九年级数学上册专题训练(五)求不规则图形面积的五种方法试题 (新版)苏科版

合集下载

不规则图形面积的解答方法

不规则图形面积的解答方法一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。

二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，下图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。

三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了。

四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求下图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。

五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如下图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。

六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如下图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求下图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A 与C重合，从而构成如下图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求下图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。

专题求阴影部分的面积---四种方法(五大题型)(解析版)

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题求阴影部分的面积---四种方法【典例一】（2023•锦州）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ABC ＝40°，连接OA ，OC ．若⊙O 的半径为3，则扇形AOC （阴影部分）的面积为（）A ．23πB ．πC ．43πD ．2π【分析】先由圆周角定理可得∠AOC 的度数，再由扇形的面积公式求解即可．【解答】解：∵∠ABC ＝40°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝80°，∴扇形AOC 的面积为80×π×32360=2π，故选：D ．【点评】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得∠AOC 的度数是解答此题的关键．【变式1-1】（2023•新抚区模拟）如图，正五边形ABCDE 边长为6，以A 为圆心，AB 为半径画圆，图中阴影部分的面积为（）A ．185πB ．4πC ．545πD ．12π【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵正五边形的外角和为360°，解题技巧提炼所求阴影部分是规则图形，直接用几何图形的面积公式求解.∴每一个外角的度数为360°÷5＝72°，∴正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°，∵正五边形的边长为6，∴S阴影=108⋅π×62360=545π，故选：C．【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．【变式1-2】（2023•大武口区模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB=A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为　．【分析】根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，AB＝AE DE，即可证得∠DAE＝45°，进而求得∠BAE＝45°，再求出扇形ABE的面积，即可得出答案．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝1，AB∴∠D＝∠DAB＝90°，∵AE＝AB，∴DE1，∴AD＝DE，∴∠DAE＝45°，∴∠BAE＝45°，∴阴影部分的面积S＝S扇形ABE=π4．故答案为：π4．【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和勾股定理等知识点，能求出∠EAB 的度数是解此题的关键．【变式1-3】如图，有公共顶点O 的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O 点为圆心，半径为3作圆，构成一个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（）A ．4πB ．185πC ．3πD ．52π【分析】利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：S 阴=(360108×2)⋅π⋅32360=18π5，故选：B ．【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式1-4】（2022•二道区一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交边AB 于点D ，以点B 为圆心，BD 长为半径画圆弧，交边BC 于点E ，若AC ＝2，则图中阴影部分图形的面积和为（结果保留π）．【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积S ＝S 扇形BDE +S 扇形ACD ．【解答】解：在Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，∴∠B ＝30°，AB ＝2AC ＝4，∴BC =∴阴影部分的面积S ＝S 扇形BDE +S 扇形ACD =30π×22360+60π×22360=π，故答案为：π．【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-5】（2023•三台县模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．3πC D【分析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC ＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH=AC＝可得到阴影部分的面积．【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF=(62)×180°6=120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，∴∠BAC=12（180°﹣∠ABC）=12×（180°﹣120°）＝30°，过B作BH⊥AC于H，∴AH＝CH，BH=12AB=12×2＝1，在Rt△ABH中，AH=∴AC＝同理可证，∠EAF＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∴S扇形CAE=2π，∴图中阴影部分的面积为2π，故选：A ．【点评】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．【典例二】（2022秋•恩施市期末）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为边AB 的中点，以点A 为圆心，线段AD 的长为半径画弧，与AC 边交于点E ；以点B 为圆心，线段BD 的长为半径画弧，与BC 边交于点F ．若BC ＝6，AC ＝8，则图中阴影部分的面积为（）A ．48―25π2B ．48―25π4C ．24―25π2D ．24―25π4【分析】根据勾股定理得到AB=10，根据线段中点的定义得到AD ＝BD ＝5，根据扇形和解题技巧提炼将不规则阴影部分看成是以规则图形为载体的一部分，其他部分空白且为规则图形，此时采用整体作差法求解.三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB==10，∠A+∠B＝90°，∵点D为边AB的中点，∴AD＝BD＝5，∴图中阴影部分的面积=12×6×8―90⋅π×52360=24―25π4，故选：D．【点评】本题考查了扇形面积的计算，三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．【变式2-1】（2023•北京模拟）如图，以O为圆心AB为直径的圆过点C，C为弧AB的中点，若AB＝4，则阴影部分面积是（）A．πB．2+2πC．2πD．2+π【分析】求出∠AOC＝∠BOC＝90°，OA＝OC＝OB＝2，求出阴影部分的面积＝S扇形AOC，再根据扇形的面积公式求出答案即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，C为AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵AB＝4，∴OA＝OC＝OB＝2，∴S△AOC ＝S△BOC=12×2×2=2，∴阴影部分的面积S＝S△COB +S扇形AOC﹣S△AOC＝S扇形AOC =90π×22360=π，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是n °，半径是r ，那么这个扇形的面积=nπr 2360．【变式2-2】（2023•蜀山区校级三模）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角∠O ＝120°形成的扇面，若OA ＝4m ，OB ＝2m ，则阴影部分的面积是（）A ．43πB ．83πC ．4πD ．163π【分析】利用扇形面积公式，根据S 阴影＝S 扇形AOD ﹣S 扇形BOC 即可求解．【解答】解：S 阴影＝S 扇形AOD ﹣S 扇形BOC=120π⋅OA 2360―120π⋅OB 2360=120π(OA 2OB 2)360=π(4222)3＝4π（m 2），故选：C ．【点评】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．【变式2-3】（2022秋•松滋市期末）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC ＝30°，OB ＝2，则图中阴影部分的面积为（）A ．π3―B ．2π3―C ．2π3―D ．π3―【分析】根据S 阴＝S 扇形OBC ﹣S △OBC ，计算即可．【解答】解：∵∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形，∴S 阴＝S 扇形OBC ﹣S △OBC =60⋅π×22360―12×2×=23π―故选：B ．【点评】本题考查扇形的面积，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式2-4】（2022秋•鄞州区期末）如图，扇形AOB 圆心角为直角，OA ＝10，点C 在AB 上，以OA ，CA 为邻边构造▱ACDO ，边CD 交OB 于点E ，若OE ＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（）A ．10π﹣8B ．5π﹣8C ．25π﹣64D ．50π﹣64【分析】连接OC ．利用勾股定理求出EC ，根据S 阴＝S 扇形AOB ﹣S 梯形AOEC ，计算即可．【解答】解：连接OC ．∵四边形OACD 是平行四边形，∴OA ∥CD ，∴∠OEC +∠EOA ＝180°，∵∠AOB ＝90°，∴∠OEC ＝90°，∴EC =6，∴S 阴＝S 扇形AOB ﹣S 梯形OECA =90π×102360―12×（6+10）×8＝25π﹣64．故选：C ．【点评】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．【变式2-5】（2023•双柏县模拟）如图，在菱形ABCD 中，点E 是AB 的中点，以B 为圆心，BE 为半径作弧，交BC 于点F ，连接DE 、DF ，若AB ＝2，∠A ＝60°，则图中阴影部分的面积为（）A ．π3B π3C π3D ―2π3【分析】连接AC ，根据菱形的性质求出∠BCD 和BC ＝AB ＝2，求出AE 长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝2，∠A ＝60°，点E 是AB 的中点，∴△ABD 是等边三角形，DE ⊥AB ，∠ABC ＝120°，BE ＝1，∴DE BF ＝1，DF =DF ⊥BC ，∴阴影部分的面积S ＝S △BDE +S △BDF ﹣S 扇形BEF ＝2―120π×12360=π3，故选：B ．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出△AEC 、△AFC 和扇形ECF 的面积是解此题的关键．【变式2-6】（2022秋•余杭区校级月考）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结AC ，BC ．（1）求证：∠ACO ＝∠BCD ；（2）若CD ＝6，∠A ＝30°，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据垂径定理得到BC=BD，根据圆周角定理证明结论；（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，求出∠AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴BC=BD，∴∠A＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD；（2）解：∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=12CD＝3，在Rt△COE中，OC=CEsin60°=∴扇形OAC（阴影部分）的面积=4π，答：阴影部分的面积为4π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．【典例三】（2023•大同模拟）如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，半径OA ＝3，将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠，使点O 恰好落在AB 上的点D 处，折痕为BC ，则阴影部分的面积为（）AB ．9π4―C ．π34D ．3π34【分析】连接OD ，可得△OBD 为等边三角形，再求出∠COD 以及OC ，得到三角形BOC 的面积，又因为△BOC 与△BDC 面积相等，最后利用S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S △BOC ﹣S △BDC 求解即可．【解答】解：如图，连接OD ，根据折叠的性质，CD ＝CO ，BD ＝BO ，∠DBC＝∠OBC ，∴OB ＝BD ＝OD，解题技巧提炼先将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算.∴△OBD 为等边三角形，∴∠DBO ＝60°．∵∠CBO =12∠DBO ＝30°，∵∠AOB ＝90°，∴OC ＝OB •tan ∠CBO ＝3=∴S △BOC =12OB •OC =∵△BOC 与△BDC 面积相等，∴S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S △BOC ﹣S △BDC=14π×32=9π4―故选：B ．【点评】本题考查与扇形有关的不规则图形的面积求法，掌握割补法求面积是解题的关键．【变式3-1】（2023•乡宁县二模）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC ＝30°，在直径AB 上截取AD ＝AC ，延长CD 交⊙O 于点E ，若CE ＝2，则图中阴影部分的面积为（）A B ．π2―1C ．π﹣2D ．π2【分析】连接OE ，OC ，BC ，推出△EOC 是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．【解答】解：连接OE ，OC ，BC ，由旋转知AC ＝AD ，∠CAD ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∠ACE ＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE ＝90°﹣∠ACE ＝15°，∴∠BOE ＝2∠BCE ＝30°，∴∠EOC ＝90°，即△EOC 为等腰直角三角形，∵CE ＝2，∴OE ＝OC =∴S 阴影＝S 扇形OEC ﹣S △OEC ―12×=π2―1，故选：B ．【点评】本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．【变式3-2】（2022秋•合川区期末）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接BC ．若BO =BC =2 ．【分析】证明△OBD 是等边三角形，根据S 阴＝S △DEB +（S 扇形DOB ﹣S △BOD ）求解即可．【解答】解：连接BD ．∵OC ＝OB ＝BC ＝∴△OBC 是等边三角形，∵CD ⊥AB ，AB 是直径，∴BC =BD ，∴BC ＝BD ＝OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵DE ⊥OB ，∴OE ＝EB∴DE ＝∴S 阴＝S △DEB +（S 扇形DOB ﹣S △BOD ）=12×（2＝4π﹣故答案为：4π﹣【点评】本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是理解性质和定理，注意掌握扇形的面积公式．【变式3-4】（2023•如皋市一模）如图，⊙O 的直径AB ＝8，C 为⊙O 上一点，在AB 的延长线上取一点P ，连接PC 交⊙O 于点D ，PO ＝OPC ＝30°．（1）求CD 的长；（2）计算图中阴影部分的面积．【分析】（1）作OE ⊥CD 于点E ，连接OC ，OD ，根据垂径定理得CE ＝DE ，再根据PO ＝OPC＝30°，得OE ＝（2）根据阴影部分的面积为扇形COD 的面积减去△COD 的面积即可．【解答】解：（1）作OE ⊥CD 于点E ，连接OC ，OD ，∴CE ＝DE ，∵PO ＝OPC ＝30°，∴OE =12PO ＝∵直径AB ＝8，∴OD ＝4，∴DE ==2，∴CD ＝2DE ＝4；（2）∵OD ＝2DE ，∴∠DOE ＝30°，∴∠COD ＝60°，∴阴影部分的面积为60π×42360―12×4×=8π3―【点评】本题考查了垂径定理，扇形面积的计算，含30°的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．【变式3-5】（2023•蒙阴县一模）已知AB 是圆O 的直径，半径OD ⊥BC 于点E ，BD 的度数为60°．（1）求证：OE ＝DE ；（2）若OE ＝1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BD ，证明△OBD 是等边三角形，可得结论；（2）根据S 阴＝S 扇形AOC +S △COE ，求解即可．【解答】（1）证明：连接BD ，∵BD 的度数是60°，∴∠BOD ＝60°，∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵OD ⊥BC ，∴OE ＝DE ；（2）解：连接OC ．∵OD ⊥BC ，OC ＝OB ，∴∠COE ＝∠BOE ＝60°，∴∠OCE ＝30°，∴OC ＝2OE ＝2，∴CE =∴S 阴＝S 扇形AOC +S △COE =60π⋅22360+12×1=2π3【点评】本题考查了扇形面积、三角形的面积的计算，正确证明△BOD 是等边三角形是关键．【变式3-6】（2023•长沙模拟）如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为点E ，OF ⊥AC ，垂足为点F ，BE ＝OF ．（1）求证：AC ＝CD ；（2）若BE ＝4，CD ＝【分析】（1）根据AAS 证明△AFO ≌△CEB 即可判断；（2）根据S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD 计算即可．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC =BD ，CE =12CD ，∴∠A ＝∠DCB ，∴OF ⊥AC ，∴∠AFO ＝∠CEB ，AF =12AC ，∵BE ＝OF ，∴△AFO ≌△CEB （AAS ），∴AF ＝CE ，∴AC ＝CD ；（2）∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴CE =12CD ＝设OC ＝r ，则OE ＝r ﹣4，∴r 2＝（r ﹣4）2+（2∴r ＝8，连接OD ，如图，在Rt △OEC 中，OE ＝4=12OC ，∴∠OCE ＝30°，∠COB ＝60°，∴∠COD ＝120°，∵△AFO ≌△CEB ，∴S △AFO ＝S △BCE ，∴S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD=120π×82360―12×4=643π﹣【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得∠COE 的度数是解决本题的关键．【典例四】（2023•凤台县校级三模）如图，点B 在半圆O 上，直径AC ＝10，∠BAC ＝36°，则图中阴影部分的面积为（）A ．5πB ．52πC ．10πD ．54π【分析】先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形得到△AOB 的面积与△COB的面积相解题技巧提炼通过对图形的变换，为利用公式法或和差法求解创造条件.有两种方法：（1）直接等面积转化法（2）平移转化法（3）对称转化法（4）旋转转化法等，从而把阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积，再根据扇形面积计算公式求出即可．【解答】解：∵点O 是AC 的中点，∴线段BO 是△ABC 的中线，∴S △AOB ＝S △COB ，∴S 阴影＝S 扇形OBC ，∵∠BAC ＝36°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝72°，∵直径AC ＝10，∴OC ＝5，∴S 扇形OBC =72π×52360=5π，∴S 阴影＝5π，故选：A ．【点评】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，三角形的中线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．【变式4-1】（2023•孝义市三模）如图，AB 为半圆O 的直径，CD 垂直平分半径OA ，EF 垂直平分半径OB ，若AB ＝4，则图中阴影部分的面积等于（）A ．4π3B ．2π3C ．16π3D ．8π3【分析】根据图形可得，阴影部分的面积＝S 半圆﹣2S 扇形 ACO ，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：如图所示：连接OC ，∵CD 垂直平分半径OA ，∴AC ＝OC ，∵OC ＝OA ，∴OA ＝OC ＝AC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠A ＝60°，∴S 阴影=12S ⊙O ﹣2S 扇形ACO =12×(AB 2)2π―2×60×(AB 2)2π360 =12×4π﹣2×16×4π＝2π―43π=23π．故选：B ．【点评】本题考查了扇形的面积计算，掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式是解题的关键．【变式4-2】（2023•锦州二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB ，BC 分别交于点D ，E ，连接AE ，DE ，若∠BED ＝45°，AB ＝2，则阴影部分的面积为（）A ．π4B ．π3C ．2π3D ．π【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEC ＝90°，再根据等腰三角形三线合一得出点E 是BC 的中点，从而得出OE 是△ABC 的中位线，于是OE ∥AB ，根据同底等高得到△AOD 和△AED 的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形AOD 的面积，根据扇形面积公式计算出扇形AOD 的面积即可得出阴影部分的面积．【解答】解：连接OE，OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝CE，即点E是BC的中点，∵点O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AB，∴S△AOD ＝S△AED，∴S阴影＝S扇形OAD，∵∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∵∠BED＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°，∴S扇形OAD=90π×12360=π4，∴S阴影=π4，故选：A．【点评】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键．【变式4-3】（2023•东兴区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（）A ．512πB ．43πC ．34πD ．2512π【分析】根据AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED 的面积＝△ABC 的面积，得到阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，∴△ABC 为直角三角形，由题意得，△AED 的面积＝△ABC 的面积，由图形可知，阴影部分的面积＝△AED 的面积+扇形ADB 的面积﹣△ABC 的面积，∴阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积=30π×52360=2512π，故选：D ．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积是解题的关键．【变式4-4】（2023•郸城县模拟）如图，扇形ABC 圆心角为90°，将扇形ABC 沿着射线BC 方向平移，当点B 落到线段BC 中点E 时平移停止，若AC 的长为2π，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据S 阴影＝S 扇形DEF +S 矩形ABED ﹣S 扇形BAC ＝S 矩形ABED 求解即可．【解答】解：∵扇形ABC 圆心角为90°，AC 的长为2π，∴2π=90π⋅r 180，∴r ＝4，∴AB ＝BC ＝4，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝2，∴S阴影＝S扇形DEF+S矩形ABED﹣S扇形BAC＝S矩形ABED＝2×4＝8．故答案为：8．【点评】本题考查平移性质，扇形面积，熟练掌握求不规则图形面积，通过转化成规则图形面积的和差求解是解题的关键．【变式4-5】如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．求：（1）阴影部分的周长；（2）阴影部分的面积．（结果保留π）【分析】（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC的长，利用弧长公式可求解；（2）由面积的和差关系可求解．【解答】解：（1）阴影部分的周长是：2×12×2π×6+60π×12180＝12π+4π＝16π（厘米），答：阴影部分的周长为16π厘米；（2）∵阴影部分的面积是：S半圆+S扇形BAC﹣S半圆＝S扇形BAC，∴阴影部分的面积=60×π×144360=24π（平方厘米）．答：阴影部分的面积为24π平方厘米．【点评】本题考查了旋转的性质，弧长公式，扇形面积公式，掌握计算公式是解题的关键．【变式4-6】如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于点E ，OF ⊥AC 于点F ，BE ＝OF ．（1）求证：△AFO ≌△CEB ；（2）若BE ＝4，CD ＝①⊙O 的半径；②求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据AAS 即可判断；（2）①设 OC ＝r ，则 OE ＝r ﹣4，在Rt △OCE 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；②根据S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD 计算即可；【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC =BD ，∴∠A ＝∠DCB ，∴OF ⊥AC ，∴∠AFO ＝∠CEB ，∵BE ＝OF ，∴△AFO ≌△CEB （AAS ）．（2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴CE =12CD ＝设 OC ＝r ，则 OE ＝r ﹣4，∴r 2＝（r ﹣4）2+（2∴r ＝8．②连接 OD ．∵在Rt △OEC 中，OE ＝4=12OC ，∴∠OCE ＝30°，∠COB ＝60°，∴∠COD ＝120°，∵△AFO ≌△CEB ，∴S △AFO ＝S △BCE ，∴S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD=120⋅π⋅82360―12××4=643π﹣【点评】本题考查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．【典例五】（2022秋•潼南区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，两弧分别交AB 于点D 、F ，则图中阴影部分的面积是　．解题技巧提炼有的阴影部分是由两个基本图形互相重叠得到的.常用的方法是：两个基本图形的面积-被重叠图形的面积=组合图形的面积.【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形BCE 与扇形ACD 的面积之和与Rt △ABC 的面积之差．【解答】解：在Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2，∴∠A ＝60°，AC =12AB ＝1，BC∴阴影部分的面积S ＝S 扇形BCE +S 扇形ACD ﹣S △ACB 60π×12360―12×1×=5π12―故答案为：5π12【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式5-1】（2022秋•北碚区校级期末）如图，正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AB 为半径画弧，连接AC ，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AD 的延长线于点E ，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°，∠DAC ＝45°，∴AC =∴图中阴影部分的面积＝12×1×1]+（1×1―90π×12360）=12，故答案为12．【点评】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．【变式5-2】（2023•平遥县二模）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，∠A ＝60°，将Rt △ACB 绕点C 顺时针旋转90°后得到Rt △DCE ，点B 经过的路径为BE ，将线段AB 绕点A 顺时针旋转60°后，点B 恰好落在CE 上的点F 处，点B 经过的路径为BF ，则图中阴影部分的面积是（）A π12B π12C +π12D ―π12【分析】根据S 阴＝S △ACB +S 扇形CBE ﹣S 扇形ABF 计算即可．【解答】解：S 阴＝S △ACB +S 扇形CBE ﹣S 扇形ABF=12×1×60⋅π⋅22360+π12，故选：A ．【点评】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．【变式5-3】如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，以C 为圆心、BC 长为半径画弧交AC 于点F ，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据扇形的面积公式和三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：连接BE ，∵AB 为直径，∴BE⊥AC，∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴BE＝AE＝CE，∴S弓形AE ＝S弓形BE，∴图中阴影部分的面积＝S半圆―12（S半圆﹣S△ABE）﹣（S△ABC﹣S扇形CBF）=12π×22―12（12π×22―12×12×4×4）﹣（12×4×4―45π×42360）＝3π﹣6，故答案为3π﹣6．【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式5-4】（2022•射洪市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝∠C＝90°，∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝4，∴图中阴影部分的面积＝S扇形FCD ﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAE）=90π×62360―（6×4―90π×42360）＝13π﹣24，故答案为：13π﹣24．【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．。

