时，切线的斜率都取_____
17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨站在巨人的肩膀上，凭着他 们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分．导 数是微积分的核心概念之一．它是研究函数增减、变化快慢、
最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具，因而也是解决诸
如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、 利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具．
的真面目，视为“怪胎”，就派人出去请了一位能人名叫导数，
导数对着“怪胎”一求导，“怪胎”接着现了原型，老者很高 兴，邀请导数加入他的家族，从此导数帮助老者解决了很多难 解. 老者了解到导数擅长作画，就聘请他作画师，给每位新出 现的函数画像．这则故事说明了导数的功能：解决高次函数问
题、解决函数图像问题．
函数的变化快慢与导数的关系
思维导航 2． 上面我们已经知道 f ′(x)的符号反映 f(x)的增减情况， 那么能否用导数解释 f(x)变化的快慢呢？ 3．在同一坐标系中画出函数 y＝2x，y＝3x，y＝ x，y＝ x2，y＝x3 的图像，观察 x>0 时，函数增长的快慢，与各函数 的导数值的大小作对比，你发现了什么？