(易错题精选)初中数学方程与不等式之二元二次方程组易错题汇编附解析

（易错题精选）初中数学方程与不等式之二元二次方程组易错题汇编附解析一、选择题
1．解方程组：
22
694(1)
23(2)
x xy y
x y
⎧-+=
⎨
-=
⎩
【答案】1
15 1
x y =
⎧
⎨
=⎩或2
2
13
5
x
y
=⎧
⎨
=⎩
【解析】
【分析】
先将①中的x2 -6xy+9y2分解因式为：（x-3y）2，则x-3y=±2，与②组合成两个方程组，解出即可
【详解】
解：由①，得（x﹣3y）2＝4，
∴x﹣3y＝±2，
∴原方程组可转化为：
33
23
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
或
3-2
23
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
解得1
15 1
x y =
⎧
⎨
=⎩或2
2
13
5
x
y
=⎧
⎨
=⎩
所以原方程组的解为：1
15 1
x y =
⎧
⎨
=⎩或2
2
13
5
x
y
=⎧
⎨
=⎩
【点睛】
此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则
2．阅读材料，解答问题
材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组．如：由（2）得，代入（1）消元得到关于的方程：
，
将代入得：，方程组的解为
请你用代入消元法解方程组：
【答案】解：由（1）得，代入（2）得
化简得：
， 把，分别代入得：， ，
【解析】
这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一元二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可
3．解方程组：22120y x x xy y -=⎧⎨--=⎩
． 【答案】21x y =-⎧⎨=-⎩，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【解析】
【分析】
先将第二个方程分解因式可得：x ﹣2y =0或x +y =0，分别与第一个方程组成新的方程组，解出即可．
【详解】
解：22120y x x x y -=⎧
⎨--=⎩①② 由②得：（x ﹣2y ）（x +y ）=0
x ﹣2y =0或x +y =0
原方程组可化为11200y x y x x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩
， 解得原方程组的解为122112x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩
， ∴原方程组的解是为122112x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩
，． 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．
4．解方程组：222023x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩
． 【答案】原方程组的解为1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【解析】
分析：由①得出（x+y ）（x-2y ）=0，即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．
详解：222023x xy y x y ⎧--⎨+⎩
＝①＝② 由①得：（x+y ）（x-2y ）=0，
x+y=0，x-2y=0，
即原方程组化为023x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，2023x y x y -⎧⎨+⎩
＝＝， 解得：1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 即原方程组的解为1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 点睛：本题考查了解高次方程组，运用因式分解法把高次方程组转化成二次一次方程组是解此题的关键．
5．解方程组：22229024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩
【答案】113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
将原方程组变形为：()()(
)()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝，所以有3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，
3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩
＝＝，然后解4个二元一次方程组就可以求出其值．
【详解】
原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩
＝＝， 原方程组变为四个方程组为：3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020
x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020
x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝， 解这四个方程组为：113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩. 故答案为113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩.
6．解方程组221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩
【答案】1143x y =-⎧⎨
=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.
【详解】解：221? 444y x x xy y ①②=+⎧⎨-+=⎩
由②得，()224x y -= ③，
把①代入③，得
()2
214x x ⎡⎤-+=⎣⎦，
即：()224x +=，
所以，x+2=2或x+2=-2
所以，x 1=-4,x 2=0,
把x 1=-4,x 2=0,分别代入①，得y 1=-3,y 2=1.
所以，方程组的解是
1143x y =-⎧⎨=-⎩，22
01x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.
7．解方程组：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩
【答案】11126x y =⎧⎨
=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】
解：226
3100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩
由②得：()()250x y x y -+=
原方程组可化为620x y x y -=⎧⎨-=⎩或650x y x y -=⎧⎨+=⎩
， 解得：11126x y =⎧⎨=⎩，11
51x y =⎧⎨=-⎩． ∴原方程组的解为11126x y =⎧⎨=⎩，11
51x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】
本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
8．解方程组：2220334
x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨
=⎩或63
x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】 由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．
【详解】
解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩
①② ,
由①得：2x y =………… ③
将③代入②，化简整理，得：
2340y y +-=，
解得：13y y ==-或，
将13y y ==-或代入①，得：
21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩
. 【点睛】
考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
9．解方程组：22+2-0110
x y x y ⎧=⎨-+=⎩ 【答案】：2112113,02
