2021年九年级中考数学 专题训练：二次函数的实际应用(含答案)

2021中考数学专题训练：二次函数的实际应用
一、选择题
1. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连.最高的钢拱如图所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达式为()
A.y=x2
B.y=-x2
C.y=x2
D.y=-x2
2. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位: s)之间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40 m;
②小球抛出3秒后，速度越来越快;
③小球抛出3秒时速度为0;
④小球的高度h=30 m时，t=1.5 s.
其中正确的是()
A.①④
B.①②
C.②③④
D.②③
3. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD的总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()
A．18 m2B．18 3 m2 C．24 3 m2 D.45 3
2m
2
4. 如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=-(x-80)2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面CD处，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为()
A.16米
B.米
C.16米
D.米
5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．有下列结论：
①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.
其中正确的是()
A．①④B．①②C．②③④D．②③
6. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是()
A.当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距O点水平距离为3 m
B.小球距O点水平距离超过4 m时呈下降趋势
C.小球落地点距O点水平距离为7 m
D.斜坡的坡度为1∶2
7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿AC 向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B时，两点同时停止运动)，在运动过程中，四边形P ABQ的面积的最小值为()
A．19 cm2B．16 cm2C．15 cm2D．12 cm2
8. 如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y
＝4x－1
2x
2刻画，斜坡可以用一次函数y＝
1
2x刻画，下列结论错误的是()
A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距点O的水平距离为3 m
B．小球距点O的水平距离超过4 m后呈下降趋势
C．小球落地点距点O的水平距离为7 m
D．小球距点O的水平距离为2.5 m和5.5 m时的高度相同
二、填空题
9. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m2.
10. 某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，则可卖出(30－x)件．若要使销售利润最大，则每
件的售价应为________元．
11. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=.
12. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解
析式为y＝－1
9(x－6)
2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为
________________．
13. 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t·为正整数
．．．．)的增大而增大，a 的取值范围应为________．
14. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．
三、解答题
15. 已知某商品的进价为每件40元，现售价为每件60元，每星期可卖出300件，
经市场调查反映，每件每涨价1元，每星期可少卖出10件．
(1)要想每星期获得6090元的利润，该商品每件的价格应定为多少元？
(2)每星期能否获利7000元？试说明理由．
(3)该商品每件的价格定为多少元时，每星期获利最大，最大利润是多少？
16. 旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发现每天的运营规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
17. 凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×(18－10)＝0.8(元)，因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．
(1)求一次至少购买多少只计算器，才能以最低售价买？
(2)写出该文具店一次销售x(x＞10)只时，所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系
式，并写出自变量x的取值范围；
(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？
18. 已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图①所示．
(1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
图①
(2)写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量n(kg)之间的函数关系式；在上图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图
②所示．该经销商拟每日售出60 kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．
图②
2021中考数学专题训练：二次函数的实际应用
-答案
一、选择题
1. 【答案】B[解析]设二次函数的表达式为y=ax2，由题可知，点A的坐标为(-45，-78)，代入表达式可得:-78=a×(-45)2，解得a=-，∴二次函数的表达式为
y=-x2，故选B.
2. 【答案】D[解析]①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m，故①错误;
②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确;
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确;
④设函数解析式为:h=a(t-3)2+40，
把O(0，0)代入得0=a(0-3)2+40，解得a=-，
∴函数解析式为h=-(t-3)2+40.
把h=30代入解析式得，30=-(t-3)2+40，解得t=4.5或t=1.5，
∴小球的高度h=30 m时，t=1.5 s或4.5 s，故④错误，故选D.
3. 【答案】C[解析] 如图，过点C作CE⊥AB于点E，
则四边形ADCE为矩形，∠DCE＝∠CEB＝90°，
则∠BCE ＝∠BCD －∠DCE ＝30°. 设CD ＝AE ＝x m ，则BC ＝(12－x)m.
在Rt △CBE 中，∵∠CEB ＝90°，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝12BC ＝(6－1
2x)m ， ∴AD ＝CE ＝BC 2－BE 2＝(6 3－32x)m ，AB ＝AE ＋BE ＝x ＋6－12x ＝(12x ＋
6)m ，
∴梯形ABCD 的面积＝1
2(CD ＋AB)·CE ＝12(x ＋12x ＋6)·(6 3－32x) ＝－3 3
8x 2＋3 3x ＋18 3 ＝－3 3
8(x －4)2＋24 3.
∴当x ＝4时，S 最大＝24 3.
即CD 的长为4 m 时，梯形储料场ABCD 的面积最大为24 3 m 2.故选 C.
