解耦控制系统

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9.1.2 被控对象的典型耦合结构
对于具有相同数目的输入量和输出量的被控对象，典型的 耦合结构可分为P规范耦合和V规范耦合。
图9-3为P规范耦合对象。
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它有n个输入和n个输出，并且每一个输出变量
Yi(i=1,2,3,…,n）都受到所有输入变量Ui(i=1,2,3,…,n）的影响。 如果用pij(s)表示第j个输入量Uj与第 i个输出量Yi之间的传递函数， 则P规范耦合对象的数学描述式如下：
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对于一个耦合系统，因为每一个控制变量不只影响一 个被控变量，所以只计算在所有其他控制变量都固定 不变的情况下的开环增益是不够的。因此，特定的被 控变量Yi对选定的控制变量的响应还取决于其他控制 变量处于何种状况。
对于一个多变量系统，假设 Y是包含系统所有被
控变量Yi的列向量；U是包含所有控制变量Uj的列向量。 为了衡量系统的关联性质首先在所有其它回路均为开
从而求得耦合系统的相对增益ij。
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(2) 直接计算法 现以图9-7所示双变量耦合系统为例说明如何由第一放
大系数直接求第二放大系数。引入P矩阵，式（9-10）可写 成矩阵形式，即
Y Y 1 2 p p1 21 1p p1 2 2 2 U U 1 2 K K 1 21 1K K 1 2 2 2 U U 1 2 （9-14）
（9-13）
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从上述分析可知，第一放大系数pij是比较容易 确定的，但第二放大系数qij则要求其他回路开环增 益为较为复杂，特别是多变量系统。
事实上，由式（9-12）和式（9-13）可看出，第 二放大系数qij完全取决于各个第一放大系数pij，这 说明有可能由第一放大系数直接求第二放大系数，
环，即所有其它控制变量都保持不变的情况下，得到
开环增益矩阵P 。这里记作
Y= P U
（9-5）
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其中，矩阵P的元素pij的静态值称为Uj到Yi通道的第 一放大系数。
它是指控制变量Uj改变了一个Uj时，其它控制变量 Uk (kj)均不变的情况下，Uj与Yi之间通道的开环增益。 显然它就是除Uj到Yi通道以外，其它通道全部断开时 所得到的Uj到Yi通道的静态增益，pij可表示为
Y2
258R1
76R2
0.178R61 0.857R21
由上两式可知，Y1 主要取决于R1，但也和R2有关。而 Y2主要取决于R2，但也和R1有关。方程式中的系数则代表每 一个被控变量与每一个控制变量之间的耦合程度。系数越大，
则耦合程度越强；反之，系数越小，则耦合程度越弱。
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9.2.2 相对增益分析法
（9-16）
h11K11K2K 22K 2 12K21,h12K11K2K 21K 2 12K21, h21K11K22K 2K112K21,h22K11K2K 21K 1 12K21
根据第二放大系数的定义见（9-12a），不难看出
1 q ij h ji
（9-17)
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由式（9-14）和式（9-16）可知PH I或 HP1
q 11 U Y 1 1Y 2 con K s1 t 1 K K 1K 2 22 21 K 1K 12K 2 2K 2 1K 221
(9-12a)
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类似地可求得
q 2 1 K 1 K 2 1 K 1 2 K 1 2 K 2 ; q 1 1 2 K 1 K 2 1 K 2 2 K 2 1 K 1 1 ; q 2 2 2 K 1 K 2 1 K 2 2 K 1 2 K 21
如果存在某种关联，则Uj的改变将不但影响Yi，而且还影响 其它被控变量Yk (ki)。因此，在确定第二放大系数时，使其它 回路闭环，被控变量Yk保持不变，则其余的控制变量Uk (kj)必
然会改变。其结果在两个放大系数之间就会出现差异，以致ij
既不是零，也不是1。
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另外，还有一种极端情况，当公式(9-8)中分母趋于
解 用直接法分析耦合程度时，一般采用静态耦合结