3x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
【解析】
【分析】
把(2)変形后代入(1)便可解得答案
【详解】
22+2-1010x y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩①②
由②得:x=y-1
代入①得:12023y y =⎧⎪⎨=⎪⎩
, 分别代入②得:12113x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
， 故原方程组的解为：2112113,02
3x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
【点睛】
此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则
10．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩
【答案】12
12
11
11
x x
y y
⎧⎧
==-
⎪⎪
⎨⎨
==
⎪
⎪⎩
⎩
3
3
2
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
4
4
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
【解析】
【分析】
首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.
【详解】
22
22
2()0
8
x y x y
x y
⎧-++=
⎨
+=
⎩
①
②
,
①式左边分解因式得，()
20
x y x y
-++=
（），
∴x-y+2=0或x+y=0，
原方程组转化为以下两个方程组：
（i）
22
20
8
x y
x y
-+=
⎧
⎨
+=
⎩
或（ii）
22
+0
8
x y
x y
=
⎧
⎨
+=
⎩
解方程组（i）得，
12
12
11
11
x x
y y
⎧⎧
==-
⎪⎪
⎨⎨
==
⎪
⎪⎩
⎩
，
解方程组（ii）得，
3
3
2
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
4
4
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
,
所以，原方程组的解是:
12
12
11
11
x x
y y
⎧⎧
==-
⎪⎪
⎨⎨
==
⎪
⎪⎩
⎩
3
3
2
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
4
4
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.
11．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.
【答案】12cm、16cm、20cm.
【解析】
【分析】
设两直角边为a、b
+
1
=96
2
a b
ab
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
求解即可．【详解】
设该直角三角形的两条直角边为a、b
+1=962
a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩ 解得=12=16a b ⎧⎨⎩或=16=12
a b ⎧⎨⎩， 经检验，=12=16a b ⎧⎨
⎩和=16=12a b ⎧⎨⎩
cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm.
【点睛】 此题运用三角形面积表示出1=962
ab
12．解方程组：2220449
x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】123434120033,,,333322
x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】
由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．
【详解】
∵x(x+y)=0，
①当x=0时,(x+2y)2 =9，
解得：y 1=
32 ,y 2 =−32
； ②当x≠0，x+y=0时，
∵x+2y=±3， 解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33x y ==-⎧⎨⎩
. 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322
x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】
此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.
13．解方程组： 22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩
．
【答案】1111x y =⎧⎨=⎩,2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． 【解析】
【分析】
由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）2＝9，即x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3．这样原方程组可变形为关于x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解．
【详解】
22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩①②
由②得：（x +2y ）2＝9，
即：x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3
所以原方程组可化为3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩； 3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩
． 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩
；得1111x y =⎧⎨=⎩； 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． ∴原方程组的解是得1111x y =⎧⎨=⎩；得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．
14．21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩
【答案】10x y =-⎧⎨
=⎩或23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
本题考查二元二次方程组的解法，在解题时观察本题的特点，可用代入法先消去未知数y ，求出未知数x 的值后，进而求得这个方程组的解．
【详解】
解：由①得：1y x =+③
把③代入②，得22(1)20x x x -+-=,
整理得：220x x --=，
解得11x =-，22x =．
当11x =-时，1110y =-+=
当22x =时，2213y =+=
∴原方程组的解为1110x y =-⎧⎨=⎩，22
23x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．
15．解方程组：2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩
【答案】1184x y =⎧⎨
=⎩或2293
x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
利用因式分解法求22560x xy y -+=，得到20x y -=或30x y -=，然后得到两个二元一次方程组，分别求出方程组的解即可.
【详解】
解：由（1）得20x y -=或30x y -=， 2012x y x y -=⎧⎨+=⎩或3012x y x y -=⎧⎨+=⎩
， 解方程组得：1184x y =⎧⎨=⎩，2293
x y =⎧⎨=⎩ ， 则原方程组的解为 1184x y =⎧⎨
=⎩和 2293
x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】
本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解，然后得到新的方程组.也可以利用代入消元法进行求解.
16．如图在矩形ABCD 中，AB= n AD,点E 、F 分别在AB 、AD 上且不与顶点A 、B 、D 重合， AEF BCE ∠=∠, 圆O 过A 、E 、F 三点。