4. 【答案】B
[解析]∵AC ⊥x 轴，OA=10米，
∴点C 的横坐标为-10. 当x=-10时，y=-(x -80)2+16=
+16=-，
∴C ， ∴桥面离水面的高度AC 为米.
故选B .
5. 【答案】D [解析] ①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m ，故①错误； ②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；
③∵小球抛出3秒时达到最高点，∴速度为0，故③正确；
④设函数解析式为h ＝a(t －3)2＋40，
把O(0，0)代入得0＝a(0－3)2＋40.
解得a ＝－409
， ∴函数解析式为h ＝－409
(t －3)2＋40. 把h ＝30代入解析式，得30＝－409
(t －3)2＋40， 解得t ＝4.5或t ＝1.5，
∴小球的高度h ＝30 m 时，t ＝1.5 s 或4.5 s ，故④错误．故选D.
6. 【答案】A [解析]根据函数图象可知，当小球抛出的高度为
7.5 m 时，二次函数y=4x -x 2的函数值为7.5，即4x -x 2=7.5，解得x 1=3，x 2=5，故当抛出的高度为7.5 m 时，小球距离O 点的水平距离为3 m 或5 m ，A 结论错误;由y=4x -x 2，得y=-(x -4)2+8，则抛物线的对称轴为直线x=4，当x>4时，y 随x 值的增大而减小，B 结论正确;联立方程y=4x -x 2与y=x ，解得或则抛物线
与直线的交点坐标为(0，0)或7，，C 结论正确;由点7，知坡度为∶7=1∶2也可以根据y=x 中系数的意义判断坡度为1∶2，D 结论正确.故选A .
7. 【答案】C [解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6 cm.
设运动时间为t s(0<t≤4)，则PC ＝(6－t)cm ，CQ ＝2t cm ，
∴S 四边形PABQ
＝S △ABC －S △CPQ ＝12AC·BC －12PC·CQ ＝12×6×8－12(6－t)×2t ＝t 2－6t ＋24＝(t －3)2＋15，
∴当t ＝3时，四边形PABQ 的面积取得最小值，最小值为15 cm 2.
故选C.
8. 【答案】A [解析] 令y ＝7.5，得4x －12x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A 错误．
由y ＝4x －12x 2得y ＝－12
(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，选项B 正确．
联立y ＝4x －12x 2与y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72
.∴抛物线与直线的交点坐标为(0，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫7，72，可见选项C 正确．
由对称性可知选项D 正确．
综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.
二、填空题
9. 【答案】144 【解析】∵围墙的总长为50 m ，设3间饲养室合计长x m ，则饲
养室的宽＝48－x 4 m ，∴总占地面积为y ＝x·48－x 4＝－14x 2＋12x(0＜x ＜48)，由y
＝－14x 2＋12x ＝－14(x －24)2＋144，∵x ＝24在0＜x ＜48范围内，a ＝－14
<0，∴在0＜x≤24范围内，y 随x 的增大而增大，∴x ＝24时，y 取得最大值，y 最大＝144 m 2.
10. 【答案】25 [解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －20)(30－x)＝－(x －25)2＋25. ∵20≤x≤30，
∴当x ＝25时，二次函数有最大值25.
11. 【答案】1.6 [解析]设各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度h ，则第一个小球的离地高度y=a (t -1.1)2+h (a ≠0)，
由题意a (t -1.1)2+h=a (t -1-1.1)2+h ，
解得t=1.6.
故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同.
12. 【答案】y ＝－19
(x ＋6)2＋4
13. 【答案】0<a ≤5 【解析】设未来30天每天获得的利润为y ，y ＝(110－40－t)(20＋4t)－(20＋4t)a 化简，得y ＝－4t 2＋(260－4a)t ＋1400－20a ，每天缴纳电商
平台推广费用后的利润随天数t(t为整数)的增大而增大，则－（260－4a）
2×（－4）
≥30，
解得a≤5，又∵a＞0，∴a的取值范围是0＜a≤5.
14. 【答案】1.6 秒【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同. 故该距离为0.5秒，所以此时第一个小球抛出后t＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．
三、解答题
15. 【答案】
解：设该商品每件涨价x元时，每星期获得的总利润为y元．
(1)由题意，得(60＋x－40)(300－10x)＝6090，
整理得x2－10x＋9＝0，
解得x1＝1，x2＝9.
60＋1＝61(元)，60＋9＝69(元)．
答：要想每星期获得6090元的利润，该商品每件的价格应定为61元或69元．(2)不能．理由：列方程，得(60＋x－40)(300－10x)＝7000，
整理得x2－10x＋100＝0.