专题训练(九) 求不规则图形面积的常用方法

专题训练(九) 求不规则图形面积的常用方法
(2)设 BC 的中点为 O，由(1)可知点 O 为圆心，连接 OA，OD. ∵∠ABD＝30°，∴∠AOD＝60°. 根据“同底等高的三角形的面积相等”可得 S△ABD＝S△OAD， ∴S 阴影＝S 扇形 OAD＝60×36π0×32＝32π.
专题训练(九) 求不规则图形面积的常用方法
本课件仅供交流学习使用，严禁用于任何商业用途
全品作业本
数学
九年级上册
新课标（RJ）
第二十四章圆
第二十四章圆
专题训练(九) 求不规则图形面积的常用方法
专题训练(九) 求不规则图形面积的常用方法
方法一用旋转求图形的面积
1．当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻
璃上的雨刷．如图 9－ZT－1 是某汽车的一个雨刷的转动示意图，雨
解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连接 OB，过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，则 AC＝BC＝12. ∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC 为小圆的半径， ∴S 阴影＝S 大半圆－S 小半圆＝12π·OB2－12π·OC2＝12π(OB2－OC2)＝12π·BC2＝72π.
专题训练(九) 求不规则图形面积的常用方法
专题训练(九) 求不规则图形面积的常用方法
方法二用平移求图形的面积
2．如图 9－ZT－2 是两个半圆，点 O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，AB＝24，求图中阴影部分的面积．
图9－ZT－2
专题训练(九) 求不规则图形面积的常用方法
[解析] 将小圆向右平移，使它的圆心与大圆的圆心重合，于是阴影部分的面积可转化为大半圆的面积减去小半圆的面积．

九年级数学上册专题训练(五)求不规则图形面积的五种方法试题苏科版(2021年整理)

2018年秋九年级数学上册专题训练（五）求不规则图形面积的五种方法试题（新版）苏科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册专题训练（五）求不规则图形面积的五种方法试题（新版）苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋九年级数学上册专题训练（五）求不规则图形面积的五种方法试题（新版）苏科版的全部内容。

专题训练（五）求不规则图形面积的五种方法►方法一用覆盖法求图形的面积1．如图5－ZT－1，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，O1,O2，O3，O4分别是OA,OB,OC，OD的中点．若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为（)A．8 B．4C．4π＋4 D．4π－4图5－ZT－1 图5－ZT－22．如图5－ZT－2，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为________(参考数据：π≈3.14)．3．如图5－ZT－3所示，在△ABC中,AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积是________．图5－ZT－3►方法二用旋转求图形的面积4．当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路,要启动前方挡风玻璃上的雨刷．如图5－ZT－4是某汽车的一个雨刷的转动示意图，雨刷杆AB与雨刷CD在B处固定连接(不能转动)，当杆AB绕点A转动90°时，雨刷CD扫过的面积是图中阴影部分的面积，现量得CD＝80 cm，∠DBA＝20°，AC＝115 cm,DA＝35 cm，试从以上信息中选择所需要的数据,求出雨刷扫过的面积．图5－ZT－45．如图5－ZT－5,在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上的点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG.（1）求证:EF∥CG；（2)求点C，A在旋转过程中形成的错误!,错误!与线段CG所围成的阴影部分的面积．图5－ZT－5►方法三用平移求图形的面积6．如图5－ZT－6是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦且与小半圆相切,AB＝24,求图中阴影部分的面积．图5－ZT－6►方法四用等积变形求图形的面积7．如图5－ZT－7，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CD＝2 错误!，则图中阴影部分的面积为（）图5－ZT－7A．4πB．2πC．πD.错误!8．如图5－ZT－8，点A，B，C，D均在圆上，AD∥BC,BD平分∠ABC，∠BAD＝120°,四边形ABCD的周长为15.(1)求此圆的半径;(2）求图中阴影部分的面积．图5－ZT －89．如图5－ZT －9，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上的一点，AC 平分∠DAB，AD ⊥CD ，垂足为D,AD 交半圆O 于点E ，连接CE.(1）判断CD 与半圆O 的位置关系,并证明你的结论;(2)若E 是错误!的中点,半圆O 的半径为1,求图中阴影部分的面积．图5－ZT －9► 方法五用割补法求图形的面积10．如图5－ZT －10，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点,交直角边AC 于点E.B ，E 是半圆弧的三等分点，BE ︵的长为错误!，则图中阴影部分的面积为( ）A 。

2022年春苏科版九年级数学中考复习几何压轴题专题训练(附答案)

