2021学年山东省潍坊市某校高二(上)10月月考数学试卷(有答案)

2021学年山东省潍坊市某校高二（上）10月月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设0<a<b<1，则下列不等式成立的是（）
A.a3>b3
B.1
a <1
b
C.a2>b2
D.0<b−a<1
2. 等比数列{a n}中，a1＝3，a4＝81，则{a n}的前4项和为（）
A.81
B.120
C.168
D.192
3. 若不等式x2+2x−3≥0的解集是（）
A.{x|−3≤x≤1}
B.{x|x≤−3或x≥1}
C.{x|x≥1}
D.{x|x≤−3}
4. 已知等差数列{a n}中，a2+a4＝6，则前5项和S5为（）
A.5
B.6
C.15
D.30
5. 已知等差数列{a n}中，且a4+a12＝10，则前15项和S15＝（）
A.15
B.20
C.21
D.75
6. 已知不等式ax2−bx−1≥0的解集是[−1
2,−1
3
]，则不等式x2−bx−a<0的解集是
（）
A.(2, 3)
B.(−∞, 2)∪(3, +∞)
C.(1
3,1
2
) D.(−∞, 1
3
)∪(1
2
, +∞)
7. 若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）
A.若a>b，则ac2>bc2
B.若a<b<0，则a2>ab>b2
C.若a<b，则1
a >1
b
D.若a>b>0，则b
a
>a
b
8. 已知等差数列{a n}满足a1+a2＝10，a4＝a3+2，则a3+a4＝（）
A.2
B.14
C.18
D.40
9. 等差数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，数列{1
a n a n+1}的前n项和为15
31
，则n的值为（）
A.15
B.16
C.17
D.18
10. 若等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝3，a4＝2，则a5等于（）
A.5
B.6
C.7
D.8
11. 已知a1＝2，a n+1=n+1
n
a n，则a2016＝（）
A.504
B.1008
C.2016
D.4032
12. 已知数列{a n}、{b n}满足b n=log2a n，n∈N∗，其中{b n}是等差数列，且a9⋅
a2008=1
4
，则b1+b2+b3+...+b2016=()
A.−2016
B.2016
C.log22016
D.1008
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
若关于x的不等式(k−1)x2+(k−1)x+2
x2+x+1
>0的解集为R，则k的范围为________．
如果数列{a n}满足1
a n+1−1
a n
=1，a1=1，则a2015=________．
在数列{a n}中，a1=1
2，a n+1=1+a n
1−a n
，则a2＝________，{a n}的前48项和S48＝
________．
已知函数f(x)=lg(√1+x2−x)+1，则f(−2018)+f(−2017)+...+f(0)+
f(1)+...+f(2018)＝________．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知数列{a n}的通项公式是a n=(−1)n+n，写出数列{a n}的前5项．
如图，某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地（图中ABCD）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD为正方形，设AB＝x米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为每米500元，设围墙（包括EF）的修建总费用为
y元．
（1）求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（2）当x为何值时，围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值．
已知{a n}为等差数列，且a1+a3＝8，a2+a4＝12．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)记的{a n}前n项和为S n，若a1，a k，S k+2成等比数列，求正整数k的值．
的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n(n∈N∗)，且S3+a3，已知首项为3
2
S5+a5，S4+a4成等差数列．
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；
(Ⅱ)设b n＝(−1)n+1⋅n(n∈N∗)，求数列{a n⋅b n}的前n项和T n．
已知不等式x2−3ax+b>0的解集为{x|x<1或x>2}．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)解不等式(x−b)(x−m)<0．
已知{a n}是各项为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2+b3＝2a3，a5−3b2＝7．
（1）求{a n}和{b n}的通项公式；
（2）设c n＝a n b n，n∈N∗，求数列{c n}的前n项和为S n．
参考答案与试题解析
2021学年山东省潍坊市某校高二（上）10月月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.
【答案】
D
【考点】
不等式的概念
【解析】
由0<a<b<1，可得0<b−a<1．即可得出．
【解答】
∵0<a<b<1，
∴0<b−a<1．
2.