构。所谓静态耦合是指系统处在稳态时的一种耦合结 构，与图9-5动态耦合系统对应的静态耦合结构如图96所示。
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由图9-6可得 U U1 2 R R12 Y Y12; Y Y1 2 5U 3U 11 U 42U2
化简后得 Y1 1143R171R2 0.928R610.142R92
由式（9-14）得
U1 U2
K K1111K K22K 22K 2K 22K11122K K2211YY11K K1111K K22K 22K11K 2K 11122K K2211YY22
（9-15）
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引入H矩阵，则式（9-15）可写成矩阵形式，即
式中
U1 U2
hh1211
h12Y1 h22Y2
第9章解耦控制系统
目录
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9.1解耦控制的基本概念
9.2解耦控制系统的分析
9.3解耦控制系统的设计
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前面所讨论的控制系统中，假设过程只有一个被
控变量（即输出量），在影响这个被控变量的诸多因 素中，仅选择一个控制变量（即输入量），而把其它 因素都看成扰动，这样的系统就是所谓的单输入单输 出系统。
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② 第二放大系数qij的计算 第二放大系数qij是在其他通道闭合且保持Yk（ki）恒定的 条件下，计算该通道的静态增益。
另外，利用式（9-10）得Y1与U1和Y2之间的关系表达式
Y1K1U 11K12Y2KK 222U 11
(9-12)
再根据第二放大系数qij的定义，对式(9-10)求导也可得如下 的第二放大系数q11
零，则其它闭合回路的存在使得Yi不受Uj的影响，此
时ij趋于无穷大。关于相对增益具有不同数值时的含
义将在下面关于相对增益性质中予以讨论。
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2．相对增益的计算 从相对增益的定义可以看出，确定相对增益，关 键是计算第一放大系数和第二放大系数。最基本的方 法有两种。 ➢ 一种方法是按相对增益的定义对过程的参数表达式 进行微分，分别求出第一放大系数和第二放大系数， 最后得到相对增益矩阵。 ➢ 另一种方法是先计算第一放大系数，再由第一放大 系数直接计算第二放大系数，从而得到相对增益矩阵， 即所谓的第二放大系数直接计算法。
qij
Yi U j
Yk const
(9-7)
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pij与qij之比定义为相对增益或相对放大系数ij，ij
可表示为
ij
pij qij
U Yij
Ukco
n
s
Yi tUj

Ykco
ns
t
(9-8)
由相对增益ij元素构成的矩阵称为相对增益矩阵。
即
11 12 1n
Λ
21
22
2
n
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9.1 解耦控制的基本概念
9.1. l 控制回路间的耦合
在一个生产过程中，被控变量和控制变量往往不 止一对，只有设置若干个控制回路，才能对生产过程 中的多个被控变量进行准确、稳定地调节。
在这种情况下，多个控制回路之间就有可能产生 某种程度的相互关联、相互耦合和相互影响。而且这 些控制回路之间的相互耦合还将直接妨碍各被控变量 和控制变量之间的独立控制作用，有时甚至会破坏各
实际上，由图9-7所示的双变量静态耦合系统方框图可得
Y1 Y2
KK121U1U11KK122U2U22
(9-10)
根据第一放大系数pij的定义，对式(9-10)求导也可得如下的p11
同理可得，p21=K2p1，11p12=KUY1121，Up222c=oKns2t2。K11
(9-11)
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P22
P2n 1 dePt
pn1 pn2 pnnPn1 Pn2 Pnn
ij
pij
Pij detP
（9-20）
式中，Pij为矩阵P的代数余子式；detP为矩阵P的行列式。
这就是由静态增益pij计算相对增益ij的一般公式。
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3．相对增益矩阵的特性
由式（9-20）可知相对增益矩阵为
p11 p12 p1nP11 P12 P1n
Λp21
p22
p2nP21