2022年春苏科版九年级数学中考复习几何压轴题专题训练（附答案）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，点F在DE的延长线上，点G在线段AD上，且∠BGF＝60°．（1）若DE＝2，求AC的长；（2）证明：DF＝AD+DG．2．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．4．如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足+（b﹣2）2＝0，（1）求A点坐标；（2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1试判定线段AC和DC 的数量关系和位置关系．（3）如图2过A作AE⊥x轴于E，F，G分别为线段OE，AE上的两个动点，满足∠FBG ＝45°，试探究的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由．5．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．6．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时＝；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．7．已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE交线段AB于E，DF 交直线BC于F．（1）如图（1），求证：DE＝DF；（2）如图（2），若BE＝3AE，求证：CF＝BC．（3）如图（3），若BE＝AE，则CF＝BC；在图（1）中，若BE＝4AE，则CF ＝BC．8．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C →B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，会出现△DEG与△BFG全等的情况．9．如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED．（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：CE平分∠BCD；（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD＝AB＝4．求点E到BC的距离．10．已知△ABC≌△ADE，且它们都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．（1）如图1，当点D在边AC上时，连接BD并延长交CE于点F，①求证：∠CBD＝∠EDF；②求证：点F为线段CE的中点；（2）△ADE绕着点A顺时针旋转，如图2所示，连接BD并延长交CE于点F，点F还是线段CE的中点吗？请说明理由．11．已知在△ABC与△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点B、C、D在同一直线上，射线AH、EI分别平分∠BAC、∠CED．（1）如图1，试说明AC＝CE的理由；（2）如图2，当AH、EI交于点G时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求β与α的数量关系，并说明理由；（3）当AH∥EI时，求∠B的度数．12．如图1，△ABC≌△DAE，∠BAC＝∠ADE＝90°．（1）连接CE，若AB＝1，点B、C、E在同一条直线上，求AC的长；（2）将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2，BC与AD交于点F，BC 的延长线与AE交于点N，过点D，作DM∥AE交BC于点M．求证：①BM＝DM；②MN2＝NF•NB．13．如图1，2，3，将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB1C1D1，连接BD．（1）探究：①如图1，当α＝90°时，点C1恰好在DB的延长线上，若AB＝1，求BC的长；②如图2，连接AC1，过点D1作D1M∥AC1交BD于点M，线段D1M与DM相等吗？请说明理由．（2）在探究（1）②的条件下，射线DB分别交AD1、AC1于点P、N（如图3）．求证：①MN＝AN；②MN2＝PN•DN．14．如图1，在矩形ABCD中，点E是CD上一动点，连接AE，将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处，AE与DF交于点O．（1）射线EF经过点B，射线DF与BC交于点G．ⅰ）求证：△ADE∽△DCG；ⅱ）若AB＝10，AD＝6，求CG的长；（2）如图2，射线EF与AB交于点H，射线DF与BC交于点G，连接HG，若HG∥AE，AD＝10，DE＝5，求CE的长．15．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F．（1）如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P．①求证：AE•AB＝AD•AC；②求BF的长；（2）如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长．16．如图，过⊙O外一点P作⊙Q的两条切线P A和PB，PD交⊙O于D和C，E在弦DC 上．且∠DAE＝∠PBC．（1）求证：∠ADC＝∠P AC；（2）求证：△ADE∽△BAC；（3）若AD＝5，BC＝3，AC＝4，试求BD的长．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE 的长为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是AO的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，求出BP的长．18．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿BC翻折得到△DBC，过点D作⊙O的切线DF，与BC的延长线交于点E，F为切点，⊙O的半径为，∠ABD＝30°．（1）求的长．（2）若DE∥AB，连接AE．①求证：四边形ABDE为菱形．②求DF的长．19．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点M，OM交⊙O于点N，连接AM．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DN＝4，AC＝8，求线段MN的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，△ADE是以AD为斜边的直角三角形，且满足∠EAD＝∠DAB，DE＝DC．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：DE2＝EF•BD；（3）若AB＝1，求BD的长．参考答案1．（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE＝2．∠CBD＝∠ABD＝30°，∴BD＝2CD＝4，∵DE⊥AB，∠CBD＝∠ABD＝30°，∴AD＝BD＝4，∴AC＝AD+CD＝4+2＝6，∴AC的长为6；（2）证明：如图，在DE上截取DH＝DG，连接GH，∵AD＝BD，∠A＝∠ABD＝30°，∴∠BDE＝∠ADE＝60°，∴△DGH是等边三角形，∴∠DGH＝∠DHG＝60°，∵∠BGF＝60°，∴∠1+∠HGB＝∠2+∠HGB＝60°，∴∠1＝∠2，∵∠BDC＝∠DHG＝60°，∴∠BDG＝∠FHG＝120°，在△BDG和△FHG中，，∴△BDG≌△FHG（ASA），∵DF＝FH+DH＝BD+DG＝AD+DG，∴DF＝AD+DG．2．证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM，∵∠A＝60，∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°，∴∠BFD＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，在△BFD和△BFM中，，∴△BFD≌△BFM（SAS），∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF，∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°，∵∠CFE＝∠BFD＝60°，∴∠CFM＝∠CFE，∵CD平分∠ACB，∴∠3＝∠4，又CF＝CF，在△ECF和△MCF中，，∴△ECF≌△MCF（ASA），∴EF＝MF，（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CDA＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE，∴∠1＝∠3，∵BD＝CD，在△BDF和△CDA中，，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴DF＝DA，∵∠ADF＝90°，∴∠6＝45°，∵∠G＝∠6，∴∠5＝45°∴∠G＝∠5，∴GD＝DA，∴GD＝DF．3．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；（2）由题意知BP＝tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．4．解：（1）根据题意得：a﹣2＝0且b﹣2＝0，解得：a＝2，b＝2，则A的坐标是（2，2）；（2）AC＝CD，且AC⊥CD．如图1，连接OC，CD，∵A的坐标是（2，2），∴AB＝OB＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠OBC＝30°，OB＝BC，∴∠BOC＝∠BCO＝75°，∵在直角△ABO中，∠BOA＝45°，∴∠AOC＝∠BOC﹣∠BOA＝75°﹣45°＝30°，∵△OAD是等边三角形，∴∠DOC＝∠AOC＝30°，即OC是∠AOD的角平分线，∴OC⊥AD，且OC平分AD，∴AC＝DC，∴∠ACO＝∠DCO＝60°+75°＝135°，∴∠ACD＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∴AC⊥CD，故AC＝CD，且AC⊥CD．（3）不变．延长GA至点M，使AM＝OF，连接BM，∵在△BAM与△BOF中，，∴△BAM≌△BOF（SAS），∴∠ABM＝∠OBF，BF＝BM，∵∠OBF+∠ABG＝90°﹣∠FBG＝45°，∴∠MBG＝45°，∵在△FBG与△MBG中，，∴△FBG≌△MBG（SAS），∴FG＝GM＝AG+OF，∴＝1．5．（1）解：∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选C．（3）证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，∵AD是△ABC中线，∴CD＝BD，∵在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．6．解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN，此时，理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，∵AB＝AM+BM，∴AM：AB＝2：3，∴＝；（2）猜想：结论仍然成立，证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1，∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，∴＝；（3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，可证∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．7．证明：（1）如图1中，连接BD，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，∵∠DMB＝∠DNB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠MDN＝∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF，∵△ABC是等边三角形，AD＝DC，∴∠DBA＝∠DBC，∴DM＝DN，∴△DME≌△DNF，∴DE＝DF．（2）如图2中，作DK∥BC交AB于K．设AE＝a，则BE＝3a，AB＝AC＝BC＝4a，∵AD＝DC，DK∥CB，∴AK＝BK＝2a，DK＝BC＝2a＝AD＝AK，∴AE＝EK＝a，∴DE⊥AK，∴∠BED＝90°，∵∠BED+∠BFD＝180°，∴∠DFB＝90°，在Rt△CDF中，∵∠C＝60°，∴CF＝CD＝a，∴CF＝BC．（3）①如图3中，作DK∥BC交AB于K．设BE＝a，则AE＝3a，AK＝BK＝2a，△ADK是等边三角形，∴∠ADK＝60°，∠EDF＝∠KDC，∴∠KDE＝∠CDF，∵DK＝DC，DE＝DF，∴△EDK≌△FDC，∴EK＝CF＝a，∵BC＝4a，∴CF＝BC．②如图4中，由（1）可知EM＝FN，设AE＝a，则BE＝4a，AB＝BC＝AC＝5a，AM＝CN＝a，EM＝FN＝a，∴CF＝FN+CN＝a，∴CF：BC＝a：5a＝3：10，∴CF＝BC．故答案为，．8．（1）证明：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC；（2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v，当时，若△DEG≌△BGF，则，∴，∴，∴v＝3；若△DEG≌△BGF，则，∴，∴（舍去）；当时，若△DEG≌△BFG，则，∴，∴，∴；若△DEG≌△BGF，则，∴，∴，∴v＝1．综上，当点G的速度为3或1.5或1时．会出现△DEG与△BFG全等的情况．9．（1）证明：延长CD到T，使得DT＝BA，连接ET．∵∠CDE＝120°，∴∠EDT＝180°﹣120°＝60°，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠EDT，在△EAB和△EDT中，，∴△EAB≌△EDT（SAS），∴EB＝ET，∴CB＝CD+BA＝CD+DT＝CT，在△ECB和△ECT中，，∴△ECB≌△ECT（SSS），∴∠ECB＝∠ECD，∴CE平分∠BCD．（2）解：延长CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．∵∠A+∠CDE＝180°，∠CDE+∠EDQ＝180°，∴∠A＝∠EDQ，在△AEB和△DEQ中，，∴△AEB≌△DEQ（ASA），∴EB＝EQ，∵∠AED＝2∠BEC，∴∠AEB+∠CED＝∠BEC，∴∠CED+∠DEQ＝∠BEC，∴∠CEB＝∠CEQ，在△CEB和△CEQ中，，∴△ECB≌△ECQ（SAS），∵S五边形ABCDE＝S四边形EBCQ＝2S△EBC＝30，∴S△EBC＝15，∵CD＝AB＝4，∴AB＝6，CD＝4，∴BC＝CD+QD＝CD+AB＝10，∴×10×EH＝15，∴EH＝3，∴点E到BC的距离为3．10．（1）证明：①∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，BC＝DE，AE＝AC，∵△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∴AD＝DE，AB＝BC，∠DAE＝∠AED＝∠BAC＝∠BCA＝45°，在△ABD中，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝67.5°，∴∠CBF＝90°﹣∠ABD＝22.5°，∠EDF＝90°﹣∠CDF＝90°﹣∠ADB＝22.5°，∴∠CBF＝∠EDF，∴∠CBD＝∠EDF；②∵AE＝AC，∠EAC＝45°，∴∠ACE＝∠AEC＝67.5°，∵∠ADE＝90°，∴∠DEC＝22.5°，∵∠FDC＝∠FCD＝67.5°，∴EF＝DF，DF＝FC，∴EF＝FC，∴点F为线段CE的中点；（2）解：点F还是线段CE的中点，理由如下：过点E作EG∥BC交BF延长线于G，∴∠EGF＝∠CBF，∠FEG＝∠FCB，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ADE＝∠ABC＝90°，∴∠EDG＝90°﹣∠ADB＝90°﹣∠ABD＝∠FBC，∴∠EDG＝∠EGD，∴DE＝EG，∵DE＝BC，∴EG＝BC，∵∠FEG＝∠FCB，∠FGE＝∠FBC，∴△EFG≌△CFB（ASA），∴EF＝CF，∴F为EC的中点．11．（1）证明：∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B，又∠B＝∠ACE，∴∠A＝∠ECD．在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA）．∴AC＝CE．（2）解：3α﹣2β＝180°．理由如下：如图1所示，连接GC并延长至点K．∵AH、EI分别平分∠BAC、∠DEC，则设∠CAH＝∠BAH＝a，∠CEI＝∠DEI＝b，∵∠ACK为△ACG的外角，∴∠ACK＝a+∠AGC，同理可得∠ECK＝b+∠EGC，∴∠ACE＝∠ACK+∠ECK＝∠B＝α＝（a+∠AGC）+（b+∠EGC）＝a+b+∠AGE＝a+b+β，即α＝a+b+β，∴a+b＝α﹣β．又由（1）中证明可知∠ECD＝∠BAC＝2a，由三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180°，即2a+2b+α＝180°，∴2（a+b）+α＝180°，∴3α﹣2β＝180°．（3）当AH∥EI时，如图2所示，过点C作MN∥AH，则MN∥AH∥EI．∴∠CAH＝∠ACM＝a，∠CEI＝∠ECM＝b，∴∠ACE＝∠ACM+∠ECM＝a+b＝α，即α＝a+b．由（1）中证明可得∠ECD＝∠BAC＝2a，∠D＝∠B＝α．在△CED中，根据三角形内角和定理有∠ECD+∠CED+∠D＝180°，即2a+2b+α＝180°，即2（a+b）＝180°﹣α，即3α＝180°，解得：α＝60°．故∠B＝60°．12．（1）解：∵△ABC≌△DAE，∴AD＝AB＝1，AC＝DE，∵∠BAC＝∠ADE＝90°，∴AB∥DE，∴△ABC∽△DEC，＝，∴＝，解得AC＝；（2）证明：①连接BD，∵△ABC≌△DAE，∴∠ABC＝∠DAE，AB＝DA，∵DM∥AE，∴∠MDA＝∠DAE，∴∠ABC＝∠MDA，∵AB＝DA，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD﹣∠ABC＝∠ADB﹣∠MDA，∴∠MBD＝∠MDB，∴BM＝DM；②连接MA，由①知，BM＝DM，AB＝DA，∵AM＝AM，∴△AMB≌△AMD（SSS），∴∠BAM＝∠DAM，由①知，∠ABC＝∠DAE，∴∠ABC+∠BAM＝∠DAE+∠DAM，∴∠AMN＝∠NAM，∴MN＝AN，∵∠BNA＝∠ANF，∠ABC＝∠DAE，∴△ANF∽△BNA，∴，∴AN2＝BN•NF，∴MN2＝NF•NB．13．（1）解：①如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB，BC＝DA，∠BAD＝90°，∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB1C1D1，∴∠D1AD＝∠BAD＝90°，C1D1＝CD＝AB＝1，∴AB与AD1重合，即点A、B、D1在同一条直线上，设BC＝DA＝D1A＝x，则D1B＝x﹣1，∵∠D1＝∠BAD＝90°，∠D1BC1＝∠ABD，∴△D1BC1∽△∠ABD，∴＝，∴＝，解得x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），∴BC＝．②D1M＝DM，理由如下：如图2，连结DD1，∵AD1＝AD，∴∠AD1D＝∠ADD1，∵D1C1＝AB，∠C1D1A＝∠BAD＝90°，AD1＝DA，∴△C1D1A≌△BAD（SAS），∴∠D1AC1＝∠ADB，∵D1M∥AC1，∴∠AD1M＝∠D1AC1，∴∠AD1M＝∠ADB，∴∠AD1D﹣∠AD1M＝∠ADD1﹣∠ADB，∴∠MD1D＝∠MDD1，∴D1M＝DM．（2）证明：如图3，连结AM，①∵AD1＝AD，D1M＝DM，AM＝AM，∴△AD1M≌△ADM（SSS），∴∠AD1M＝∠ADM，∠MAD1＝∠MAD，∵∠AD1M＝∠NAD1，∴∠NAD1＝∠ADM，∴∠NAD1+∠MAD1＝∠ADM+∠MAD，∵∠NAM＝∠NAD1+∠MAD1，∠NMA＝∠ADM+∠MAD，∴∠NAM＝∠NMA，∴MN＝AN．②∵∠NAD1＝∠ADM，∴∠NAP＝∠NDA，∵∠ANP＝∠DNA，∴△ANP∽△DNA，∴＝，∴AN2＝PN•DN，∴MN2＝PN•DN．14．解：（1）i）由翻折可得，△ADE≌△AFE，DF⊥AE于O，∴∠CDG+∠ADO＝90°，∠ADO+∠EAD＝90°，∴∠CDG＝∠EAD，∵∠ADE＝∠DCG＝90°，∴△ADE∽△DCG；ii）∵AB＝10△ADE≌△AFE，∴AF＝AD＝6，在Rt△ABF中，BF＝，设DE＝EF＝x，CE＝10﹣x，BC＝AD＝6，在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，即（8+x）2＝62+（10﹣x）2，解得：x＝2，由i）可知△ADE∽△DCG，∴，∴，解得：CG＝；（2）由i）可知，△ADE∽△DCG，∴，同理可得，△ADE∽△DOE，即，∵∠OAD＝∠ODE，∠ADE＝∠DOE＝90°，∵HG∥AE，∴△HGF∽△EDF，∵△DOE≌△FOE，∴，∵∠BGH+∠CGD＝90°，∠BHG+∠BGH＝90°，∴∠CGD＝∠BHG，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BHG∽△CGD，∴，综上所述，△BHG∽△CGD∽△DEA∽△OED∽△GHF，设CE＝x，DC＝5+x，CG＝，BG＝10﹣CG＝10﹣，BH＝BG＝，HG＝BH＝，∵HG：GF＝1：2，∴GF＝，在△ADE中，AD＝10，DE＝5，AE＝5，DO＝，∵，∵，∴OE＝，DO＝OF＝2，在△DCG中，DC＝5+x，CG＝，DG＝DF+FG＝4，∵，∴DG＝CG，即，解得：x＝9，即CE＝9．15．（1）①证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴AE•AB＝AD•AC；②解：如图1，作CG⊥AB于G，作FH⊥AB于H，在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，∴AE＝4，∴BE＝AB﹣AE＝6，∵BG＝BC•cos∠ABC＝6•＝6×＝，CG＝BC•sin∠ABC＝6×＝，∴EG＝BE﹣BG＝6﹣＝，∴tan∠FEH＝tan∠CEG＝，∴tan∠FEH＝，设EH＝a，FH＝2a，∵tan∠FBE＝，∴BH＝4a，∵BH﹣EH＝BE，∴4a﹣a＝6，∴a＝2，∴FH＝4，BH＝8，∴BF＝＝＝4；（2）如图2，当AF平分∠DAE时，AF⊥BD，∴∠AFD＝∠AED＝90°，∴点A、E、F、D共圆，∴∠DEF＝∠DAF，设AF与DE的交点为O，作OG⊥AD于G，作AH⊥CF于H，∵AF平分∠DAE，∴OG＝OE，AG＝AF＝4，∴DG＝AD﹣AG＝1，设OG＝OE＝x，∴OD＝3﹣x，在Rt△DOG中，（3﹣x）2﹣x2＝12，∴x＝，∴OG＝OE＝，∴tan∠DAF＝，sin∠DAF＝，cos∠DAF＝，∵∠AED＝90°，∴∠AEH+∠DEF＝90°，∵∠AEH+∠EAH＝90°，∴∠EAH＝∠DEF＝∠DAF，∴EH＝AE•sin∠EAH＝4×＝，AH＝AE•cos∠EAH＝4×＝，∴CH＝＝＝，∴CE＝EH+CH＝．16．（1）证明：如图，过点A作直径AF，连接FC，则∠ACF＝90°，∵P A是⊙O的切线，∴∠F AC+∠P AC＝90°，∵∠AFC+∠F AC＝90°，∴∠AFC＝∠P AC，∵∠ADC＝∠AFC，∴∠ADC＝∠P AC，（2）如图，过点B作直径BG，连接GC，则∠GCB＝90°，∴∠G+∠GBC＝90°，∵PB是⊙O的切线，∠GBC+∠CBP＝90°，∴∠G＝∠CBP，又∠G＝∠BAC，∴∠BAC＝∠CBP，∵∠DAE＝∠PBC，∴∠DAE＝∠BAC，∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△BAC，（3）如图，过A作AN⊥PD于点N，过B作BM⊥PD于M，则AN＝AD•sin∠ADC，BM ＝BD•sin∠BDC，∴＝＝，又∵S△P AC＝，S△PBC＝，∴＝，∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，∴＝，∴＝，由（1）知：∠ADC＝∠P AC，∠BDC＝∠PBC，∴，∴，∴BD＝．17．（1）证明：过O作OM⊥AC于M，如图：∵AB＝AC，AO⊥BC，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OM⊥AC，∴OE＝OM，∵OE为⊙O半径，∴OM为⊙O半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵OM＝OE＝OF＝3，且F是OA中点，∴OA＝6，在Rt△AEO中，AE＝＝3，∴S△AOE＝AE•OE＝，∵OE⊥AB，OA＝6，OE＝3，∴∠EAO＝30°，∠AOE＝60°，∴S扇形OEF＝＝，∴S阴影＝S△AOE﹣S扇形OEF＝﹣；（3）解：作F关于BC的对称点G，连接EG交BC于P，连接EF，如图：此时PE+PF最小，最小值为EG的长度，∵F、G关于BC对称，∴∠FOP＝∠GOP＝90°，∴∠FOP+∠GOP＝180°，即F、O、G共线，由（2）知∠EOF＝60°，OG＝OF＝OE，∴∠G＝30°，∠EOB＝30°，∴∠GPO＝∠B＝60°，∴∠EPB＝∠B＝60°，∴△EBP是等边三角形，∴BP＝BE，而Rt△BOE中，BE＝＝，∴BP＝．18．（1）解：如图，连接OC，∵△ABC沿BC翻折得到△DBC，∴AC＝DC，∴OC为△ABD的中位线，∴OC∥BD，∴∠AOC＝∠ABD＝30°，∴的长；（2）①证明：∵△ABC沿BC翻折得到△DBC，∴∠ACB＝∠DCB＝90°，AC＝DC．∵DE∥AB，∴∠ABC＝∠DEC，∴∠BAC＝∠EDC．在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AB＝DE，∴四边形ABDE为平行四边形．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∴四边形ABDE是菱形．②解：如图，连接OF交BD于点G．∵DF为⊙O的切线，∴FO⊥EF．又∵DE∥AB，∴OF⊥OB．在Rt△BOG中，∠ABD＝30°，∴，∴．∵DE∥AB，∴∠GDF＝∠ABD＝30°，在Rt△DFG中，．19．（1）证明：如图，连接OC，∵OD⊥AC，ON过圆心O，∴AD＝CD．∴OM垂直平分AC．∴MA＝MC．∴∠MAC＝∠MCA．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∴∠OAC+∠MAC＝∠OCA+∠MCA，即∠MAO＝∠MCO．∵CM为⊙O的切线，∴∠MCO＝90°，∴∠MAO＝90°．∴OA⊥AM．又∵点A在⊙O上，∴AM是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝r﹣4，AD＝AC＝4．∴（r﹣4）2+（4）2＝r2，解得r＝8．∴OD＝4，OA＝8，∴∠OAD＝30°∴∠AOD＝60°，∴∠AMO＝30°．∴OM＝2OA＝16．∴MN＝16﹣8＝8；（3）解：∵∠COD＝∠AOD＝60°，∴∠AOC＝120°，∴S阴影＝S四边形AOCM﹣S扇形OAC＝﹣＝64﹣．20．解：（1）证明，连接OD，∵△ADE为直角三角形，AD为斜边，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∵∠EAD＝∠DAB，∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA+∠EDA＝90°，∵OD为⊙O半径，∴DE为⊙O的切线；（2）证明，如图，连接DF，∵∠DFE+∠DF A＝180°，∠DF A+∠DBA＝180°，∴∠DFE＝∠DBA∵∠ABC＝90°，∠DEA＝90°，∴∠DBA+∠DBC＝90°，∠DFE+∠EDF＝90°，∴∠EDF＝∠DBC，∴Rt△EDF∽Rt△DBC，∴＝，∵DE＝DC，∴DE2＝EF•BD；（3）∵∠DBC+∠DBA＝90°，∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠DBC＝∠DAB，∵∠EAD＝∠DAB，∴∠EAD＝∠DBC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠E＝∠BDC，在Rt△ADE和Rt△BCD中，，∴△ADE≌△BCD（AAS），∴BC＝AD，∵∠ADB＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△CDB∽△CBA，∴＝＝，设CD＝x，BC＝y，则＝，整理得x2+xy﹣y2＝0，解得x1＝y，x2＝y（舍去），∵AB＝1，∴＝，即＝，解得BD＝，∴BD的长为．。

几种不规则图形面积的解题方法

对于不规则图形面积的计算问题，一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决。

常用的基本方法有： 1. 直接求面积：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出组合图形面积。

例1：求下图阴影部分的面积（单位：厘米）。

解答：通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为：（平方厘米） 2.相加、相减求面积：这种方法是将组合图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加或相减求出该图形的面积。