∵Δ＝(－10)2－4×1×100＜0，
∴此方程无实数解，
∴销售该商品每星期不能获利7000元．
(3)y＝(60＋x－40)(300－10x)＝－10x2＋100x＋6000＝－10(x－5)2＋6250，
∴当x＝5时，y
最大
＝6250，60＋x＝65.
答：该商品每件的价格定为65元时，每星期获利最大，最大利润为6250元．
16. 【答案】
解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0<x≤100，
由50x－1100>0，(2分)
解得x>22，(3分)
又∵x是5的倍数，
∴每辆车的日租金至少应为25元．(5分)
(2)设每天的净收入为y元，
当0<x≤100时，y1＝50x－1100，(6分)
∵y1随x的增大而增大，
∴当x＝100时，y1的最大值为50×100－1100＝3900；(8分)
当x>100时，y2＝(50－x－100
5)x－1100＝－
1
5x
2＋70x－1100＝－
1
5(x－175)
2＋
5025.(9分)
∴当x＝175时，y2的最大值是5025，
∵5025>3900，
∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．(10分)
17. 【答案】
解：(1)设一次至少买x只计算器，才能以最低售价购买，则每只降价为：0.1(x －10)元，由题意得，
20－0.1(x－10)＝16，
解得x＝50.
答：一次至少购买50只计算器，才能以最低售价购买．(2分)
【一题多解】设一次购买x 只计算器，才能以最低售价购买，则每只降低为：0.1(x －10)元，由题意得，20－0.1(x －10)≤16，解得x ≤50，
∴最大整数x ＝50.
答：一次至少购买50只计算器，才能以最低售价购买．
(2)由题意得，当10＜x ≤50时，y ＝[20－12－0.1(x －10)]x ，
即y ＝－0.1x 2＋9x(3分)
当x ＞50时，则每只计算器都按16元销售．
∴y ＝16x －12x ＝4x ，
综上可得y ＝⎩⎨⎧－0.1x 2＋9x （10＜x ≤50）4x （x ＞50）
.(5分) (3)由y ＝－0.1x 2＋9x 得，其图象的对称轴为x ＝－b 2a ＝－92×（－0.1）
＝45， ∵a ＝－0.1＜0，当x ＞45时，y 随x 的增大而减小，(6分)
又∵50＞46＞45，
∴当x ＝46时的函数值大于x ＝50时的函数值，
即卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多．(8分)
由二次函数的性质知，当x ＝45时，y 最大值＝－0.1×452＋9×45＝202.5，
这时售价为20－0.1×(45－10)＝16.5(元)．
答：店家一次应卖45只，这时的售价是16.5元．(10分)
18. 【答案】
思路分析：思路分析：本题考查了分段函数的意义及构建二次函数求解利润最大问题．解题关键是确定水果资金额w 与批发量n 之间的函数关系式，以及构建销售利润y 与批发量n 之间的函数关系式．利用二次函数求最大利润问题时，需注意①分类讨论．(涨价与降价)②分清每件的利润与每周的销售量，理清价格与它们之间的关系．
解图
③自变量的取值范围的确定．保证实际问题有意义．④一般是利用二次函数的顶点坐标求最大值，但有时顶点坐标不在取值范围内，注意画图分析．注意所学的思想方法是建立函数关系，用函数的观点、思想去分析实际问题．
解：(1)图①表示批发量不少于20 kg 且不多于60 kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；图②表示批发量高于60 kg 的该种水果，可按4元/kg 批发.
(2)由题意得
w ＝⎩⎨⎧5n （20≤n≤60），4n （n ＞60）.
图象如图所示．
由图可知，资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果.
(3)解法一：设当日零售价为x 元，
由图可得日最高销量n ＝320－40x ，当n ＞60时，x ＜6.5.
由题意，销售利润为y ＝(x －4)(320－40x )＝40(x －4)(8－x )＝40[－(x －6)2＋4]. 从而x ＝6时，y 最大值＝160，此时n ＝80.
即经销商应批发80 kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可得最大利润160元.
解法二：设日最高销量为x kg (x ＞60)．
则由题图②日零售价p 满足x ＝320－40p .于是p ＝
320－x 40，销售利润y ＝x (320－x 40
－4)＝1
40x(160－x)＝－
1
40(x－80)
2＋160.
从而x＝80时，y
最大值
＝160.
此时，p＝6，即经销商应批发80 kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可得最大利润160元.。