【答案】
B
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
首先通过等比数列的通项公式求出公比q，然后根据前n项和公式求出结果．
【解答】
∵a1＝3，a4＝81
∴a4
a1=q3=81
3
=27
∴q＝3
∴s4=a1−a4q
1−q =3−81×3
1−3
=120
3.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的应用
【解析】
把不等式x2+2x−3≥0化为(x+3)(x−1)≥0，求出解集即可．【解答】
不等式x2+2x−3≥0可化为
(x+3)(x−1)≥0，
解得x≤−3，或x≥1；
∴不等式的解集是{x|x≤−3或x≥1}．
4.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
【解析】
由已知结合等差数列的性质求得a 3，再由等差数列的前n 项和公式得答案． 【解答】
在等差数列{a n }中，由a 2+a 4＝6，得2a 3＝6，a 3＝3． ∴ 前5项和S 5＝5a 3＝5×3＝15． 5. 【答案】 D
【考点】
等差数列的前n 项和 【解析】
等差数列{a n }的性质可得：a 1+a 15＝a 4+a 12＝10，再利用求和公式即可得出． 【解答】
由等差数列{a n }的性质可得：a 1+a 15＝a 4+a 12＝10， ∴ 前15项和S 15=15(a 1+a 15)
2
=
15×102
=75．
6.
【答案】 A
【考点】
一元二次不等式的应用 【解析】
先根据不等式ax 2−bx −1≥0的解集是[−1
2,−1
3]，判断a <0，从而求出a ，b 值，代入不等式x 2−bx −a <0，从而求解． 【解答】
∵ 不等式ax 2−bx −1≥0的解集是[−1
2,−13]， ∴ a <0，
∴ 方程ax 2−bx −1＝0的两个根为−1
2，−13， −
−b a
=−12−13，−1a =1
6，
∴ a ＝−6，b ＝5， ∴ x 2−bx −a <0， ∴ x 2−5x +6<0， ∴ (x −2)(x −3)<0，
∴ 不等式的解集为：2<x <3． 7. 【答案】 B
【考点】
不等式的基本性质 【解析】
A ．c ＝0时不成立；
B ．利用不等式的基本性质由a <b <0，可得a 2>ab >b 2；
C．取a＝−1，b＝−2时，即可判断出；
D．由a>b>0，可得b
a <a
b
．
【解答】
A．c＝0时不成立；
B．∵a<b<0，∴a2>ab>b2，正确；
C．取a＝−1，b＝−2时，1
a =−1，1
b
=−1
2
，则1
a
>1
b
不成立；
D．若a>b>0，则b
a <a
b
，因此不正确．
8.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】
设等差数列{a n}的公差为d，
∵a1+a2＝10，a4＝a3+2，
∴2a1+d＝10，d＝2，
解得a1＝4，d＝2．
∴a n＝4+2(n−1)＝2n+2．
则a3+a4＝2×3+2+2×4+2＝18．
9.
【答案】
A
【考点】
数列的求和
【解析】
求出数列的通项公式，利用裂项法求法数列的和，求出n即可．【解答】
等差数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，d＝2，a n＝2n−1，
数列1
a n a n+1=1
(2n−1)(2n+1)
=1
2
(1
2n−1
−1
2n+1
)．
数列{1
a n a n+1}的前n项和为15
31
，
∴1
2(1
1
−1
3
+1
3
−1
5
+⋯+1
2n−1
−1
2n+1
)=15
31
n 2n+1=15
31
，
解得n＝15．10.
【答案】
A
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】
设等差数列{a n}的公差为d，∵S6＝3，a4＝2，∴6a1+6×5
2
d＝3，a1+3d＝2，
解得a1＝−7，d＝3．
则a5＝−7+3×4＝5，
11.
【答案】
D
【考点】
数列递推式
【解析】
a1＝2，a n+1=n+1
n a n，可得a n
a n−1
=n
n−1
(n≥2)．利用“累乘求积”方法即可得出．
【解答】
∵a1＝2，a n+1=n+1
n a n，∴a n
a n−1
=n
n−1
(n≥2)．
∴a n=a n
a n−1⋅a n−1
a n−2
⋅⋯⋅a3
a2
⋅a2
a1
⋅a1=n
n−1
⋅n−1
n−2
•…•3
2
×2
1
×2＝2n．
则a2016＝2×2016＝4032．
12.