例2：正方形甲的边长是5厘米，正方形乙的边长是4厘米，阴影部分的面积是多少？解答：两个正方形的面积：5×5+4×4=41（平方厘米）三个空白三角形的面积和：（5+4）×5÷2+4×4÷2+5×（5-4）÷2=33（平方厘米）阴影部分的面积：41-33=8（平方厘米）除了以上这两种方法，还有其他的几种方法，同学们不妨了解了解。

3．等量代换求面积：一个图形可以用与它相等的另一个图形替换，如果甲乙大小相等，那么求出乙的大小，就知道甲的大小；两个图形同时增加或减少相同的面积，它们的差不变。

例3：平行四边形ABCD的边BC长8厘米，直角三角形ECB的直角边EC长为6厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，平行四边形ABCD的面积是多少?解答：阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，分别加上梯形FBCG,得出的平行四边形ABCD比三角形EBC的面积大8平方厘米。

平行四边形ABCD的面积:8×6÷2+8=32(平方厘米)4.借助辅助线求面积：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法求面积。

例4：下图中，CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米,CD的长是多少?解答:结合已知条件看图，很难有思路，连接DA,就可以发现：三角形ABE 比三角形CDE的面积大2平方厘米,分别加上三角形DAE得到的三角形ABD 比三角形CDA的面积大2平方厘米。

求不规则面积的数学方法

求不规则面积的数学方法一、分割法。

1.1 原理阐述。

求不规则面积的时候啊，分割法是个挺不错的法子。

就是把那个不规则的图形啊，分割成咱们熟悉的图形，像三角形、长方形、正方形啥的。

这就好比把一个大难题啊，拆成一个个小问题，各个击破嘛。

就拿一块奇形怪状的地来说，咱们可以想象着用几条线把它切成几块规整的形状，就像切蛋糕似的。

1.2 实际例子。

比如说有个不规则的多边形，看着乱得很。

咱们仔细瞅瞅，从几个合适的点连线，把它分成了三个三角形和一个长方形。

三角形的面积公式咱都知道，底乘高除以二嘛，长方形面积就是长乘宽。

把这几个小图形的面积都算出来，然后一加，这个不规则多边形的面积就出来了。

这就像是把一群散兵游勇，按照不同的队伍编排好，再把每个队伍的人数一加，总数就清楚了。

二、填补法。

2.1 原理剖析。

填补法呢，和分割法有点相反。

要是遇到个不规则的图形，咱就想办法给它补上一块或者几块，让它变成一个咱们能轻松算面积的规则图形。

这就好比一个人衣服破了个洞，咱们补上一块布，让它完整起来。

等算出这个完整的规则图形的面积之后呢，再把咱们补上的那部分面积减掉，剩下的就是原来不规则图形的面积了。

2.2 举例说明。

就像有个图形，缺了一角，看着像个残缺不全的正方形。

咱们就给它补上那缺的一角，让它变成一个完整的正方形。

先算出这个正方形的面积，然后再算出补上的小三角形的面积。

正方形面积减去三角形面积，得嘞，原来那个不规则图形的面积就到手了。

这就像先把一个不完整的东西补全，再把多出来的部分去掉，就得到原本的东西了。

三、方格纸估算。

3.1 操作方法。

方格纸估算这个方法也很实用。

把这个不规则的图形画在方格纸上，每个方格的大小是一样的。

然后咱们就数这个图形占了多少个方格。

对于那些不满一格的，咱们就大概估算一下，是半格呢还是三分之一格之类的。

这就有点像咱们过日子，有时候大概估摸一下东西的数量。

3.2 实际操作。

比如说有个不规则的树叶形状的图形画在方格纸上。

求不规则图形面积的几种方法

求不规则图形面积的几种方法作者：白福花来源：《内蒙古教育·基教版》2012年第03期摘要：初三学习弧长及扇形的面积，在计算阴影部分的面积过程中，常遇到一些平面不规则图形的面积计算问题，对这类试题由于图形的不规则使学生在求解时往往感到茫然，不知所措；然而这类试题又能开发学生智力，能体现对数学思想方法、思维能力素质的考查，本文将结合具体实例谈谈把不规则图形的面积计算问题通过变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等方法，转化成规则图形面积的计算问题。

关键词：不规则图形面积求法一、割补法割补法是求解平面不规则图形面积问题最常用的方法之一，它包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二是粘补原有图形为规则图形；三是分割粘补兼而有之。

例1：当汽车在雨中行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。

如图1-1是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷器CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况量得CD=80cm，∠DBA=20°，端点C、D与点A的距离分别是115cm、35cm，他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果，你知道小明是怎样计算的吗？也请你算一算雨刷CD扫过的面积 ______cm2 （π取3.14）略解，由于CD和AB在点B处固定连接（不能转动），所以在整个运动过程中，就有AC=AC′=115cm，AD=AD′=35cm，CD=CD′=80cm，因此△ACD≌△AC′D′，把△AC′D′割下，粘补到△ACD的位置（图1-2），则雨刷CD扫过的面积，就等于以A为圆心，AC、AD为半径的两个圆的面积差。

注：在应用割补法求解问题时，往往要综合应用“分割”与“粘补”两种技能方法兼用，对思维的灵活性和严密性有着较高的要求。

二、重叠法重叠法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”解决的一种方法。

初三数学求面积练习题

初三数学求面积练习题题1：矩形的面积计算已知矩形的长为6cm，宽为4cm，求其面积。

解答：给定矩形的长为6cm，宽为4cm，可以使用公式计算其面积。

矩形的面积公式为“长度 ×宽度”。

将已知值代入公式计算，可得：面积 = 6cm × 4cm = 24cm²。

因此，该矩形的面积为24平方厘米。

题2：正方形的面积计算已知正方形的边长为5cm，求其面积。

解答：给定正方形的边长为5cm，可以利用正方形面积的公式计算。

正方形的面积公式为“边长 ×边长”。

将已知值代入公式计算，可得：面积 = 5cm × 5cm = 25cm²。

因此，该正方形的面积为25平方厘米。

题3：三角形的面积计算已知三角形的底边长为8cm，高为6cm，求其面积。

解答：给定三角形的底边长为8cm，高为6cm，可以使用三角形面积的公式计算。

三角形的面积公式为“底边长 ×高÷ 2”。

将已知值代入公式计算，可得：面积 = 8cm × 6cm ÷ 2 = 24cm²。

因此，该三角形的面积为24平方厘米。

题4：梯形的面积计算已知梯形的上底长为10cm，下底长为6cm，高为4cm，求其面积。

解答：给定梯形的上底长为10cm，下底长为6cm，高为4cm，可以使用梯形面积的公式计算。

梯形的面积公式为“(上底长 + 下底长) ×高÷ 2”。

将已知值代入公式计算，可得：面积 = (10cm + 6cm) × 4cm ÷ 2 = 32cm²。

因此，该梯形的面积为32平方厘米。

题5：圆的面积计算已知圆的半径为5cm，求其面积。

解答：给定圆的半径为5cm，可以使用圆面积的公式计算。

圆的面积公式为“π × 半径²”。

由于π是一个无理数，通常取近似值3.14。

将已知值代入公式计算，可得：面积 = 3.14 × 5cm × 5cm = 78.5cm²。

不规则图形面积的计算(练习题)及详细讲解

第一讲不规则图形面积的计算（一）（一）习题一（及详细答案）一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：二、解答题：1.如右图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE.求阴影部分面积。

2.如右图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为12厘米和6厘米.求四边形CMGN（阴影部分）的面积.3.如右图，正方形ABCD的边长为5厘米，△CEF的面积比△ADF的面积大5平方厘米.求CE的长。

4.如右图，已知CF=2DF，DE=EA，三角形BCF的面积为2，四边形BEDF的面积为4.求三角形ABE的面积.5.如右图，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD＝5厘米.又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。

求三角形DEF的面积.6.如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少？7.如右图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右下图，它的面积与原三角形面积之比为2：3，已知阴影部分的面积为5平方厘米.求原三角形面积.8.如右图，ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC长8，已知阴影部分的面积比△EFG的面积大10.求CF的长.习题一解答一、填空题：二、解答题：3．CE=7厘米．可求出BE=12．所以CE=BE-5=7厘米．4．3．提示：加辅助线BD∴CE=4，DE=CD-CE=5-4=1。

同理AF=8，DF=AD-AF=14-8=6，6．如右图，大正方形边长等于长方形的长与宽的和.中间小正方形的边长等于长方形的长与宽的差.而大、小正方形的边长分别是8米和3米，所以长方形的宽为（8-3）÷2=2.5（米），长方形的长为8-2.5=5.5（米）.7．15平方厘米．解：如右图，设折叠后重合部分的面积为x平方厘米，x=5．所以原三角形的面积为2×5+5=15平方厘米．∴阴影部分面积是：10x-40＋S△GEF由题意：S△GEF＋10=阴影部分面积，∴10x-40=10，x＝5（厘米）.。

苏科版九年级数学上册专题训练(共6套带答案)

苏科版九年级数学上册专题训练（共6套带答案）第1章一元二次方程专题训练(一) 一元二次方程的解法归纳一元二次方程的基本解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法四种，在解方程时，要依据方程的特点进行合理选择．►解法一缺少一次项或形如(ax＋b)2＝c(c≥0)的一元二次方程选直接开平方法求解 1．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( ) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x ＋1)2＝0 2．解下列方程： (1)t2－45＝0; (2)(x－3)2－49＝0；(3)(6x－1)2＝25; (4)12(3y－1)2－8＝0；(5)(x－3)2＝(5－2x)2.►解法二方程一边化为0后，另一边能分解因式的一元二次方程用因式分解法求解 3．一元二次方程x(x－2)＝2－x的解是( ) A．x＝－1 B．x＝0 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝2 4．一元二次方程x2－9＝3－x的解是( ) A．x＝3 B．x＝－4 C．x1＝3，x2＝－4 D．x1＝3，x2＝4 5．解下列方程： (1)x2＝x；(2)(x －1)(x＋2)＝2(x＋2)；(3)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；(4)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；(5)(x－2)(x－3)＝6.►解法三当二次项系数为1，且一次项系数为偶数或遇到较大系数时选配方法求解 6．解下列方程： (1)x2－24x＝9856；(2)x2－6x－9991＝0.7．有n个方程：x2＋2x－8＝0，x2＋2×2x－8×22＝0，…，x2＋2nx －8n2＝0. 小静同学解第一个方程x2＋2x－8＝0的步骤如下：①x2＋2x＝8；②x2＋2x＋1＝8＋1；③(x＋1)2＝9；④x＋1＝±3；⑤x ＝1±3；⑥x1＝4，x2＝－2. (1)小静的解法是从步骤________开始出现错误的． (2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0.(用含有n的式子表示方程的根)►解法四方程的系数没有特殊性，化为一般形式后用公式法求解8．用公式法解方程2x2＋4 3x＝2 2时，其中求得的b2－4ac的值是________． 9．解下列方程： (1)2x2－3x＋1＝0；(2)x(x＋2 2)＋1＝0；(3)3(x2＋1)－7x＝0；(4)4x2－3x－5＝x－2.►解法五运用换元法等数学思想方法解一元二次方程 10．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x －1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x－1＝1，解得x＝2；当y＝4时，x－1＝4，解得x＝5.所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.利用这种方法求得方程(2x＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0的解为( ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－2，x2＝3 C．x1＝－3，x2＝－1 D．x1＝－2，x2＝－1 11．若(a2＋b2)(a2＋b2－2)＝8，则a2＋b2的值为( ) A．4或－2 B．4 C．－2 D．－4 12．请阅读下面解方程(x2＋1)2－2(x2＋1)－3＝0的过程．解：设x2＋1＝y，则原方程可变形为y2－2y－3＝0. 解得y1＝3，y2＝－1. 当y＝3时，x2＋1＝3，∴x＝±2. 当y＝－1时，x2＋1＝－1，x2＝－2.此方程无实数解．∴原方程的解为x1＝2，x2＝－2. 我们将上述解方程的方法叫做换元法．请用换元法解方程： (xx－1)2－2(xx－1)－15＝0.详解详析 1．C 2．解：(1)t1＝3 5，t2＝－3 5. (2)x1＝10，x2＝－4. (3)x1＝1，x2＝－23. (4)移项，得12(3y－1)2＝8，(3y－1)2＝16，所以3y－1＝±4. 所以3y－1＝4或3y－1＝－4. 所以y1＝53，y2＝－1. (5)方程两边开平方，得x－3＝±(5－2x)，即x－3＝5－2x或x－3＝－(5－2x)，所以x1＝83，x2＝2. 3．D 4.C 5．解：(1)x1＝0，x2＝1.(2)x1＝3，x2＝－2. (3)原方程可变形为[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，即(2x－6)2－(5x－10)2＝0，∴(2x－6＋5x－10)(2x－6－5x＋10)＝0，即(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，∴x1＝167，x2＝43. (4)原方程可变形为(2x ＋1＋2)2＝0，即(2x＋3)2＝0，∴2x＋3＝0，∴x1＝x2＝－32. (5)整理，得x2－5x＝0，∴x(x－5)＝0，∴x＝0或x－5＝0，∴x1＝0，x2＝5. 6．(1)x1＝112，x2＝－88 (2)x1＝103，x2＝－97 7．解：(1)⑤ (2)x2＋2nx－8n2＝0， x2＋2nx＝8n2， x2＋2nx＋n2＝8n2＋n2， (x＋n)2＝9n2， x＋n＝±3n， x1＝2n，x2＝－4n. 8．64 [解析] 要求b2－4ac的值，需将原方程先转化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．原方程可化为2x2＋4 3x－2 2＝0，b2－4ac＝(4 3)2－4×2×(－2 2)＝64.故填64. 9．解：(1)∵b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1>0，∴x＝3±12×2＝3±14，即x1＝1，x2＝12. (2)原方程可化为x2＋2 2x＋1＝0. ∵a＝1，b＝2 2，c＝1，∴b2－4ac ＝(2 2)2－4×1×1＝4，∴x＝－2 2±42＝－2±1，∴x1＝－2＋1，x2＝－2－1. (3)化简，得3x2－7x＋3＝0，∴b2－4ac＝(－7)2－4×3×3＝13，∴x＝7±132×3＝7±136，∴x1＝7＋136，x2＝7－136. (4)化简，得4x2－4x－3＝0，∴b2－4ac＝(－4)2－4×4×(－3)＝64，∴x＝4±642×4＝1±22，∴x1＝32，x2＝－12. 10．D [解析] 设y＝2x＋5，则原方程可化为y2－4y＋3＝0，解得y1＝1，y2＝3.当y＝1时，2x＋5＝1时，解得x＝－2；当y＝3时，2x＋5＝3时，解得x＝－1.所以原方程的解为x1＝－2，x2＝－1.故选D. 11．B [解析] 设a2＋b2＝x，则原方程可化为x(x－2)＝8，解得x1＝4，x2＝－2. 因为a2＋b2的值为非负数，所以a2＋b2的值为4，故选B. 12．解：设xx－1＝a，则a2－2a－15＝0，解得a1＝3，a2＝5. 当a＝－3时，xx－1＝－3，解得x＝34. 经检验，x ＝34是该分式方程的解．当a＝5时，xx－1＝5，解得x＝54. 经检验，x＝54是该分式方程的解．∴原方程的解是x1＝34，x2＝54. 一元二次方程中的易错点剖析►易错点一用方程的定义求待定系数时忽视a≠0 1．[2017•凉山州一模] 已知关于x的方程(m－1)xm2＋1＋2x－3＝0是一元二次方程，则m的值为( ) A．1 B．－1 C．±1 D．不能确定 2．若方程(m－1)x2＋mx＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( ) A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数 3．若关于x的一元二次方程(a－2)x2－(a2－4)x＋8＝0不含一次项，则a＝________． 4．已知关于x的一元二次方程mx2－(3m－1)x＝1－2m，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．5．已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋6x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，求该一元二次方程的根．►易错点二用根的意义求待定系数时忽视a≠0 6．若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 7．若关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋x＋m2－2m－3＝0有一个根是0，则m的值是( ) A．3或－1 B．－3或1 C．－1 D．3 8．已知x＝1是方程(1－k)x2＋k2x －1＝0的根，求常数k的值．►易错点三讨论根的存在性时忽视a≠0及a中a≥0 9．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＜－2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1 10．若关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋3＝0有实数根，则整数a的最大值为( ) A．2 B．1 C．0 D．－1 11．已知关于x的一元二次方程x2－2k＋4x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 12．若关于y的一元二次方程(1－2m)y2＋2m＋1y－1＝0有实数根，则m的取值范围是____________．13．已知关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x＋14k＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k取最大整数时，求方程的根．14．已知关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根． (1)求a的最大整数值． (2)当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2－32x－7x2－8x＋11的值．►易错点四用方程解决问题时忽略解有意义的条件 15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两条直角边a，b的长分别为关于x的方程x2－(m＋1)x＋m＝0的两个实数根，求m的值．16．已知直角三角形的两边长x，y满足|x2－4|＋y2－5y＋6＝0，求第三边的长．详解详析 1．[易错点] 易忽视m－1≠0. B[解析] ∵关于x的方程(m－1)xm2＋1＋2x－3＝0是一元二次方程，∴m－1≠0且m2＋1＝2，即m≠1且m＝±1，∴m＝－1.故选B. 2．[易错点] 易忽视m－1≠0或m≥0. C[解析] 特别要注意二次项系数不等于0的条件，结合二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可求得．根据题意，得m－1≠0且m≥0，解得m≥0且m≠1. 3．[易错点] 易忽视二次项系数a－2不为0. －2 [解析] 由题意可知－(a2－4)＝0，解得a＝2或a＝－2，但当a＝2时，二次项的系数为0，方程就不是一元二次方程了，故a＝－2. 4．[易错点] 忽视m≠0，忘记对m的值进行取舍．解：由题意，知m≠0，b2－4ac＝[－(3m－1)]2－4m(2m－1)＝1，∴m1＝0(舍去)，m2＝2，∴原方程化为2x2－5x＋3＝0. 解得x1＝1，x2＝32. 5．[易错点] 忽视m－2≠0，忘记对m的值进行取舍．解：根据题意，得m－2≠0且m2－5m＋6＝0，解m2－5m＋6＝0，得m1＝2，m2＝3，∴m＝3，∴原方程化为x2＋6x＝0，∴x1＝0，x2＝－6. 6．[易错点] 忽视a－1≠0，忘记对a的值进行取舍． A [解析] 把x＝0代入方程，得|a|－1＝0，∴a＝±1.∵a－1≠0，∴a ＝－1. 7．[易错点] 忽视m＋1≠0，忘记对m的值进行取舍． D [解析] 因为关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋x＋m2－2m－3＝0有一个根是0，所以把x＝0代入，得m2－2m－3＝0，解得m＝3或－1.因为m＋1≠0，所以m≠－1，故m＝3. 8．易错点] 这个方程可以是一元一次方程，不必考虑1－k≠0. 解：把x＝1代入方程(1－k)x2＋k2x－1＝0，得1－k＋k2－1＝0，即－k＋k2＝0，解得k＝0或1. 9．[易错点] 忽视k－1≠0. D[解析] 根据题意，得b2－4ac＝4－4(k－1)＝8－4k＞0且k－1≠0，解得k＜2且k≠1.故选D. 10．[易错点] 忽视a－1≠0.C [解析] 根据题意，得4－12(a－1)≥0且a－1≠0，解得a≤43且a≠1，则整数a的最大值为0. 11．[易错点] 忽视2k＋4≥0. －2≤k＜2 [解析] 根据题意，得b2－4ac＝2k＋4－4k ＞0，则k＜2.而2k＋4≥0，所以k≥－2，所以－2≤k＜2. 12．[易错点] 忽视1－2m≠0，或忽视m＋1≥0. －1≤m≤2且m≠12[解析] 根据题意，得b2－4ac＝4(m＋1)＋4(1－2m)≥0，解得m≤2. 而1－2m≠0且m＋1≥0，所以m≠12且m≥－1. 故－1≤m≤2且m≠12. 13．[易错点] 易忽视k≠0. 解：(1)∵关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x＋14k＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0，[－（k－1）]2－4k•14k>0，解得k＜12且k≠0. (2)∵k＜12且k≠0，∴当k取最大整数时，k＝－1，此时原方程为－x2＋2x－14＝0，解得x1＝1＋32，x2＝1－32.14． [易错点] (1)求a的最大整数值时，忽视a－6≠0. (2)②求代数式的值时，可不解方程x2－8x＋9＝0，而是把它变形后整体代入，可避免因运算量大而导致出错．解：(1)根据题意，得64－4×(a－6)×9≥0且a－6≠0，解得a≤709且a≠6，∴a的最大整数值为7. (2)①当a＝7时，原方程变形为x2－8x＋9＝0. ∵b2－4ac＝64－4×9＝28>0，∴x＝8±282，∴x1＝4＋7，x2＝4－7. ②∵x2－8x＋9＝0，∴x2－8x＝－9，∴原式＝2x2－16x＋72 ＝2(x2－8x)＋72 ＝2×(－9)＋72 ＝－292. 15．[易错点] 解方程知x＝m是方程的一个根，它是直角三角形的边长，其值为正，对m的值应予以取舍．解：解方程x2－(m＋1)x＋m＝0，得x1＝m，x2＝1，即Rt△ABC 的两条直角边长分别为m，1. 又知斜边c＝5，由勾股定理，得m2＋1＝(5)2，解得m＝±2. 又因为m为直角边长，所以m＝2. 16． [易错点] 对x，y的身份不加讨论．解：∵|x2－4|≥0，y2－5y＋6≥0，|x2－4|＋y2－5y＋6＝0，∴x2－4＝0，y2－5y＋6＝0，∴x＝2或－2(舍去)，y＝2或3. ①当两直角边长均是2时，斜边长为22＋22＝2 2；②当2，3为直角边长时，斜边长为22＋32＝13；③当2为一直角边长，3为斜边长时，另一直角边长为32－22＝5. 综上所述，第三边的长为2 2或13或5.。

