【三维设计】高中数学 第三章 §4 导数的四则运算法则课件 北师大版选修1-1

(3)y′＝(2x3＋log3x)′＝(2x3)′＋(log3x)′＝6x2＋xln1 3. (4)y＝x－sinx2cosx2＝x－12sin x， ∴y′＝(x－12sin x)′＝1－12cos x.
[一点通] 解决函数的求导问题，应先分析所给函数 的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导 运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前 应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
提示：可以(3x2＋tan x－ex)′＝6x＋co1s2x－ex.
导数的加法与减法法则 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差) ，即 [f(x)＋g(x)]′＝ f′(x)＋g′(x) ，
[f(x)－g(x)]′＝ f′(x)－g′(x) .
已知函数 f(x)＝x3，g(x)＝x2，则 f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x. 问题 1：[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x)成立吗？ 提示：因为[f(x)·g(x)]′＝(x5)′＝5x4， f′(x)·g′(x)＝3x2·2x＝6x3，所以上式不成立．
(4 分)
∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16. 整理得，x30＝－8，∴x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(7 分)
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，
(3)∵切线与直线 y＝－x4＋3 垂直，
∴切线的斜率 k＝
设切点坐标为(x0，y0)，则 f′(x0)＝3x20＋1＝4， ∴x0＝±1.
∴xy00＝＝－1，14，
或 xy00＝＝－－118，.
即切点为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为 y＝4(x－1)－14 或 y＝4(x＋1)－18.
解：y′＝ln
x′x－x′ln x2
x＝1－xl2n
x，
∴点(1,0)处切线斜率k＝1－1l2n 1＝1，
∴切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
1．运用基本的初等函数的导数公式和求导的运算法则 时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简， 再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．
2．求切线方程． (1)求过点P的曲线的切线方程时应注意，P点在曲线上 还是在曲线外，两种情况的解法是不同的． (2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一 是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的 方程；三是切线的斜率是函数在此切点处的导数值．
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§4
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已知函数 f(x)＝1x，g(x)＝x，那么 f′(x)＝－x12，g′(x)＝1.
问题 1：如何求 h(x)＝f(x)＋g(x)的导数？
提示：用定义，由 h(x)＝1x＋x，得 h(x＋Δx)－h(x)＝x＋1Δx
即 y＝4x－18 或 y＝4x－
(9 分)
(11 分) (12 分)
[一点通] 利用导数求曲线的切线方程的两种类型及求解过程．
(1)求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程： ①求导数y＝f′(x)，得斜率k＝f′(x0)； ②写出点斜式方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)并化简． (2)求过点P(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程： ①设切点坐标为(x0，y0)； ②求导数y＝f′(x)得切线斜率k＝f′(x0)； ③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)； ④代入P的坐标(x1，y1)，求出x0； ⑤代入切线方程并化简．
则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16，
又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1
∴x30＋xx00－16＝3x20＋1.
解之得，x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝
分)
(4 分)
∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． (7 分)
[精解详析] (1)f′(x)＝(xln x)′＝ln x＋x·1x＝ln x＋1. (2)法一：y′＝(xx－＋11)′＝x＋1x－＋1x－2 1＝x＋212. 法二：y＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝(1－x＋2 1)′＝(－x＋2 1)′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋2 12.
x－cos sin2x
xsin′x＝－sins2ixn－2xcos2x＝
－sin12x.
2．求下列函数的导数． (1)y＝4cos x－3sin x；(2)y＝xx2＋＋33；(3)y＝xnex.
解：(1)y′＝(4cos x－3sin x)′＝(4cos x)′－(3sin x)′＝－
4sin x－3cos x.
∴－b－b＋2c＝a＝0，0， c－1＝0，
解得ba＝＝22，， c＝1.
∴f(x)＝2x2＋2x＋1.
[例 3] (12 分)已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方 程及切点坐标； (3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－14x＋3 垂直，求 切点坐标与切线的方程．
(2)y′
＝
(
x＋3 x2＋3
)′
＝
x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′ x2＋32
＝
x2＋3x－2＋2x32－2 6x＝－xx2－2＋63x＋2 3.
(3)y′＝(xnex)′＝(xn)′ex＋xn(ex)′＝(nxn－1＋xn)ex.
[例2] 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点 (2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．
gfxx′＝
f′(x) g(x)－f (x) g′(x) [ g(x)]2
.