（1）求证：圆O 与CE 相切于点E.
（2）如图1，若AF=2FD ，且30AEF ∠=︒，求n 的值。

（3）如图2，若EF=EC ，且圆O 与边CD 相切，求n 的值。

【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）74 【解析】（1）由四边形ABCD 是矩形证明∠FEC=90°即可；（2）在直角三角形中利用三角函数求解；（3）利用三角形中位线、勾股定理和题意可列方程求出n n 的值．
(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°，
∠BCE+∠BEC=90°，
又∵∠AEF=∠BCE ，∵∠AEF+∠BEC=90°，
∴∠FEC=90°，∴⊙O 与CE 相切．
（2）∵AF=2FD,设FD=a 。

则AF=2a ，
在直角三角形AEC 中，∵∠AEF=30°，
∴∠BCE=30°．
∴EF=4a ，由勾股定理：AE=23 ，
．
∴BC=3a ，又在直角三角形EBC 中，
3EB a ∴=，
23333AB AE EB a a n AD AD a
++====.
过E 作EM DC 于M,因为圆O 与CD 相切，设切点为N ，连接ON,又过F 作FQ EM 交ON 于H ， Q FE=EC, EF ⊥EC, ∴ AEF CBE ∆≅∆，
根据题意和作图，可设AE=BC=ME=AD= y ，AF=QE=EB= x ，
易证明OH 为EFQ ∆的中位线，OH=22EQ x =， 2ON=EF=
，
由勾股定理和题意可列方程： 222
2){y x x y x y ny
-=++=（， 化简：
74
n ∴= ． “点睛”本题考查了直线与圆的位置关系，将方程与几何融合在一起，利用勾股定理和方程组解答；解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
17．某起重机厂四月份生产A 型起重机25台,B 型起重机若干台.从五月份起, A 型起重机月增长率相同,B 型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A 型起重机是B 型起重机的2倍,六月份A 、 B 型起重机共生产54台.求四月份生产B 型起重机的台数和从五月份起A 型起重机的月增长率.
【答案】四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%
【解析】
【分析】
设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y,根据题目中的等量关系列出方程组求解即可.
【详解】
解：设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y.
根据题意 ，可列方程组
()()(
)()2251232513254y x y x ⎧+=+⎪⎨+++⨯=⎪⎩ 解得：x=12,y=0.2
答：四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%.
【点睛】
本题考查了二元二次方程组的应用，解题的关键是找准题中的等量关系.
18．解方程组：22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩
【答案】11
1,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
首先将由22230x xy y --=得30x y -=或0x y +=，分别与223x xy y -+=求解即可.
【详解】
解： 22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩①②
由①得30x y -=或0x y +=，
原方程组可化为22303x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩；2203x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
解这两个方程组得原方程组的解为
11,7,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩
2277x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩331,1,x y =-⎧⎨=⎩44
1,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】
此题考查二元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.
19．解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩
【答案】1131x y =⎧⎨=⎩ 22
11x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
利用因式分解把方程①转化为两个二元一次方程，再分别与方程②组成方程组，解二元一次方程组即可得到答案．
【详解】
解：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩
①②， 由①得：x 3y 0-= 或 x y 0+=
原方程组化为： 302x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或02x y x y +=⎧⎨-=⎩
解得：1131x y =⎧⎨=⎩ 或 22
11x y =⎧⎨=-⎩
∴ 原方程组的解为1131x y =⎧⎨=⎩ 或 22
11x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】
本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握利用因式分解降次是解题关键．
20．解方程组22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩
． 【答案】原方程组的解是114,32;3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩224,32;3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
334,2;x y =⎧⎨=⎩44
4,2.x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
由①得x+2y=0，或x-2y=0，由②得x-y=2，或x-y=-2，从而可将原方程组化为4个二元一次方程组求解．
【详解】 22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩①②
， 由①得
(x+2y)(x-2y)=0，
∴x+2y=0或x-2y=0，
由②得
(x-y)2=4，
∴x-y=2或x-y=-2，
∴原方程组可化为
202x y x y +=⎧⎨-=⎩，202x y x y +=⎧⎨-=-⎩，202x y x y -=⎧⎨-=⎩，202
x y x y -=⎧⎨-=-⎩， 分别解这四个方程组得
114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩， ∴原方程组的解是
114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，将原方程组化为4个二元一次方程组求解是解答本题的关键．。