九年级数学上册1-4用一元二次方程解决问题专项练习一等积变形面积问题新版苏科版

第一章第4节用一元二次方程解决问题专项练习一一、等积变形、面积问题1：1．.用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场．设围成的矩形一边长为x米．(1)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米；(2)请问能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．2．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）当三级污水处理池的总造价为47200元时，求池长x．3．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q 从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，有一点到终点运动即停止，设运动时间为t秒.（1）t为何值时，△PBQ的面积为12cm2；（2）若PQ⊥DQ，求t的值.4．如图，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点出发沿边向点以的速度移动．当点到达点时，点停止移动．（）几秒钟后，．（）几秒钟后，．5．(1)一块长方形菜地的面积是150 m2，如果它的长减少5 m，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x m，则可列方程为___________________________________；(2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________.6．如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．．7．现有精装词典长、宽、厚尺寸如图（1）所示（单位：cm），若按图（2）的包书方式，将封面和封底各折进去3cm．试用含a、b、c的代数式分别表示词典封皮（包书纸）的长是cm，宽是___________cm；8.在如图（4）的矩形包书纸皮示意图中，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度．（1）若有一数学课本长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海宝用一张面积为1260 cm2的矩形纸包好了这本数学书，封皮展开后如图（4）所示．若设正方形的边长（即折叠的宽度）为x cm，则包书纸长为cm，宽为cm（用含x的代数式表示）．（2）请帮小海宝列好方程，求出第（1）题中小正方形的边长x cm．9．小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于40cm2，小张该怎么剪？（2）小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．”他的说法对吗？请说明理由．10．阅读下列内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为：n（n﹣3）．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程n（n﹣3）=20 ．整理得n2﹣3n﹣40=0；解得n=8或n=﹣5∵n为大于等于3的整数，∴n=﹣5不合题意，舍去．∴n=8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：（1）若一个多边形共有14条对角线，求这个多边形的边数；（2）A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为A同学说法正确吗？为什么？11．一块正方形的铁皮，在它的四角各截去边长为4㎝的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是400㎝3 ，求原铁皮的边长．12．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝4 cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1 cm/s的速度运动，另一动点Q从点A出发沿着AC方向以2 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t s.(1)当t 为何值时，△PCQ 的面积是△ABC 面积的？(2)△PCQ 的面积能否为△ABC 面积的？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．13．在一块长16m ，宽12m 的矩形荒地上建造一个花园，要求花轩占地面积为荒地面积的一半，下面分别是小强和小颖的设计方案．（1）你认为小强的结果对吗？请说明理由．（2）请你帮助小颖求出图中的x ．（3）你还有其他的设计方案吗？请在图（3）中画出一个与图（1）（2）有共同特点．．．．的设计草图，并加以说明．14．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米.（1）花圃的面积为____（用含的式子表示）；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）、（元）与修建面积之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元答案详解：1．（1）x为6或10时；（2）不能理由见解析.试题分析：（1）矩形一边长为x，周长为32，另一边为，面积为60，可列出一元二次方程，求出x值；（2）仿照第一问列出方程，根据根的情况作出判定能否围成面积为70的养鸡场.试题解析：（1）由题意得：x（16-x）=60，即x2-16x+60=0,解得：x1=6，x2=10,即当x为6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；(2)不能围成面积为70平方米的养鸡场，理由如下：由题意得：x（16-x）=70，即x2-16x+70=0,因为△=（-16）2-4×1×70=-24＜0，所以该方程无解.故不能围成面积为70平方米的养鸡场.2．14米．试题分析：本题的等量关系是池底的造价+外围墙的造价+中间隔墙的造价=47200元，由此可列方程求解．试题解析：根据题意，得2（x+×400）+2××300+200×80=47200，整理，得﹣39x+350=0，解得=25，=14，∵x=25＞16，∴x=25不合题意，舍去．∵x=14＜16，=＜16，∴x=14符合题意．所以，池长为14米．3．（1）t=2或6；（2）t=2或8试题分析：（1）表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于12cm2列式求值即可；（2）如果PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，得出△BPQ∽△CQD，即可得出对应边成比例，再设AP=t，QB=2t，得出方程，求出x即可．试题解析：解：（1）设t秒后△PBQ的面积等于12cm2．则AP=t，QB=2t，∴PB=6﹣t，∴×（8﹣t）•2t=12，解得x1=2，x2=6．答：2秒或6秒后△PBQ的面积等于12cm2；（2）设t秒后PQ⊥DQ时，则∠DQP为直角，∴△BPQ∽△CQD，∴，设AP=t，QB=2t，∴，∴，解得：x=2或8．当x=8时，P点到达B点、Q点到达C点，此时PQ⊥DQ．答：2秒或8秒后PQ⊥DQ．点拨：此题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质；解题的关键是根据三角形相似的性质列出方程．4. 试题分析：（1）设点P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（4-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为：×2x（4-x），令该式=3，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）利用PC=（4-x）cm，CQ=2xcm，由勾股定理定理可得解．试题解析：（）解：设这时间为，由题可知，即，由题，，，∴，令，则，解得或，即：或后，．（）解：，∴令，解得，（舍），即：秒后，．5．(1) x(x－5)＝150. (2) (x＋1)2－1＝24.试题分析：（1）根据“如果它的长减少5m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多5米，利用矩形的面积公式列出方程即可；（2）把缺口补回去，得到一个边长为x＋1，面积25的正方形，根据正方形面积公式，观察图形可得图形的面积等于两个正方形的面积的差，据此可以列出方程．试题解析：（1）长减少5m，菜地就变成正方形，∴原菜地的长为x米，则宽为（x-5）米，根据题意得：x（x-5）=150，故答案为：x（x-5）=150．（2）根据题意得：（x+1）2-1=24，故答案为：（x+1）2-1=24．点拨：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，找到等量关系．6．x2+65x﹣350=0．分析：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，根据其积为5400，即长×宽=5400，列方程进行化简即可．解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；所以(80+2x)(50+2x)=5400，即4x2+160x+4000+100x=5400，所以4x2+260x﹣1400=0．即x2+65x﹣350=0．点拨：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7．，8．①设折叠进去的宽度为则包书纸的长为宽是故答案为：②由题意，得：；解得：;∴x=2，答：小正方形的边长为2cm．分析：结合图形，列出代数式即可.①设折叠进去的宽度为列出代数式即可.②根据①所给的条件，用折叠进去的宽度表示出矩形的长与宽，然后根据矩形的面积列方程，求解即可. 详解：词典封皮（包书纸）的长是cm,宽是cm.故答案为：, .①设折叠进去的宽度为则包书纸的长为宽是故答案为：②由题意，得：；解得：;∴x=2，答：小正方形的边长为2cm．点拨：本题考查了列代数式，代数式的求值，一元二次方程的应用；解决此类问题的关键是读懂题意，找到题中所给的等量关系.9．（1）小张应将40cm的铁丝剪成8cm和24cm两段，并将每一段围成一个正方形；（2）他的说法对．试题分析：（1）设围成的两个正方形中其中一个边长为xcm，则另一个正方形的边长为cm，由此根据题意可列出方程，解此方程即可；（2）同（1）可得方程：，化为一般形式由“一元二次方程根的判别式”可知该方程无实数根，从而可得结论；试题分析：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（8﹣x）cm．∴x2+（8﹣x）2=40，即x2﹣8x+12=0．∴x1=2，x2=6．∴当时，；当时，；∴一个正方形的周长为8cm，另一个正方形的周长为24cm，∴小张应将40cm的铁丝剪成8cm和24cm两段，并将每一段围成一个正方形．（2）他的说法对．假定两个正方形的面积之和能等于30cm2．根据（1）中的方法，可得x2+（8﹣x）2=30．即x2﹣8x+17=0，∵△=82﹣4×17＜0，∴所列方程无解．∴两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．10．（1）多边形是七边形；（2）多边形的对角线不可能有10条．试题分析：(1)、根据题意得出关于n的一元二次方程，然后求出n的值，根据n为大于3的整数求出n 的值；(2)、根据一元二次方程求出n的值，然后根据n不是正整数，从而得出答案．试题解析：(1)、解：根据题意得：n（n﹣3）=14，整理得：n2﹣3n﹣28=0，解得：n=7或n=﹣4．∵n为大于等于3的整数，∴n=﹣4不合题意，舍去；∴n=7，即多边形是七边形．(2)、解：A同学说法是不正确的，理由如下：当n（n﹣3）=10时，整理得：n2﹣3n﹣20=0，解得：n=，∴符合方程n2﹣3n﹣20=0的正整数n不存在，∴多边形的对角线不可能有10条．11．18cm．试题分析：先设原正方形铁皮的边长为x，然后根据题意列出方程4（x-8）2=400，再解方程即可求解．试题解析：设原正方形铁皮的边长为xcm则由题意可得4（x-8）2=400解得x1=18，x2=-2（不合题意，舍去）．答：原正方形铁皮的边长为18cm．12．（1）当t＝2时，△PCQ的面积为△ABC面积的；（2）PCQ的面积不可能是△ABC面积的试题分析：（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为，的面积为，由题意列出方程解答即可；（2）由等量关系列方程求出的值，但方程无解．试题解析：（1），,解得（2）当时，∴此方程没有实数根，∴的面积不可能是面积的一半．13．（1）小强的结果不对，理由见解析；（2）5．5；（3）详见解析．试题分析：（1）小强的结果不对．设小路宽x米，由此得到内面的矩形的长、宽分别为（16-2x）、（12-2x），再根据矩形的面积公式即可列出方程求解；（2）从图中知道，四个扇形的半径为x，根据扇形的面积公式可以用x表示它们的面积，然后根据题意即可列出方程求解；（3）有其他的方案．答案比较多，例如可以以每边中点为圆心画半圆，然后根据题意计算它们的半径即可．试题解析：（1）小强的结果不对设小路宽米，则解得：∵荒地的宽为12cm，若小路宽为12m，不合实际，故（舍去）（2）依题意得：（3）第一个图，A、B、C、D为各边中点；第二个图圆心与矩形的中心重合，半径为m14．(1)（40-2a）（60-2a）；（2）通道的宽为5米；（3）通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．试题分析：（1）用a表示出花圃的长和宽，然后用矩形的面积公式计算出花圃的面积即可；（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出一元二次方程，解方程即可；（3）根据图象所给的信息，求出、与x之间的函数关系式，根据（1）中花圃的面积求得通道的面积，再由修建的通道和花圃的总造价为105920元，列出方程求解即可．试题解析：(1)由图可知，花圃的面积为（40-2a）（60-2a）；（2）由已知可列式：60×40-（40-2a）（60-2a）=×60×40，解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），答：所以通道的宽为5米；（3）当a=10时，花圃面积为（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米）即此时花圃面积最少为800（平方米）．根据图象可设y1=mx，y2=kx+b，将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有1200m=48000，解得：m=40∴y1=40x且有，解得：，∴y2=35x+20000．∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400，∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920解得a1=2，a2=48（舍去）．答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．点拨：本题是一元二次方程和一次函数的综合题，正确的解决这类题目的关键是准确的找出等量关系列出方程，再根据所给的函数图象求出对应的函数解析式，把函数问题转化为方程问题.。