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(1) 定义计算法 ① 第一放大系数pij的计算 第一放大系数pij是在其余通道开路情况下，该通道的静态增 益。现以图9-7所示双变量静态耦合系统为例说明pij的计算。
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如图9-7所示，当计算p11时，可将支路（2）、（3）和（4） 断开，或令控制器Gc2(s)的增益Kc2=0，改变控制变量Ul，求出 被控变量Y1，这两者的变化量之比即为p11，不难看出，p11=K11。
但实际的工业过程是复杂的，往往有多个过程参
数需要进行控制，影响这些参数的控制变量也不只有 一个，这样的系统称之为多输入多输出系统。当多输 入多输出系统中输入和输出之间相互影响较强时，不 能简单地化为多个单输入单输出系统，此时必须考虑 到变量间的耦合，以便对系统采取相应的解耦措施后 再实施有效的控制。
Y1 p11U1 p12U2 p1nUn
Y2
p21U1
p21U2
p2nUn
Yn pn1U1 pn1U2 pnnUn
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Y = PU
p11 p12
其
中
：
P
=
p
2
1
p22
p1n
p2n
pn1 pn 2 pnn
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9.2 解耦控制系统的分析
pij
Yi U j
Uk const
(9-6)
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然后，在所有其它回路均闭合，即保持其它被控
变量都不变的情况下，找出各通道的开环增益，记作 矩阵Q。它的元素qij的静态值称为Uj与Yi通道的第二放 大系数。它是指利用闭合回路固定其它被控变量时， Uj与Yi的开环增益。qij可以表为
系统的正常工作，使之不能投入运行。
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图9-1所示是化工生产中的精馏塔温度控制方案。 ul的改变不仅仅影响y1，同时还会影响y2；同样 地，u2的改变不仅仅影响y2，同时还会影响y1。因此， 这两个控制回路之间存在着相互关联、相互耦合。这 种相关与耦合关系如图9-2所示。 耦合是过程控制系统普遍存在的一种现象。耦合 结构的复杂程度主要取决于实际的被控对象以及对控 制系统的品质要求。因此如果对工艺生产不了解，那 么设计的控制方案不可能是完善的和有效的。
根据定义可得相对增益ij
11q p1 11 1K11 KK 212 1 KK 2122 K21; 12q p1 12 2K12 KK 211 2 KK 2111 K22;
2212 q p q p2 22 21 12 2 K K111 K 1 K K K 2211 12 2 K 1 K K K 2211 121 K 2 K2221
(9-9)
n1
n2
nn
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如果在上述两种情况下，开环增益没有变化，即相对增益
ij=l，这就表明由Yi和Uj组成的控制回路与其它回路之间没有关
联。这是因为无论其它回路闭合与否都不影响Uj到Yi通道的开 环增益。
如果当其它控制变量都保持不变时Yi不受Uj的影响，那么ij为
零，因而就不能用Uj来控制Yi。
根据相对增益的定义，得
ij
pij qij
pijhji
（9-18）
由此可见，相对增益可表示为矩阵P中的每个元素与H的转
置矩阵中的相应元素的乘积。于是,相对增益矩阵可表示成
矩阵P中每个元素与逆矩阵P-1的转置矩阵中相应元素的乘积 （点积），即
Λ PH TP(P 1)T （9-19）
相对增益具体计算公式可写为
1．相对增益矩阵的定义
相对增益可以：
➢ 确定过程中每个被控变量相对每个控制变量的响应特性，并 以此为依据去构成控制系统。
➢ 相对增益还可以指出过程关联的程度和类型，以及对回路控 制性能的影响。 相对增益可以评价一个预先选定的控制变量Uj对一个特定
的被控变量Yi的影响程度。而且这种影响程度是相对于过程中 其他控制变量对该被控变量Yi而言的。
9.2.1 耦合程度的分析
确定各变量之间的耦合程度是多变量耦合控制系 统设计的关键问题。
常用的耦合程度分析方法有两种：直接法和相对 增益法。
相对增益分析法将在后面详细介绍，下面简要介 绍直接法。
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例9-1 试用直接法分析图9-5所示双变量耦合系统的 耦合程度。
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