(2)[kf(x)]′＝ kf′(x) ．
(1)[f(x)g(x)]′ ＝ f′(x)g(x) ＋ f(x)g′(x)≠f′(x)g′(x) ， 避 免 与
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)混淆．
(2)若 c 为常数，则[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．若f′(x)为一次函数，且x2f′(x)＋(－2x＋1)f(x)＝1，求 f(x)的解析式．
解：由于 f′(x)为一次函数，则 f(x)必为二次函数， 令 f(x)＝ax2＋bx＋c，则 f′(x)＝2ax＋b， 代入 x2f′(x)＋(－2x＋1)f(x)＝1 得 x2(2ax＋b)＋(－2x＋1)(ax2＋bx＋c)＝1. 即(－b＋a)x2＋(b－2c)x＋(c－1)＝0，
由a4＋a＋b＋ b＝c＝1，1， 4a＋2b＋c＝－1，
解得ab＝ ＝3－，11， c＝9.
所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
[一点通] (1)由导数的几何意义，结合已知条件建立关于 参数的方程组是解决此类问题的关键． (2)若已知(x0，y0)处的切线方程为y＝kx＋b， 则有f′(x0)＝k，y0＝kx0＋b.
[思路点拨] (1)求出f(x)在2处的导数，即切线斜率， 用点斜式写出方程即可．
(2)设出切点坐标，进而求出切线斜率，写出切线方 程，再利用切线过原点即可求出切点坐标．
(3)设出切点坐标，求出切线斜率，又已知斜率为4， 则可求出切点坐标．
[精解详析] (1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝f(x)上．
6．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线 方程为________． 解析：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，当x＝－1时，y′ 取最小值3. ∴点(－1，－14)处的切线斜率最小，切线方程为y＋ 14＝3(x＋1) 即3x－y－11＝0. 答案：3x－y－11＝0
7．求 y＝lnxx在点(1,0)处的切线方程．
＋x＋Δx－1x－x＝Δx－xxΔ＋xΔx.
则 f′(x)＝lim Δx→0
hx＋Δx－hx Δx
＝ lim Δx→0
1－xx＋1 Δx＝1－x12.
问题2：[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)成立吗？ 提示：成立． 问题3：[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)成立吗？ 提示：成立． 问题4：运用上面的结论你能求出(3x2＋tan x－ex)′吗？
问题2：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)成立吗？
提示：成立．
问题 3：
fg(x(x))′＝
fg(′x(x) )成立吗？
提示：不成立．
问题4：
fg(x(x))′＝f′(x)
g(x)－f (x) [ g(x)]2
g′(x)成立吗？
提示：成立．
导数的乘法与除法法则
(1)若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f′(x)和 g′(x)，则 [f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
3．已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值为________．
解析：直线 y＝kx 过原点(0,0)，设切点为(x0，y0)， 则 k＝x10，又 k＝lnx0x0，∴lnx0x0＝x10， ∴ln x0＝1，即 x0＝e， ∴k＝1e. 答案：1e
4．设 f(x)＝aex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． 解：由 f(x)＝aex＋bln x， 得 f′(x)＝aex＋bx. f′1＝ae＋b＝e， 根据题意应有f′－1＝ae－b＝1e， 解得ab＝＝10，. 所以 a，b 的值分别是 1 和 0.
(3)
类
比
[f(x)g(x)]′
＝
f′(x)g(x)
＋
f(x)g′(x)
记
忆
fx gx
′
＝f′Biblioteka x)g(x)－f (x) [ g(x)]2
g′(x).
[例 1] 求下列函数的导数： (1)f(x)＝xln x；(2)y＝xx－＋11； (3)y＝2x3＋log3x；(4)y＝x－sinx2cosx2. [思路点拨] 观察函数的结构特征，可先对函数式进 行合理变形，然后利用导数公式及运算法则求解．
[思路点拨] 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立 条件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值．
[精解详析] 因为 y＝ax2＋bx＋c 过点(1,1)， 所以 a＋b＋c＝1. y′＝2ax＋b，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为 4a＋b＝1. 又曲线过点(2，－1)，所以 4a＋2b＋c＝－1.
1．用导数的运算法则推导：
(1)(tan x)′＝co1s2x；
(2)(cot x)′－sin12x. 解：(1)(tan x)′＝csoins
xx′＝sin′xcos
x－sin cos2x
xcos′x＝cos2cxo＋s2sxin2x
＝co1s2x.
(2)(cot
x)′＝csions
xx′＝cos′xsin
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为
k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为
y＝13(x－2)＋(－6)，即 y＝13x－
(2 分)
(2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x20＋1， ∴直线 l 的方程为 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－ 又∵直线 l 过点(0,0)，