《名师伴你行》2022高考数学(理)二轮复习检测：压轴题冲关系列3 Word版含答案

压轴题冲关系列(三)
(时间：45分钟 分数：60分)
1．(14分)(2021·贵州七校联考)已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆C 1的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为7
7|OB |.
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)若椭圆C 1方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)，椭圆C 2方程为：x 2m 2＋y 2
n 2＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相像椭圆．已知C 2是椭圆C 1的3倍相像椭圆，若直线y ＝kx ＋b 与两椭圆C 1，C 2交于四点(依次为P ，Q ，R ，S )，且XC →＋RS
→＝2QS →，试求动点E (k ，b )的轨迹方程． 解：(1)设椭圆C 1的方程为x 2
a 2＋y
2
b 2＝1，a ＞b ＞0， ∴直线AB 的方程为x －a
＋y
b ＝1，
∴F 1(－1,0)到直线AB 的距离为d ＝|b －ab |a 2＋b 2＝7
7b ，
∴a 2＋b 2＝7(a －1)2，
又b 2＝a 2－1，解得a ＝2，b ＝3， ∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)椭圆C 1的3倍相像椭圆C 2的方程为x 212＋y 2
9＝1，
设Q ，R ，P ，S 各点坐标依次为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)， 将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 1方程，得 (3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，
∴Δ1＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝48(4k 2＋3－b 2)＞0，(*) 此时，x 1＋x 2＝－8kb
3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k 2，
∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝43(4k 2＋3－b 2)3＋4k 2
，
将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程，得 (3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0， ∴x 3＋x 4＝－8kb
3＋4k 2，x 3x 4＝4b 2－363＋4k 2，
|x 3－x 4|＝43(12k 2＋9－b 2)
3＋4k 2，
∴x 1＋x 2＝x 3＋x 4，
∴线段XC ，QR 中点相同，∴|PQ |＝|RS |， 由XC
→＋RS →＝2QS →，PQ →＝QR →， ∴|XC |＝3|QR |，即|x 3－x 4|＝3|x 1－x 2|， ∴43(12k 2＋9－b 2)3＋4k 2＝3×43(k 2＋3－b 2)3＋4k 2
， 12k 2＋9＝4b 2，满足(*)式，
∴动点E (k ，b )的轨迹方程为4b 29－4k 2
3＝1.
2．(14分)(2021·天津河西二模)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞
0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为23
3，O 为坐标原点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．
解：(1)设F (c,0)，∵直线AF 的斜率为23
3， ∴2c ＝23
3，解得c ＝ 3.
又c a ＝3
2，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝1. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2
＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 由题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －2，x 2＋4y 2
＝4，
化为(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0， 当Δ＝16(4k 2－3)＞0时，即k 2>3
4时， x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝12
1＋k 2.
∴|PQ |＝(1＋k 2) [(x 1＋x 2)2－4x 1x 1] ＝
(1＋k 2
)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 1＋4k 22－481＋4k 2 ＝41＋k 24k 2－34k 2＋1
，
点O 到直线l 的距离d ＝2
1＋k
2
， ∴S △OPQ ＝1
2d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1，
设4k 2－3＝t ＞0，则4k 2＝t 2＋3， ∴S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t
≤4
24
＝1，
当且仅当t ＝2，即4k 2
－3＝2，解得k ＝±7
2时取等号．
满足Δ＞0，
∴△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为y ＝±7
2x －2. 3.(18分)(2021·云南昆明二测)已知函数f (x )＝ax ＋ln x . (1)争辩函数f (x )的单调性；
(2)设函数g (x )＝ax 2，若存在x 0∈(1，＋∞)，使得g (x 0)<f (x 0)，求a 的取值范围；
(3)证明：ln 1.1<0.11.
解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x . 当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在定义域上单调递增， 当a <0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1
a ， 当x ∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． (2)设h (x )＝g (x )－f (x )＝ax 2－ax －ln x ，
当a ＝0时，h (x )＝g (x )－f (x )＝－ln x ，对于任意的x ∈(1，＋∞)，均有h (x )＝－ln x <0.