【答案】
A
【考点】
数列的求和
【解析】
由已知得a1⋅a2016=a2⋅a2015=...=a9⋅a2008=1
4
，由此能求出结果．【解答】
解：∵数列{a n}，{b n}满足b n=log2a n，n∈N∗，其中{b n}是等差数列，∴数列{a n}是等比数列，
∴a1⋅a2016=a2⋅a2015=...=a9⋅a2008=1
4
，
∴b1+b2+b3+...+b2016=log
2(a1⋅a2...a2016)=log
2
(a9⋅a2008)1008=log
2
1
2016
=
−2016．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）【答案】
[1, 9)
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
关于x的不等式(k−1)x 2+(k−1)x+2
x2+x+1>0的解集为R，x2+x+1=(x+1
2
)2+3
4
>0，转化为
(k−1)x2+(k−1)x+2>0的解集为R．对k分类讨论，利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出．
【解答】
∵关于x的不等式(k−1)x2+(k−1)x+2
x2+x+1>0的解集为R，x2+x+1=(x+1
2
)2+3
4
>0，
∴(k−1)x2+(k−1)x+2>0的解集为R．当k＝1时，2>0恒成立，因此k＝1满足条件．
当k≠0时，可得{k−1>0
△=(k−1)2−8(k−1)<0
，解得1<k<9，综上可得：k的范围为[1, 9)．
【答案】
1
2015
【考点】
数列递推式
【解析】
由已知得{1
a n }是首项为1，公差为1的等差数列，从而1
a n
=n，进而a n=1
n
，由此能求出
a2015．【解答】
解：∵{a n}满足1
a n+1−1
a n
=1，a1=1，
∴1
a1=1，∴{1
a n
}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴1
a n
=1+(n−1)×1=n，
∴a n=1
n
，
∴a2015=1
2015
．
故答案为：1
2015
．
【答案】
3,63
【考点】
数列递推式
【解析】
利用递推思想依次求出数列的前5项，得到数列{a n}是周期为4的周期数列，由此能求出数列{a n}的前48项和．
【解答】
∵数列{a n}满足a1=1
2，a n+1=1+a n
1−a n
，
∴a2=1+12
1−1
2
=3，
a3=1+3
1−3
=2，
a4=1−2
1+2=−1
3
，
a5=1−1 3
1+1
3=1
2
，
∴数列{a n}是周期为4的周期数列，
∵48＝12×4＝12×(1
2+3+2−1
4
)＝63．
【答案】
4037
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
由定义判断函数g(x)＝lg(√1+x2−x)为R上的奇函数，可得g(−2018)+
g(−2017)+...+g(0)+g(1)+...+g(2018)＝0，进一步求得f(−2018)+
f(−2017)+...+f(0)+f(1)+...+f(2018)的值．
【解答】
∴f(−2018)+f(−2017)+...+f(0)+f(1)+...+f(2018)
＝g(−2018)+g(−2017)+...+g(0)+g(1)+...+g(2018)+4037＝4037．
故答案为：4037．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
【答案】
∵数列{a n}的通项公式是a n=(−1)n+n，
∴a1＝−1+1＝0，
a2＝1+2＝3，
a3＝−1+3＝2，
a4＝1+4＝5，
a5＝−1+5＝4．
【考点】
数列的概念及简单表示法
【解析】
利用数列的通项公式能写出数列{a n}的前5项．
【解答】
∵数列{a n}的通项公式是a n=(−1)n+n，
∴a1＝−1+1＝0，
a2＝1+2＝3，
a3＝−1+3＝2，
a4＝1+4＝5，
a5＝−1+5＝4．
【答案】
设AD＝t米，则由题意得xt＝2400，且t>x，故t=2400
x
>x，可得0<x<20√6，
则y＝500(3x+2t)＝500(3x+2×2400