中考数学必考题型归纳与演练-专题15图形的变换综合问题(原题版及解析版)【苏科版】

中考数学热点题型归纳与演练（苏科版）目录专题01数与式问题专题02一次方程（组）的解法与应用专题03 一元二次方程的解法与应用专题04 分式方程的含参问题与应用专题05 不等式（组）的解法与应用问题专题06 一次函数的图象性质问题专题07 一次函数的应用问题专题08 反比例函数及综合问题专题09 二次函数的图象及性质专题10 三角形的综合问题专题11 相似三角形及锐角三角函数问题专题12 四边形的几何综合问题专题13 圆的有关与计算问题专题14 圆的切线有关证明问题专题15 图形的变换综合问题专题16 统计概率的图表信息型问题专题17 数字及图形的规律型问题专题18 几何变式探究和类比变换综合类问题专题19 有关几何最值存在型压轴问题专题20 二次函数与特殊三角形存在型问题专题21 二次函数与特殊四边形存在型问题专题22 二次函数与相似结合及存在型问题专题23 二次函数与动点综合型问题专题24 二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题专题15图形的变换综合问题(原题版)【方法指导】1.图形的平移：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．2.图形的旋转：①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等；③对应点到旋转中心的距离相等．3.图形的轴对称：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.4.图形的中心对称：①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等. 【题型剖析】【类型1】翻折变换问题1．（2019秋•苏州期末）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B'，AB与CD相交于点F，若3AB=，1sin2CAB∠=，则DF的长度是()A．1B．2C3D．3【变式1-1】（2019秋•滨湖区期末）如图，等边三角形ABC的边长为5，D、E分别是边AB、AC上的点，将ADE∆沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处，若2BF=，则BD的长是()A．2B．3C．218D．247【变式1-2】（2019秋•赣榆区期末）如图，矩形ABCD中，6AB=，12BC=，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分BED∆的面积是()A．18B．22.5C．36D．45【变式1-3】（2018秋•崇川区校级期末）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，10AB=，5AD=，下列结论中正确的有()．①AFC∆是等腰三角形②ADF∆的面积是75 8③点B与点E关于AC对称④若直线AD与直线CE交于点G，那么直线FG垂直平分ACA．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【类型2】对称：最短路径问题【例2】（2019秋•金坛区期中）如图，已知45MON∠=︒，点A、B在边ON上，3OA=，点C是边OM上一个动点，若ABC∆周长的最小值是6，则AB的长是()A ．12B ．34C ．56D ．1【变式2-1】（2019秋•邳州市期中）如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在BC 上，6BD =，2CD =，点P 是AB 上的动点，则PC PD +的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10【变式2-2】（2019秋•江都区期中）如图，在等腰三角形ABC 中，13AB AC ==，10BC =，D 是BC 边上的中点，12AD =，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是( )A ．10B ．6013C ．12D ．12013【类型3】点的坐标对称问题【例3】（2019秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，点(2,5)-关于y 轴对称的点的坐标为( )A ．(2,5)B ．(2,5)--C ．(2，5- )D ．(2,5)-【变式3-1】（2019秋•金乡县期中）已知：点(1,3)A m -与点(2,1)B n -关于x 轴对称，则2019()m n +的值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．20193【变式3-2】（2019秋•海陵区校级期中）已知点(1,23)P a a +-关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是( )A ．32a >B ．1a >-C ．312a -<<D ．32a < 【类型4】三视图问题【例4】（2019•溧水区二模）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是( )A ．20B ．30C ．40D ．50【变式4-1】（2019•高邮市二模）我国古代数学家利用“牟合方盖“找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是( )【变式4-2】（2019•建湖县二模）一个圆锥的主视图是边长为6cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于( )A ．36 2cm πB ．224cm πC ．218cm πD ．12 2cm π【类型5】旋转的性质【例5】（2019•崇川区校级三模）如图，P 是半圆O 上一点，Q 是半径OA 延长线上一点，1AQ OA ==，以PQ 为斜边作等腰直角三角形PQR ，连接OR ．则线段OR 的最大值为( )A 322B ．3C 2D ．1【变式5-1】（2019•南京模拟）在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(2,1)，将点A 绕原点O 旋转180︒得到点A '，则点A '的坐标是( )A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(2,1)--D ．(2,1)-【变式5-2】（2019•海门市二模）两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，25AB =，17CD =．保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转(090)a α<<︒，如图2所示．当BD 与CD 在同一直线上（如图3)时，tan α的值等于( )A ．725B ．825C ．724D ．1725【类型6】有关旋转的综合问题【例6】（2019•洛阳二模）如图1，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，连接DE ，将ADE ∆绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD 、CE 所在直线相交所成的锐角为β．（1）问题发现当0α=︒时，CE BD = ；β= ︒．（2）拓展探究试判断：当0360α︒<︒时，CE BD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）在ADE ∆旋转过程中，当//DE AC 时，直接写出此时CBE ∆的面积．【变式6-1】（2019•常州二模）如图，将矩形ABCD 绕点D 旋转90︒得到矩形A B C D '''，其中点A 、B 、C 分别对应点A '、B '、C '，此时，点A '落在CD 边上，点C '在AD 延长线上．连接AC 、BD 相交于点O ，连接A C ''、B D '相交于点O '，连接OO '．（1）直接写出OO D '∠= ︒；（2）将△OO D '绕点O 旋转，使点D 与点A 重合，得OEA ∆，点O '对应点E ，连接O E '交AC 于点M ．求证：M 为AC '中点．【变式6-2】（2019•徐州一模）将一副直角三角尺按图1摆放，其中90C ∠=︒，90EDF ∠=︒，60B ∠=︒，45F ∠=︒，等腰直角三角尺的直角边DF 恰好垂直平分AB ，与AC 相交于点G ，43BC cm =．（1）求DG 的长；（2）如图2．将DEF ∆绕点D 按顺时针方向旋转，直角边DF 经过点C ，另一直角边DE 与AC 相交于点H ，分别过点H ，D 作AB ，BC 的垂线，垂足分别为点M ，N ．猜想HM 与CN 之间的数量关系，并证明；（3）如图3，在旋转的过程中，若DEF ∆两边DE ，DF 与ABC ∆两边AC ，BC 分别交于K 、T 两点，则KT 的最小值为．【达标检测】1．（2019•南通）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A ．球B ．圆锥C ．圆柱D ．棱柱2．（2019•徐州）下图均由正六边形与两条对角线所组成，其中不是轴对称图形的是（）3．（2019•常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：44．（2019•宿迁）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（）A．20πB．15πC．12πD．9π5．（2019•南京）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，△A'B'C'还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（）A．①④B．②③C．②④D．③④6．（2019•徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）7．（2019•镇江）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D 落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝_________．（结果保留根号）8．（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为．9．（2019•淮安）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B 落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝．10．（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．11．（2019•扬州）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB ＝16cm，则图中阴影部分的面积为cm2．三．解答题（共5小题）12．（2019•南通）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF 所在的直线对称，P是边DC上的一动点．（1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形；（2）当△PEF的周长最小时，求的值；（3）连接BP交EF于点M，当∠EMP＝45°时，求CP的长．13．（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FGC．14．（2019•常州）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．15．（2019•淮安）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．①∠BEP＝°；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是．（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．16．（2019•南京一模）已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∠MON＝30°．（1）如图1，∠MON的边MO⊥AB，边ON过点C，求AO的长；（2）如图2，将图1中的∠MON向右平移，∠MON的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，连接EF，若△OEF是直角三角形，求AO的长；（3）在（2）的条件下，∠MON与△ABC重叠部分面积是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．专题15图形的变换综合问题（解析版）【方法指导】1.图形的平移：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．2.图形的旋转：①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等；③对应点到旋转中心的距离相等．3.图形的轴对称：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.4.图形的中心对称：①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等. 【题型剖析】【类型1】翻折变换问题1．（2019秋•苏州期末）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B'，AB与CD相交于点F，若3AB=，1sin2CAB∠=，则DF的长度是()A．1B．2C3D．3【分析】根据1sin2CAB∠=可得30CAB∠=︒，根据翻折和矩形性质可得FAC∆是等腰三角形，30DAF∠=︒，再根据锐角三角函数即可求解．【解答】解：1 sin2CAB∠=30CAB∴∠=︒折叠可知：30FAC BAC ∠=∠=︒四边形ABCD 是矩形，//DC AB ∴，90D ∠=︒，3DC AB ==30FCA CAB ∴∠=∠=︒，FC FA ∴=，30DAF ∠=︒3FA FC DC FD FD ==-=-sin DF DAF AF ∴∠=132DF DF =- 解得1DF =．所以DF 的长为1．故选：A ．【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、解直角三角形，解决本题的关键是利用特殊角的三角函数．【变式1-1】（2019秋•滨湖区期末）如图，等边三角形ABC 的边长为5，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将ADE ∆沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若2BF =，则BD 的长是( )A ．2B ．3C ．218D ．247【分析】根据折叠得出60DFE A ∠=∠=︒，AD DF =，AE EF =，设BD x =，5AD DF x ==-，求出DFB FEC ∠=∠，证DBF FCE ∆∆∽，进而利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=︒，5AB BC AC ===，沿DE 折叠A 落在BC 边上的点F 上，ADE FDE ∴∆≅∆，60DFE A ∴∠=∠=︒，AD DF =，AE EF =，设BD x =，5AD DF x ==-，CE y =，5AE y =-，2BF=，5BC=，3CF∴=，60C∠=︒，60DFE∠=︒，120EFC FEC∴∠+∠=︒，120DFB EFC∠+∠=︒，DFB FEC∴∠=∠，C B∠=∠，DBF FCE∴∆∆∽，∴BD BF DF FC CE EF==，即2535x xy y-==-，解得：218x=，即218 BD=，故选：C．【变式1-2】（2019秋•赣榆区期末）如图，矩形ABCD中，6AB=，12BC=，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分BED∆的面积是()A．18B．22.5C．36D．45【分析】根据折叠的性质得到CBD EBD∠=∠，而CBD BDE∠=∠，则EBD EDB∠=∠，得BE ED=，然后设DE x=，则12AE x=-，在Rt ABE∆中，利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求出x，最后根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：将该矩形沿对角线BD折叠，CBD EBD∴∠=∠，而CBD BDE∠=∠，EBD EDB∴∠=∠，BE ED∴=，6AB=，12BC=设DE x =，则12AE x =-，在Rt ABE ∆中，222AB AE BE +=，即2226(12)x x +-=，解得：152x = 1115622.5222BED S DE AB ∆∴=⨯⨯=⨯⨯= 故选：B ．【变式1-3】（2018秋•崇川区校级期末）如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，10AB =，5AD =，下列结论中正确的有( )．①AFC ∆是等腰三角形②ADF ∆的面积是758③点B 与点E 关于AC 对称④若直线AD 与直线CE 交于点G ，那么直线FG 垂直平分ACA ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【分析】①根据折叠和矩形的性质即可证明AFC ∆是等腰三角形；②根据勾股定理可求得DF 的长进而得结论正确；③根据线段垂直平分线的判定可证得AC 是BE 的垂直平分线，得结论正确； ④根据三角形全等证明EG DG =，从而得GA GC =，又FA FC =，可得GF 是AC 的垂直平分线，得结论正确．【解答】解：如图所示：①四边形ABCD 为矩形//DC AB ∴，FCA CAB ∴∠=∠，由折叠可知：FAC CAB ∠=∠，FCA FAC ∴∠=∠，FA FC ∴=，AFC ∴∆是等腰三角形．∴①正确；②设DF x =，则10FC FA x ==-，5AD =，∴在Rt ADF ∆中，2225(10)x x +=-，解得154x =， 11157552248ADF S DF AD ∆∴==⨯⨯=． ADF ∴∆的面积为758． ∴②正确；③AB AE =，CB CE =，AC ∴是BE 的垂直平分线，∴点B 与点E 关于AC 对称．∴③正确；④如图：延长AD 和CE 交于点G ，连接GF ，FD FE=，FG FG=，Rt GDF Rt GEF(HL)∴∆≅∆，GD GE∴=，又AD CE=，GA GC∴=，FD FE=，FG∴是AC的垂直平分线，∴④正确．故选：D．【类型2】对称：最短路径问题【例2】（2019秋•金坛区期中）如图，已知45MON∠=︒，点A、B在边ON上，3OA=，点C是边OM上一个动点，若ABC∆周长的最小值是6，则AB的长是()A．12B．34C．56D．1【分析】作点A关于OM的对称点D，连接BD交OM于点C，此时ABC∆的周长最小，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图：作点A关于OM的对称点D，连接BD，交OM于点C，AC DC∴=，此时ABC∆周长最小，ABC∴∆周长为：AC BC AB DC BC AB BD AB++=++=+，6BD AB∴+=，45MON∠=︒，根据对称性：45DOC ∠=︒，3OD OA ==，90DOB ∴∠=︒，在Rt DOB ∆中，6BD AB =-，3OB AB =+，∴根据勾股定理，得222OB OD BD +=即222(3)3(6)AB AB ++=-1AB ∴=．故选：D ．【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是准确画图找到动点C ．【变式2-1】（2019秋•邳州市期中）如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在BC 上，6BD =，2CD =，点P 是AB 上的动点，则PC PD +的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】过点B 作D B BC '⊥，且6BD '=，连接CD '交AB 于点P ，由“SAS ”可证BPD BPD '∆≅∆，可得DP D P '=，可得PC PD +的最小值为D C '，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，过点B 作D B BC '⊥，使6BD '=，连接CD '交AB 于点P AC BC =，90ACB ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，且BD BC '⊥45D BP DBP '∴∠=∠=︒，且6BD BD '==，BP BP =()BPD BPD SAS '∴∆≅∆DP D P '∴=CP DP CP D P '∴+=+PC PD ∴+的最小值为D C '，6BD =，2CD =8BC ∴=，22228610D C BC D B '∴=+'=+PC PD ∴+的最小值为10故选：D ．【变式2-2】（2019秋•江都区期中）如图，在等腰三角形ABC 中，13AB AC ==，10BC =，D 是BC 边上的中点，12AD =，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是( )A ．10B ．6013C ．12D ．12013【分析】作BH AC ⊥，垂足为H ，交AD 于M '点，过M '点作M N AB ''⊥，垂足为N '，则BM M N '+''为所求的最小值，根据勾股定理求出AD ，再根据面积不变求出BH 即可．【解答】解：如图，作BH AC ⊥，垂足为H ，交AD 于M '点，过M '点作M N AB ''⊥，垂足为N '，则BM M N '+''为所求的最小值．AB AC =，D 是BC 边上的中点，AD ∴是BAC ∠的平分线，M H M N ∴'=''，BH ∴是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短）， 13AB AC ==，10BC =，D 是BC 边上的中点，AD BC ∴⊥，12AD =，1122ABC S AC BH BC AD ∆=⨯=⨯， 131012BH ∴⨯=⨯，解得：12013BH =，故选：D ．【类型3】点的坐标对称问题【例3】（2019秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，点(2,5)-关于y 轴对称的点的坐标为( )A ．(2,5)B ．(2,5)--C ．(2，5- )D ．(2,5)-【分析】平面直角坐标系中任意一点(,)P x y ，关于y 轴的对称点的坐标是(,)x y -，即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．【解答】解：关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数． ∴点(2,5)-关于y 轴对称的点的坐标是(2,5)--．故选：B ．【点评】此题主要考查了关于y 轴对称点的性质，正确记忆平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系是解题关键．【变式3-1】（2019秋•金乡县期中）已知：点(1,3)A m -与点(2,1)B n -关于x 轴对称，则2019()m n +的值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．20193【分析】根据关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m 、n 的值，进而可得答案．【解答】解：点(1,3)A m -与点(2,1)B n -关于x 轴对称，12m ∴-=，13n -=-，3m ∴=，2n =-，2019()1m n +=，故选：B ．【变式3-2】（2019秋•海陵区校级期中）已知点(1,23)P a a +-关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是( )A ．32a >B ．1a >-C ．312a -<<D ．32a <【分析】根据题意确定点P在四象限，再利用第四象限内点的坐标符号可得a的取值范围．【解答】解：点(1,23)P a a+-关于x轴的对称点在第一象限，∴点P在四象限，∴10 230aa+>⎧⎨-<⎩，解得：312a-<<，故选：C．【类型4】三视图问题【例4】（2019•溧水区二模）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是()A．20B．30C．40D．50【分析】由所给的视图判断出长方体的长、宽、高，让它们相乘即可得到体积．【解答】解：由主视图可知，这个长方体的长和高分别为5和4，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为5和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为5、2、4，因此这个长方体的体积为42540⨯⨯=立方单位．故选：C．【点评】三视图问题一直是中考考查的高频考点，一般题目难度中等偏下，本题是由两种视图来推测整个正方体的特征，这种类型问题在中考试卷中经常出现，本题所用的知识是：主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽．【变式4-1】（2019•高邮市二模）我国古代数学家利用“牟合方盖“找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是()【分析】根据左视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出左视图为2个正方形以及一个圆的组合体，进而得出答案即可．【解答】解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱左视图是正方形，得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为1列，上边一个正方形，下边是正方形与圆的组合体．故选：A ．【变式4-2】（2019•建湖县二模）一个圆锥的主视图是边长为6cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于( )A ．36 2cm πB ．224cm πC ．218cm πD ．12 2cm π【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为6cm ，底面圆的半径为3cm ，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为6cm ，底面圆的半径为3cm ，所以这个圆锥的侧面积2162318()2cm ππ=⨯⨯⨯=．故选：C ．【类型5】旋转的性质【例5】（2019•崇川区校级三模）如图，P 是半圆O 上一点，Q 是半径OA 延长线上一点，1AQ OA ==，以PQ 为斜边作等腰直角三角形PQR ，连接OR ．则线段OR 的最大值为( )A 322B ．3C 2D ．1【分析】将RQO ∆绕点R 顺时针旋转90︒，可得RPE ∆，可得ER RO =，90ERO ∠=︒，2PE OQ ==，由直角三角形的性质可得2EO RO =，由三角形三边关系可得3EO PO EP +=，即可求解．【解答】解：将RQO ∆绕点R 顺时针旋转90︒，可得RPE ∆，ER RO ∴=，90ERO ∠=︒，2PE OQ ==2EO RO ∴=，3EO PO EP +=∴23ROOR ∴的最大值32=故选：A ．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．【变式5-1】（2019•南京模拟）在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(2,1)，将点A 绕原点O 旋转180︒得到点A '，则点A '的坐标是( )A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(2,1)--D ．(2,1)-【分析】根据中心旋转的性质解决问题即可．【解答】解：由题意点A 与点A '关于原点对称，(2,1)A ，(2,1)A ∴'--，故选：C ．【点评】本题考查坐标与图形的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式5-2】（2019•海门市二模）两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，25AB =，17CD =．保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转(090)a α<<︒，如图2所示．当BD 与CD 在同一直线上（如图3)时，tan α的值等于( )A ．725B ．825C ．724D ．1725【分析】如图2中，延长BD 交OA 于G ，交AC 于E ，只要证明AOC BOD ∆≅∆即可解决问题．如图3中，设AC x =，在RT ABC ∆中，利用勾股定理求出x ，再根据三角函数的定义即可解决问题．【解答】解：如图2中，延长BD 交OA 于G ，交AC 于E ．90AOB COD ∠=∠=︒，AOC DOB ∴∠=∠，在AOC ∆和BOD ∆中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOC BOD SAS ∴∆≅∆，AC BD ∴=，CAO DBO ∠=∠，90DBO OGB ∠+∠=︒，OGB AGE ∠=∠，90CAO AGE ∴∠+∠=︒，90AEG ∴∠=︒，BD AC ∴⊥，如图3中，设AC x =， BD 、CD 在同一直线上，BD AC ⊥，ABC ∴∆是直角三角形，222AC BC AB ∴+=，222(17)25x x ∴++=，解得7x =， 2224BC AB AC ∴=-=，45ODC DBO α∠=∠+∠=︒，45ABC DBO ∠+∠=︒，ABC α∴∠=∠，7tan tan 24AC ABC BC α∴=∠==．故选：C ．【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．【类型6】有关旋转的综合问题【例6】（2019•洛阳二模）如图1，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，连接DE ，将ADE ∆绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD 、CE 所在直线相交所成的锐角为β．（1）问题发现当0α=︒时，CE BD = ；β= ︒．（2）拓展探究试判断：当0360α︒<︒时，CE BD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）在ADE ∆旋转过程中，当//DE AC 时，直接写出此时CBE ∆的面积．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断．（2）结论：CE BD和β的大小无变化．如图2中，延长CE 交AB 于点O ，交BD 于K ．证明DAB EAC ∆∆∽，即可解决问题．（3）分两种情形：①当点E 在线段AB 上时，②当点E 在线段BA 的延长线上时，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，90B ∠=︒，BA BC =，45A ∴∠=︒，2AC AB =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， 12BD AB ∴=，12EC AC =， ∴2EC DB=，45β=︒，故答案为2，45︒．（2）结论：CE BD和β的大小无变化．理由：如图2中，延长CE 交AB 于点O ，交BD 于K ．2AE =，2AC =， ∴2AE AC AD AB == ∴AE AD AC AB=， DAE BAC ∠=∠，DAB EAC ∴∠=∠，DAB EAC ∴∆∆∽，∴2EC AC BD AB=OBK OCA ∠=∠， BOK COA ∠=∠，45BKO CAO ∠=∠=︒，∴CE BD和β的大小无变化．（3）当点E 在线段AB 上时，14(422)8422BCE S ∆=⨯⨯-=-，当点E 在线段BA 的延长线上时，14(422)8422BCE S ∆=⨯⨯+=+．综上所述，BCE ∆的面积为842-或842+．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．【变式6-1】（2019•常州二模）如图，将矩形ABCD 绕点D 旋转90︒得到矩形A B C D '''，其中点A 、B 、C 分别对应点A '、B '、C '，此时，点A '落在CD 边上，点C '在AD 延长线上．连接AC 、BD 相交于点O ，连接A C ''、B D '相交于点O '，连接OO '．（1）直接写出OO D '∠= ︒；（2）将△OO D '绕点O 旋转，使点D 与点A 重合，得OEA ∆，点O '对应点E ，连接O E '交AC 于点M ．求证：M 为AC '中点．【分析】（1）根据旋转的性质即可得到结论；（2）根据旋转的性质得到AE O D '=，由矩形性质得O C O D '''=，于是得到AE O C ''=，由旋转可知O ∠ D 90O OAE '=∠=︒．由矩形性质O C D O D '''∠=∠ 90C ODA '=︒-∠，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）将矩形ABCD 绕点D 旋转90︒得到矩形A B C D '''，90ODO ∴∠'=︒，DO DO ='，ODO ∴∆'是等腰直角三角形，45OO D ∴∠'=︒，故答案为：45；（2）由旋转得AE O D '=，由矩形性质得O C O D '''=，AE O C ''∴=，由旋转可知O ∠ D 90O OAE '=∠=︒．由矩形性质O C D O D '''∠=∠ 90C ODA '=︒-∠，90MAE OAD ∠=︒-∠，又ODA OAD ∠=∠，O C D MAE ''∴∠=∠，O MC EMA ''∠=∠，AEM ∴∆≅△()C O M AAS ''，AM MC ∴=．即M 是AC 中点．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式6-2】（2019•徐州一模）将一副直角三角尺按图1摆放，其中90C ∠=︒，90EDF ∠=︒，60B ∠=︒，45F ∠=︒，等腰直角三角尺的直角边DF 恰好垂直平分AB ，与AC 相交于点G ，43BC cm =．（1）求DG 的长；（2）如图2．将DEF ∆绕点D 按顺时针方向旋转，直角边DF 经过点C ，另一直角边DE 与AC 相交于点H ，分别过点H ，D 作AB ，BC 的垂线，垂足分别为点M ，N ．猜想HM 与CN 之间的数量关系，并证明；（3）如图3，在旋转的过程中，若DEF ∆两边DE ，DF 与ABC ∆两边AC ，BC 分别交于K 、T 两点，则KT 的最小值为．【分析】（1）解直角三角形求出AB ，再在Rt ADG ∆中，根据tan30DG AD =︒计算即可解决问题．（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）证明K ，D ，T ，C 四点共圆，推出KT 是该圆的直径，易知当CD 是该圆的直径时，KT 的长最短．【解答】解：（1）如图1中，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，43BC =30CAB ∠=︒283AB BC ∴==DF 垂直平分线段AB ， 43AD DB ∴==，在Rt ADG ∆中，3tan30434DG AD =︒=⨯=．（2）结论：3CN HM =．理由：如图2中，90ACB ∠=︒，AD DB =，CD DA DB ∴==，60B ∠=︒，BDC ∴∆是等边三角形，60DCB CDB ∴∠=∠=︒，90ACB CDH ∠=∠=︒，30MDH HCD ∴∠=∠=︒，3CD DH ∴=，60DHM DCN ∠=∠=︒，90DMH DNC ∠=∠=︒，DMH DNC ∴∆∆∽，∴3NC CD HM DH==， 3CN HM ∴=．（3）如图3中，连接CD ．90KCT KDT ∠=∠=︒，180KCT KDT ∴∠+∠=︒，K ∴，D ，T ，C 四点共圆，KT ∴是该圆的直径，KT CD ，∴当KT CD =时，KT 的长最短，此时1432KT CD AB ===．【达标检测】1．（2019•南通）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A ．球B ．圆锥C ．圆柱D ．棱柱【解析】解：由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱．故选：C ．2．（2019•徐州）下图均由正六边形与两条对角线所组成，其中不是轴对称图形的是（）【解析】解：D 不是轴对称图形，故选：D ．3．（2019•常州）若△ABC ～△A ′B 'C ′，相似比为1：2，则△ABC 与△A 'B ′C '的周长的比为（） A ．2：1 B ．1：2 C ．4：1 D ．1：4【解析】解：∵△ABC ～△A ′B 'C ′，相似比为1：2，∴△ABC 与△A 'B ′C '的周长的比为1：2．故选：B ．4．（2019•宿迁）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（）A．20πB．15πC．12πD．9π【解析】解：由勾股定理可得：底面圆的半径，则底面周长＝6π，底面半径＝3，由图得，母线长＝5，侧面面积6π×5＝15π．故选：B．5．（2019•南京）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，△A'B'C'还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（）A．①④B．②③C．②④D．③④【解析】解：先将△ABC绕着B'B的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着点B'旋转180°，即可得到△A'B'C'；先将△ABC沿着B'C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B'C'的垂直平分线翻折，即可得到△A'B'C'；故选：D．6．（2019•徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）【解析】解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴EC＝AD＝62，。