即g (x )<f (x )在(1，＋∞)恒成立．
当a ≠0时，h ′(x )＝2ax －a －1x ＝2ax 2－ax －1
x ， 令F (x )＝2ax 2－ax －1，
当a <0，x >1时，F (x )<0，则h ′(x )<0， 所以h (x )在(1，＋∞)上是减函数，
对任意的x ∈(1，＋∞)，均有h (x )<h (1)＝0， 即g (x )<f (x )在(1，＋∞)恒成立． 当a >0时，由2ax 2－ax －1＝0， 解得x 1＝1＋1＋8a 4或x 2＝1－1＋8
a
4， 且当x >x 1时，F (x )>0，当x 2<x <x 1时，F (x )<0. 若a ≥1，则1
4<x 1≤1，
当x >1≥x 1时，h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)单调递增， h (x )>h (1)＝0，此时，g (x )>f (x )恒成立，不符合题意； 若0<a <1，则x 2<1<x 1， 当x ∈(1，x 1)时，h ′(x )<0， 所以h (x )在(1，x 1)单调递减， h (x )<h (1)＝0，即存在x 0∈(1，x 1)， 有g (x 0)<f (x 0)成立．
综上所述，a 的取值范围为(－∞，1)．
(3)证明：依据(2)的争辩，当a ≥1时，h (x )>0在(1，＋∞)上恒成立． 令a ＝1，x ＝1.1，得1.12－1.1－ln 1.1>0， 即得ln 1.1<0.11.
4．(14分)(2021·河北石家庄二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)经过点
⎝
⎛⎭⎪⎫
1，32，离心率为32.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)不垂直于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13，若cos ∠APB ＝1
3，求直线l 的方程．
解：(1)由题意，得⎩⎨⎧
c a ＝32，
1a 2
＋3
4b 2
＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.
所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2
＝1.
(2)解法一：设直线的方程设为y ＝kx ＋t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立
⎩⎨⎧
y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2
＝1
消去y ，得
(1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0. 则有x 1＋x 2＝－8kt 1＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－4
1＋4k 2，
由Δ>0，得4k 2＋1>t 2.
y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t
1＋4k 2
.
设A ，B 的中点为D (m ，n )，则m ＝x 1＋x 22＝－4kt
1＋4k 2，
n ＝y 1＋y 22＝t 1＋4k 2
，
由于直线PD 与直线l 垂直，所以k PD ＝－1k ＝13
－n －m
，
得t 1＋4k 2
＝－19， 由Δ>0，得4k 2＋1>t 2，即－9<t <0. 由于cos ∠APB ＝2cos 2
∠APD －1＝－1
3，
所以cos ∠APD ＝3
3，得tan ∠APD ＝2， 所以|AB |2
|PD |＝2，
由点到直线距离公式和弦长公式可得
|PD |＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－13＋t 1＋k
2
， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝
(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫－8kt 1＋4k 22－4×4t 2
－41＋4k 2 ＝4(1＋k 2
)(1＋4k 2
－t 2
)
1＋4k 2
，
由|AB |2
|PD |＝2(1＋k 2)(1＋4k 2－t 2
)
1＋4k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13＋t 1＋k 2
＝2和
t 1＋4k 2
＝－1
9，解得t ＝－1∈(－9,0)，k ＝±2， 故直线的方程为y ＝2x －1或y ＝－2x －1.
解法二：设直线l 的斜率为k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 的中点为D (x 0，y 0)，
所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2，x 0
＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 2
2.
由题意⎩⎪⎨⎪⎧
x 214＋y 21＝1，①
x 2
24＋y 22＝1，②
①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)
4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 化简，得14＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，
即14＋k y 0
x 0
＝0，
又由于直线PD 与直线l 垂直，所以y 1－13
x 0
·k ＝－1，
由⎩⎪⎨⎪⎧
14＋k y 0
x 0＝0，
y 0－1
3x 0
·
k ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
y 0＝－19，
x 0＝4
9k ，
由于cos ∠APB ＝2cos 2
∠APD －1＝－1
3， 所以cos ∠APD ＝3
3⇒tan ∠APD ＝2， 所以|AB |2
|PD |＝2， |PD |＝
(x 0－0)2＋⎝
⎛
⎭
⎪⎫y 0－132＝
x 20
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫49
2 ＝49k 2
＋1.
设直线l 的方程设为y －y 0＝k (x －x 0)，得y ＝kx －4k 2＋1
9，
联立⎩⎨⎧
y ＝kx －4k 2＋1
9，
x
2
4＋y 2
＝1
消去y ，得
(1＋4k 2)x 2－8k (4k 2＋1)9x ＋4⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 2＋192
－4＝0， x 1＋x 2＝2x 0＝8
9k ，x 1x 2＝4⎝
⎛⎭
⎪⎫
4k 2＋192－41＋4k 2
，
由Δ>0，得k 2<20.
|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 92－4
4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2
＋192
－4
1＋4k 2 ＝89
(1＋k 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
20－k 21＋4k 2， |AB |2|PD |＝
49(1＋k 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
20－k 21＋4k 289
1＋k 2
＝2，
解得k ＝±2，满足k 2<20. 代入y ＝kx －4k 2＋1
9，得
直线的方程为y ＝2x －1或y ＝－2x －1.。