x
)，
所以y关于x的函数解析式为y＝1500(x+1600
x
)(0<x<20√6)．
y＝1500(x+1600
x )≥1500×2√x⋅1600
x
=120000，
当且仅当x=1600
x
，即x＝40时等号成立．
故当x为40米时，y最小．y的最小值为120000元．
【考点】
不等式的综合
基本不等式及其应用
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）根据面积确定AD的长，利用围墙（包括EF）的修建费用均为500元每平方米，
即可求得函数的解析式；
（2）根据函数的特点，满足一正二定的条件，利用基本不等式，即可确定函数的最值．【解答】
设AD＝t米，则由题意得xt＝2400，且t>x，故t=2400
x
>x，可得0<x<20√6，
则y＝500(3x+2t)＝500(3x+2×2400
x
)，
所以y关于x的函数解析式为y＝1500(x+1600
x
)(0<x<20√6)．
y＝1500(x+1600
x )≥1500×2√x⋅1600
x
=120000，
当且仅当x=1600
x
，即x＝40时等号成立．
故当x为40米时，y最小．y的最小值为120000元．【答案】
解：(1)根据题意，设数列{a n}的公差为d，
由题意知{2a1+2d=8,
(a1+d)+(a1+3d)=12
解得a1=2，d=2，
则a n=a1+(n−1)d=2+2(n−1)=2n；
(2)由(1)可得a1=2，a n=2n，
则S n=(a1+a n)n
2
=n2+n=n(n+1)，
若a1，a k，S k+2成等比数列，
则有(a k)2=2(k+2)(k+3)，
即4k2=2k2+10k+12，
变形可得：k2−5k−6=0，
解可得k=6或k=−1（舍）；
故k=6．
【考点】
等比数列的性质
等差数列的通项公式
【解析】
（1）设数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式可得{2a1+2d=8
(a1+d)+(a1+3d)=12，解可得a1与d的值，代入等差数列的通项公式中即可得答案；
（2）由（1）可得a1与d的值，代入等差数列的前n项和公式可得S n＝n(n+1)，又由
a1，a k，S k+2成等比数列，可得(a k)2＝2(k+2)(k+3)，解可得k的值，即可得答案．【解答】
解：(1)根据题意，设数列{a n}的公差为d，
由题意知{2a1+2d=8,
(a1+d)+(a1+3d)=12
解得a1=2，d=2，
则a n=a1+(n−1)d=2+2(n−1)=2n；
(2)由(1)可得a1=2，a n=2n，
则S n=(a1+a n)n
2
=n2+n=n(n+1)，
若a1，a k，S k+2成等比数列，
则有(a k)2=2(k+2)(k+3)，
即4k2=2k2+10k+12，
变形可得：k2−5k−6=0，
解可得k=6或k=−1（舍）；
故k=6．
【答案】
（1）设等比数列{a n}的公比为q，
由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可得2(S5+a5)＝S3+a3+S4+a4，
即2(S3+a4+2a5)＝2S3+a3+2a4，
即有4a5＝a3，即为q2=a5
a3=1
4
，
解得q＝±1
2
，
由等比数列{a n}不是递减数列，可得q=−1
2
，
即a n=3
2⋅(−1
2
)n−1＝(−1)n−1⋅3
2n
；
（2）b n＝(−1)n+1⋅n，
可得a n⋅b n＝(−1)n−1⋅3
2n ⋅(−1)n+1⋅n＝3n⋅(1
2
)n．
前n项和T n＝3[1⋅1
2+2⋅(1
2
)2+...+n⋅(1
2
)n]，
1 2T n＝3[1⋅(1
2
)2+2⋅(1
2
)3+...+n⋅(1
2
)n+1]，
两式相减可得，1
2T n＝3[1
2
+(1
2
)2+...+(1
2
)n−n⋅(1
2
)n+1]
＝3[1
2
(1−1
2n
)
1−1
2
−n⋅(1
2
)n+1]，
化简可得T n ＝6(1−
n+22n+1)． 【考点】
等比数列的性质
数列的求和
【解析】
(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的通项公式，即可得到所求；