九年级数学上册1-4用一元二次方程解决问题专项练习三等积变形面积问题新版苏科版

九年级数学上册1-4用一元二次方程解决问题专项练习三等积变形面积问题新版苏科版三、等积变形、面积问题3：1．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？2．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米﹒（1）用含a的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2-ax+25a-150有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？3．学校课外生物小组的试验园地是长32m、宽20m的矩形，为便于管理，现要在试验园地开辟水平宽度均为xm的小道（图中阴影部分）.（1）如图1，在试验园地开辟一条水平宽度相等的小道，则剩余部分面积为m2（用含x的代数式表示）；（2）如图2，在试验园地开辟水平宽度相等的三条小道，其中有两条道路相互平行.若使剩余部分面积为570m2，试求小道的水平宽度x.4．如图，要设计一副宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度都相同，如果使剩余面积为原矩形图案面积的，应如何设计每个彩条的宽度？315．如图，某课外活动小组借助直角墙角（两边足够长）用篱笆围成矩形花园ABCD，篱笆只围AB、BC两边．已知篱笆长为40m，篱笆围成的矩形ABCD的面积为300m2．求边AB的长．6．某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成如图所示设BC为．用含x的代数式表示AB的长；如果墙长15m，满足条件的花园面积能达到吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．7．如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成.（1）要使所围矩形猪舍的面积达到50m2，求猪舍的长和宽.（2）农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到60m2，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门就行”，如图2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽？8．如图，某校要在长为，宽为的长方形操场上修筑宽度相同的道路（图中阴影部分），在余下的空白部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽.32m20m2540m 9．如图所示，在宽为20米，长为32米的矩形空地上修的两条互相垂直的水泥路，余下部分作为草地．现要使草地的面积为540平方米，求水泥路的宽应为多少米？10．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，点P从点A开始沿AC向点C 以2厘米/秒的速度运动；与此同时，点Q从点C开始沿CB边向点B以1厘米/秒的速度运动；如果P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）经过几秒，△CPQ的面积等于3cm2？（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝2 cm，点P以2 cm/s的速度从顶点A 出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以1 cm/s的速度从顶点C出发向点D 运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．(1)问两动点运动几秒后，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的；(2)问是否存在某一时刻使得点P与点Q之间的距离为cm.若存在，请求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．12．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：（1）在第n个图中，第一横行共块瓷砖，第一竖列共有块瓷砖；（均用含n的代数式表示）铺设地面所用瓷砖的总块数为（用含n的代数式表示，n表示第n个图形）（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；（3）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（2）中，共需要花多少钱购买瓷砖？（4）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．答案详解：1．羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=202．(1)4a2-320a+6000；(2) 通道的宽为5米；(3) 318000元．分析：(1)、用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用矩形面积公式列出式子即可；(2)、根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；(3)、根据方程有两个相等的实数根求得a的值，然后分别求得花圃和甬道的面积及造价即可．详解：(1)、由图可知，花圃的面积为（100-2a）（60-2a）=4a2-320a+6000；(2)、由已知可列式：100×60-（100-2a）（60-2a）=×100×60，解得：a1=5，a2=75（舍去），所以通道的宽为5米；(3)、∵方程x2-ax+25 a-150=0有两个相等的实根，∴△=a2-25a+150=0，解得：a1=10，a2=15，∵5≤a≤12，∴a=10．设修建的花圃的造价为y元，y=55.625S；当a=10时，S花圃=80×40=3200（m2）；y花圃=3200×55.625=178000（元），S通道=100×60-80×40=2800（m2）；y通道=2800×50=140000（元），造价和：178000+140000=318000（元）．点拨：本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽，属于中档题，难度不算大．3．（1）20（32-x）；（2）小道宽为1米.试题分析：（1）利用平行四边形面积求法直接平移阴影部分得出剩余面积即可；（2）利用平行四边形的面积求法，平移道路进而得出方程求出即可．试题解析：（1）由题意可得，剩余部分面积为：20（32-x）m2；（2）依题意，得640-40x-32x+2x2=570解得x1=1，x2=35（不合舍去）答：小道宽为1米．点拨：此题主要考查了一元二次方程的应用，利用平行四边形面积公式得出等式方程是解题关键．4．应设计彩条宽为5cm试题分析：设每个彩条的宽度为xcm，根据题意，得解得：x1=5，x2=30（二倍大于30，舍去），应设计彩条宽为5cm，5．10m或30m．试题分析：根据矩形的面积列出方程，求解.试题解析：设边AB的长为xm．根据题意，得x（40﹣x）=300，解得x1=10，x2=30．答：边AB的长为10m．或者30m．6．（1）；（2）不能，理由见解析试题分析：（1）利用长方形的周长即可解答；（2）利用长方形的面积列方程解答即可.试题解析：（1）；（2）不能，理由是：根据题意列方程的，x（40-2x）=200，解得x1=x2=10；40-2x=20（米），而墙长15m，不合实际，因此如果墙长15m，满足条件的花园面积不能达到200m2.点拨：此题考查一元二次方程及二次函数求最大值问题，属于综合类题目，灵活利用长方形的周长和面积公式是关键．7．（1）所围猪舍的长是10m，宽是5m；（2）所围猪舍的长是10m，宽是6m.试题分析：（1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x）m，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可；（2）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（25+1-2x）m，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可.试题解析：（1）设与住房墙垂直的一边长为m，则与住房墙平行的一边长为()m x252x-根据题意，列方程得：x ()=50，252x-解得：，，12.5x=210x=当=2.5时，与住房墙平行的一边长=20＞12，x252x-不符合题意，舍掉，12.5x=当=10时，与住房墙平行的一边长=5＜12.5分，x252x-答：所围猪舍的长是10m，宽是5m；(2) 设与住房墙垂直的一边长为m，则与住房墙平行的一边长为()m x2512x+-根据题意，列方程得：x ()=60，2512x+-解得：，，13x=210x=当=3时，与住房墙平行的一边长=20＞12，x2512x+-不符合题意，舍掉，13x=当=10时，与住房墙平行的一边长=6＜12，x2512x+-答：所围猪舍的长是10m，宽是6m.点拨：本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．8．2米试题分析：可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．试题解析：解法一：原图经过平移转化为图1.设道路宽为米.x根据题意，得. ()()2032540x x--=整理得.2521000x x-+=解得（不合题意，舍去），.150x=22x=答：道路宽为2米.解法二：原图经过平移转化为图2.设道路宽为米.x根据题意，，()220322032540x x⨯-++=整理得.2521000x x-+=解得（不合题意，舍去），.150x=22x=答：道路宽为2米.9．2m试题分析：把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32﹣x）和（20﹣x），根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．解：设水泥路的宽为x m，则可列方程为：（32﹣x）（20﹣x）=540解得：x=2或x=50（不合题意，舍去），答：水泥路的宽为2m．10．（1）x1=1，x2=3；（2）方程无实数根，即不存在满足条件的t．试题分析：（1）设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；（2）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2﹣4ac来判断．（1）解：设经过x秒，△CPQ的面积等于3cm2．则x（8﹣2x）=3，化简得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；（2）解：设存在某一时刻t，使PQ恰好平分△ABC的面积．则t（8﹣2t）=××6×8，化简得t2﹣4t+12=0，b2﹣4ac=16﹣48=﹣32＜0，故方程无实数根，即不存在满足条件的t．11．(1)两动点运动s后，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的；(2)存在．当运动s或s时，点P与点Q之间的距离为cm.分析：（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的49，此时点P应在AB上，才是四边形；根据路程=速度×时间，分别用t表示BP、CQ的长，再根据梯形的面积公式列方程；（2）根据勾股定理列方程即可，注意分：0＜t≤3、3＜t≤4，两种情况讨论.详解：(1)设两动点运动x s后，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的.根据题意，得BP＝(6－2x)cm，CQ＝x cm，矩形ABCD的面积是12 cm2，则有 (x＋6－2x)×2＝12×，解得x＝.即两动点运动s后，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的.(2)存在．设两动点经过t s使得点P与点Q之间的距离为cm.①当0＜t≤3时，则有(6－2t－t)2＋4＝5，整理，得9t2－36t＋35＝0，解得t＝或；②当3＜t≤4时，则有(8－2t)2＋t2＝5，整理，得5t2－32t＋59＝0，此时Δ＝322－4×5×59＝－156＜0，此方程无解．综上所述，当运动s或s时，点P与点Q之间的距离为cm.点拨：本题考查了一元二次方程的应用---几何问题．仔细审题，找出题目中的等量关系列出方程是解答本题的关键.在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.12．（1）（n+3），（n+2），（n+2）（n+3）；（2）n=20；（3）共花1604元钱购买瓷砖；（4）不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．试题分析：（1）第一个图形用的正方形的个数=3×4=12，第二个图形用的正方形的个数=4×5=20，第三个图形用的正方形的个数=5×6=30…以此类推，根据发现的规律可得在第n个图中，第一横行共（n+3）块瓷砖，第一竖列共有(n+2) 块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为（n+2）（n+3）个；（2）根据（1）中的结果可得（n+2）(n+3)=506，解方程即可得；（3）根据（2）得出的结果，求出白瓷砖和黑瓷砖各有多少块，分别乘上它们的单价再相加即可；（4）先假设黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形，根据黑、白瓷砖数量相等，看是否得到n的整数解即可．试题解析：（1）第一个图形用的正方形的个数=3×4=12，第二个图形用的正方形的个数=4×5=20，第三个图形用的正方形的个数=5×6=30…以此类推，在第n个图中，第一横行共（n+3）块瓷砖，第一竖列共有(n+2) 块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为（n+2）（n+3）个，故答案为：（n+3），（n+2），（n+2）（n+3）；（2）根据题意得：（n+2）（n+3）=506，解得n1=20，n2=﹣25（不符合题意，舍去）；（3）观察图形可知，每﹣横行有白砖（n+1）块，每﹣竖列有白砖n块，因而白砖总数是n（n+1）块，n=20时，白砖为20×21=420（块），黑砖数为506﹣420=86（块），故总钱数为420×3+86×4=1260+344=1604（元），答：共花1604元钱购买瓷砖；（4）根据题意得：n（n+1）=2（2n+3），解得n=（不符合题意，舍去），32∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．。