(Ⅱ)求得a n ⋅b n ＝(−1)n−1⋅32n ⋅(−1)n+1⋅n ＝3n ⋅(12)n ．运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】
（1）设等比数列{a n }的公比为q ，
由S 3+a 3，S 5+a 5，S 4+a 4成等差数列，可得
2(S 5+a 5)＝S 3+a 3+S 4+a 4，
即2(S 3+a 4+2a 5)＝2S 3+a 3+2a 4，
即有4a 5＝a 3，即为q 2=
a 5a 3=14， 解得q ＝±12，
由等比数列{a n }不是递减数列，可得q =−12，
即a n =32⋅(−12)n−1＝(−1)n−1⋅32n ；
（2）b n ＝(−1)n+1⋅n ，
可得a n ⋅b n ＝(−1)n−1⋅
32n ⋅(−1)n+1⋅n ＝3n ⋅(12)n ． 前n 项和T n ＝3[1⋅12+2⋅(12)2+...+n ⋅(12)n ]，
12T n ＝3[1⋅(12)2+2⋅(12)3+...+n ⋅(12)n+1]， 两式相减可得，12T n ＝3[12+(12)2+...+(12)n −n ⋅(12)n+1] ＝3[12(1−12n )1−12−n ⋅(12)n+1]，
化简可得T n ＝6(1−n+2
2n+1)．
【答案】
（1）由题知1和2是方程式x 2−3ax +b ＝0的根，
由根与系数关系得{1+2=3a 1×2=b
， 解得a ＝1，b ＝2；
（2）方程(x −b)(x −m)＝0两根为x 1＝2，x 2＝m ；
当m <2时，所求不等式的解集为{m|m <x <2}，
当m ＝2时，所求不等式的解集为⌀，
当m >2时，所求不等式的解集为{x|2<x <m}．
【考点】
一元二次不等式的应用
【解析】
(Ⅰ)由一元二次不等式与对应方程的关系，结合根与系数关系，即可求出a 、b 的值； (Ⅱ)根据方程(x −b)(x −m)＝0的两根，讨论m 的值，即可求出对应不等式的解集．
【解答】
（1）由题知1和2是方程式x 2−3ax +b ＝0的根，
由根与系数关系得{1+2=3a 1×2=b
， 解得a ＝1，b ＝2；
（2）方程(x −b)(x −m)＝0两根为x 1＝2，x 2＝m ；
当m <2时，所求不等式的解集为{m|m <x <2}，
当m ＝2时，所求不等式的解集为⌀，
当m >2时，所求不等式的解集为{x|2<x <m}．
【答案】
设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，由题意q >0，
由已知，有{2q 2−3d =2q 4−3d =10
， 消去d 得q 4−2q 2−8＝0，解得q ＝2，d ＝2，
所以{a n }的通项公式为a n =2n−1,n ∈N ∗，{b n }的通项公式为b n =2n −1,n ∈N ∗． 由（1）有c n =(2n −1)2n−1，设{c n }的前n 项和为S n ，
则S n =1×20+3×21+5×22+⋯+(2n −1)×2n−1，
2S n =1×21+3×22+5×23+⋯+(2n −1)×2n ，
两式相减得−S n =1+22+23+⋯+2n −(2n −1)×2n =−(2n −3)×2n −3， 所以S n =(2n −3)2n +3．
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）有c n =(2n −1)2n−1，利用错位相减法即可得出．
【解答】
设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，由题意q >0，
由已知，有{2q 2−3d =2q 4−3d =10
， 消去d 得q 4−2q 2−8＝0，解得q ＝2，d ＝2，
所以{a n }的通项公式为a n =2n−1,n ∈N ∗，{b n }的通项公式为b n =2n −1,n ∈N ∗． 由（1）有c n =(2n −1)2n−1，设{c n }的前n 项和为S n ，
则S n =1×20+3×21+5×22+⋯+(2n −1)×2n−1，
2S n =1×21+3×22+5×23+⋯+(2n −1)×2n ，
两式相减得−S n =1+22+23+⋯+2n −(2n −1)×2n =−(2n −3)×2n −3， 所以S n =(2n −3)2n +3．。