不规则图形面积的求法(江苏省涟水县涟西中学陈永 (223421))

不规则图形面积的求法江苏省涟水县涟西中学王刚求不规则图形的面积是初中数学的难点之一,也是中考常见题型。

求解这类问题的关键是将不规则图形转化为可求解的规则图形的组合。

如何转化呢?本文通过例题介绍十一种方法,供参考. 一、割补法例1.（济宁市）如图1，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，，则阴影部分的面积是（）A.1π-B. 2π-C. 112π-D. 122π- 析解:连接CD,则CD AB ⊥,所以CD BD =,所以以CD,BD 为弦的两个弓形全等,将以CD 为弦的弓形割补到以BD 为弦的弓形的位置,可得1ACD CAB S S S π∆=-=-阴影扇形.故选A二、补形法例2.(南充市)如图2，PA 切圆O 于A ，OP 交圆O 于B ，且PB=1，S=____________．析解:将图中阴影部分补上扇形OAB,得Rt PAO ∆由勾股定理可得1OA OB cm ==,解Rt PAO ∆可得60AOP ∠=︒,所以2160112360Rt PAO OABS S S π∆⨯=-=⨯阴影扇形6π= 三、拼合法例3.(辽宁省)如图3，扇形OAB 的圆心角为90 ，四边形OCDE 是边长为1的正方形，点C E D ，，分别在OA OB ，，AB 上，过点A 作AF ED ⊥交ED 的延长线于点F ，那么图中阴影部分的面积为．析解:连接OD,由图可知扇形OAD 与扇形OBD 全等，所以两个阴影部分可拼合成矩形ACDF,在矩形ACDF 中,1CA OA OC OD OC =-=-=,1CD =,所以1ACDF S S CA CD == 阴影矩形四、平移法例4:(张掖市)如图4是两个半圆，点O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦关与小半圆相切，且24AB =．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．析解:设大圆与小圆的半径分别为R r ，平移小半圆使它的圆心与大半圆的圆心O 重合（如图5）．作OH AB ⊥于H ，则O H r =，12AH BH ==． 22212R r ∴-=，221π()72π2S S R r ∴==-=阴影半圆环．五、旋转法例5:( 徐州市)如图6，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，OA ＝3，OC ＝1，分别连结AC 、BD ，则图中阴影部分的面积为（）A. 12π B. π C. 2π D. 4π析解:因为90AOC COB DOB COB ∠+∠=∠+∠=︒,所以A O C D O ∠=∠,又,,AO BO CO DO ==所以DOB COA ∆≅∆,把DOB ∆绕点O 旋转到与COA ∆重合位置,可知阴影部分面积等于扇形OAB 与扇形OCD的面积差,所以2211244S S S OA OC πππ=-=⨯⨯-⨯⨯=阴影扇形OAC 扇形OCD ,故选C六、翻折法例6:(广西省玉林市)如图7，有反比例函数1y x=，1y x =-的图象和一个圆，则S =阴影．析解:图中的圆和双曲线都以y 轴为对称轴(也关于x 轴对称),故可用对称性将y 轴右侧的两个阴影部分翻折到y 轴左侧,同原来y 轴左侧的两个阴影部分组合成一个半圆.所以21222S ππ=⨯⨯=阴影七、等积变换法例7:(青海省中考)如图8,AD 是O 的直径,A,B,C,D,E,F 顺次六等分O ,已知O 的半径为1,P 为直径AD 上任一点,则图中阴影部分的面积为________.析解:连接OE,OF,EF,则OEF ∆为等边三角形,图6图7所以60FEO EOF EOD ∠=∠=∠=︒,所以EF DA ,所以S ∆PEF 可被等积移位成O S ∆EF （同底等高），因此直径左侧的阴影面积等于扇形OEF 的面积,再由对称性知:26012213603S S ππ==⨯⨯⨯=阴影扇形OEF 八、整体求解法例8:(广东韶关市)如右图9，A ，B ，C ，D 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD ，则图中四个扇形（阴影部分）的面积之和等于_____．（结果保留π）析解:如果想将图中四个扇形的面积分别求出,显然是不可能的,因此应考虑将四个扇形的面积整体求解,因为四边形的内角和为360︒,从而可知所求阴影部分的面积可以组成一个圆的面积, 所以21S ππ=⨯=四个扇形九、特殊化法例9:如图10,己知四边形ABCD 的面积是a,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点,那么图中阴影部分的总面积为________.析解:将四边形ABCD(见图11),则122S S a ==阴影四边形ABCD 十、整体和差法例10:（山西临汾中考）如图12，网格中每个小正方形的边长均为1．在AB 的左侧，分别以等腰直角三角形ABC 的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分,求图中阴影部分的面积.析解:设以AC BC AB ，，为直径的半圆面积分别为123S S S ，，．在等腰直角三角形ABC 中，8AB = ，由勾股定理，可得AC BC ==．S∴阴影123ABC S S S S =++-△2211114222222=++⨯-π⨯16=．AB C十一、方程法例11:如图 13所示，正方形边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆．求所围成图形（阴影部分）的面积。

初三数学上册综合算式专项练习题平面几何平面形的表面积计算

初三数学上册综合算式专项练习题平面几何平面形的表面积计算初三数学上册综合算式专项练习题：平面几何平面形的表面积计算在初三数学上册中，平面几何是一个重要的章节，而计算平面形的表面积也是其中一个关键的知识点。

本文将为大家介绍综合算式专项练习题，帮助大家更好地理解和掌握平面形的表面积计算方法。

一、正方形正方形是最基本的平面形之一，它的四条边相等且四个角都是直角。

我们知道，正方形的边长为a，则正方形的面积可以通过公式S=a^2来计算。

例如，如果一个正方形的边长为5cm，则它的面积为25平方厘米。

二、长方形长方形是另一个常见的平面形，它有两对相等的边，且四个角都是直角。

如果长方形的长为a，宽为b，则长方形的面积可以通过公式S=a*b来计算。

比如，如果一个长方形的长为6cm，宽为4cm，则它的面积为24平方厘米。

三、三角形三角形是由三条边和三个角组成的平面形，根据三角形的不同类型，面积的计算方法也有所不同。

1. 等边三角形等边三角形的三条边相等，三个角也都相等。

如果一个等边三角形的边长为a，则它的面积可以通过公式S=(√3/4)*a^2来计算。

2. 直角三角形直角三角形有一个直角和两条边成直角。

如果直角三角形的直角边长为a，另一条边长为b，则它的面积可以通过公式S=(1/2)*a*b来计算。

3. 一般三角形一般三角形是指既不是等边三角形也不是直角三角形的三角形。

对于一般三角形，我们可以应用海伦公式，即S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))来计算其面积，其中p为半周长，a、b、c分别为三角形的三边长。

四、圆圆是一个特殊的平面形，它由一个圆心和一条半径组成。

对于圆，我们通常计算的是它的面积而不是表面积。

圆的面积可以通过公式S=π*r^2来计算，其中π取近似值3.14，r为圆的半径。

五、梯形梯形是由两边平行的四边形，它有两个底边和两个高。

如果梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，则梯形的面积可以通过公式S=(a+b)*h/2来计算。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专题训练(五) 求不规则图形面积的五种方法►方法一用覆盖法求图形的面积1．如图5－ZT－1，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点．若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为( )A．8 B．4C．4π＋4 D．4π－4图5－ZT－1 图5－ZT－22．如图5－ZT－2，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为________(参考数据：π≈3.14)．3．如图5－ZT－3所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积是________．图5－ZT－3►方法二用旋转求图形的面积4．当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷．如图5－ZT－4是某汽车的一个雨刷的转动示意图，雨刷杆AB与雨刷CD在B处固定连接(不能转动)，当杆AB绕点A转动90°时，雨刷CD扫过的面积是图中阴影部分的面积，现量得CD＝80 cm，∠DBA＝20°，AC＝115 cm，DA＝35 cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．图5－ZT－45．如图5－ZT －5，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上的点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG.(1)求证：EF∥CG；(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．图5－ZT －5► 方法三用平移求图形的面积 6．如图5－ZT －6是两个半圆，点O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，AB ＝24，求图中阴影部分的面积．图5－ZT －6► 方法四用等积变形求图形的面积7．如图5－ZT －7，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，CD ＝2 3，则图中阴影部分的面积为( )图5－ZT －7 A ．4π B ．2π C ．π D .2π38．如图5－ZT －8，点A ，B ，C ，D 均在圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC，∠BAD ＝120°，四边形ABCD 的周长为15.(1)求此圆的半径；(2)求图中阴影部分的面积．图5－ZT －89．如图5－ZT －9，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上的一点，AC 平分∠DAB，AD ⊥CD ，垂足为D ，AD 交半圆O 于点E ，连接CE.(1)判断CD 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若E 是AC ︵的中点，半圆O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．图5－ZT －9► 方法五用割补法求图形的面积10．如图5－ZT －10，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E.B ，E 是半圆弧的三等分点，BE ︵的长为2π3，则图中阴影部分的面积为( )A .π9B .3π9C .3 32－3π2 D .3 32－2π3图5－ZT －10 图5－ZT －1111．如图5－ZT －11中的小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为________．12．2017·淮安如图5－ZT －12，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是边AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的圆分别交AB ，AC 于点E ，D ，在BC 的延长线上取点F ，使得BF ＝EF ，EF 与AC 交于点G.(1)试判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若OA ＝2，∠A ＝30°，求图中阴影部分的面积．图5－ZT －12详解详析1．[答案] A 2．[答案] 1.72[解析] 空白部分的面积等于四个半圆的面积减去正方形的面积，再利用阴影部分的面积等于正方形的面积减去空白部分的面积计算．空白部分的面积＝12π×⎝ ⎛⎭⎪⎫222×4－2×2＝2π－4，阴影部分的面积＝2×2－(2π－4)＝4－2π＋4＝8－2π≈8－2×3.14＝8－6.28＝1.72.3．[答案] π－2[解析] ∵在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴S 阴影＝S 半圆AB ＋S 半圆BC －S △ABC＝12π×(22)2＋12π×(22)2－12×2×2 ＝π－2.4．解：由题意可知△ACD ≌△AC ′D ′，所以可将△AC ′D ′旋转到△ACD 处，使阴影部分的面积成为一部分环形的面积，可通过两扇形面积之差求得，所以雨刷CD 扫过的面积S 阴影＝S 扇形ACC ′－S 扇形ADD ′＝90π×1152360－90π×352360＝π4(115＋35)×(115－35)＝3000π(cm 2)．答：雨刷扫过的面积为3000π cm 2.5．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°.∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ， ∴△BFA ≌△BEC ，∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°， AF ＝CE ，∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°.∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ， ∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，AF ＝FG ， ∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB ，∴EC ∥FG . ∵AF ＝EC ，AF ＝FG ，∴EC ＝FG ， ∴四边形EFGC 是平行四边形， ∴EF ∥CG .(2)∵△BFA ≌△BEC ，∴BF ＝BE ＝12AB ＝1，∴AF ＝AB 2＋BF 2＝ 5.由(1)知四边形EFGC 是平行四边形，FC 为其对角线， ∴点G 到FC 的距离等于点E 到FC 的距离，即BE . ∴S阴影＝S扇形BAC＋S △ABF ＋S △FGC －S扇形FAG ＝90π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π·（5）2360＝52－π4(或10－π4)．∴阴影部分的面积为52－π4(或10－π4)．6．[解析] 小半圆向右平移，使它的圆心与大半圆的圆心重合，于是阴影部分的面积可转化为大半圆的面积减去小半圆的面积．解：将小半圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝BC ＝12.∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC 为小半圆的半径，∴S 阴影＝S 大半圆－S 小半圆＝12π·OB 2－12π·OC 2＝12π(OB 2－OC 2)＝12π·BC 2＝72π.∴圆中阴影部分的面积为72π7．[解析] D 如图，连接OD .∵CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ，∠CEO ＝∠DEO ＝90°.又∵OE ＝OE ，∴△COE ≌△DOE ，故S △COE ＝S △DOE ，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积．∵∠CDB ＝30°，∴∠COB ＝60°，∴∠OCD ＝30°，∴OE ＝12OC .由勾股定理可求得OC ＝2，故S 扇形OBD ＝60π·22360＝23π，即阴影部分的面积为2π3.故选D.8．解：(1)∵AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°.又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠ADB ＝30°， ∴AB ︵＝AD ︵＝DC ︵，∠BCD ＝60°， ∴AB ＝AD ＝DC ，∠BDC ＝90°， ∴BC 是圆的直径，BC ＝2DC ， ∴BC ＋32BC ＝15，解得BC ＝6.∴此圆的半径为3.(2)设BC 的中点为O ，由(1)可知点O 为圆心，连接OA ，OD . ∵∠ABD ＝30°，∴∠AOD ＝60°.根据同底等高的三角形面积相等可得S △ABD ＝S △AOD ，∴S 阴影＝S 扇形OAD ＝60×π×32360＝32π.∴图中阴影部分的面积为32π.9．解：(1)CD 与半圆O 相切．证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC . ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠DAC ＝∠OCA ，∴OC ∥AD .∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD .又∵OC 为半圆O 的半径，∴CD 与半圆O 相切． (2)连接OE .∵AC 平分∠DAB ，∴∠EAC ＝∠BAC ， ∴EC ︵＝BC ︵.又∵E 是AC ︵的中点，∴AE ︵＝EC ︵＝BC ︵， ∴S 弓形AE ＝S 弓形CE ，∠BOC ＝∠EOC ＝60°， ∴△OEC 是等边三角形， ∴∠ECO ＝60°，CE ＝1.由(1)得OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°， ∴∠DCE ＝30°，∴DE ＝12，DC ＝32，∴S 阴影＝S △DEC ＝12×12×32＝38.∴图中阴影部分的面积为38. 10．[答案] D11．[答案] 2π－4[解析] 如图所示，由题意，得阴影部分的面积＝2(S 扇形OAB －S △AOB )＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4.故答案为2π－4.12．解：(1)直线EF 与⊙O 相切．理由：如图，连接OE .∵OA ＝OE ，∴∠A ＝∠AEO .∵BF ＝EF ，∴∠B ＝∠BEF .∵∠ACB ＝90°， ∴∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠AEO ＋∠BEF ＝90°，∴∠OEG ＝90°，即OE ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线，即直线EF 与⊙O 相切． (2)∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED ＝90°. ∵∠A ＝30°，∴∠EOD ＝60°.又由(1)知∠OEG ＝90°，∴∠EGO ＝30°.∵AO ＝2，∴OE ＝2，∴EG ＝2 3，∴阴影部分的面积＝12×2×2 3－60·π×22360＝2 3－23π.。