北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题

丰台区2012~2013学年度第一学期期末练习
高三数学（理科）
一、选择题：共8小题,每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．
1．设全集U={1，3，5，7｝，集合M=｛1，5-a }，{5,7}U
C M = ，则实
数a 的值为
(A)2或－8 （B) －2或－8 (C) －2或8 （D ） 2或8 【答案】D
【KS5U 解析】因为{5,7}U
C M =,所以53a -=，
即53a -=或53a -=-，即8a =或2，选D.
2．“0x >”是“12x x
+≥”的
(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 （C) 充分且必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件
【答案】C
【KS5U 解析】当0x >时，11
2x x
x
x
+≥=。

若因为1,x x 同号，所以若12x x +≥，则10,0x x
>>，所以0x >是12x x
+≥成立的充要条件，选C.
3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是
(A) 13
(B ） 12
（C) 23
(D ）
5
6
【答案】C
【KS5U 解析】从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率11
22
2
44263
C C P C ===，选C 。

4．如图,某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形,则该
三棱锥的四个面的面积中最大的是
(A ） 3
(B) 23 (C ） 1 (D ） 2
【答案】A
【KS5U 解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的
三个侧面都是等腰直角三角形,,所以四个面中面积
最大的为
BCD
∆，且
BCD
∆是边长为为2的正三角形,所以
13
22322
BCD S ∆=⨯⨯⨯=,选
A.
5．函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析
式可能是
(A ） 2sin(2)4y x π=- (B ） 2sin(2)4
y x π=+
(C) 32sin()8y x π=+ （D ） 72sin()216
x y π=+
【答案】B
【KS5U 解析】由图象可知52
8
8
2
T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又
2T π
π
ω
==，所以2ω=。

所以2sin(2)y x ϕ=+，又()2sin(2)28
8
y f ππϕ==⨯+=,所以
sin(
)14
π
ϕ+=，
即2,4
2
k k Z π
π
ϕπ+=
+∈，所以24k π
ϕπ=
+，所以2sin(2)4
y x π=+，选
B 。

6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（[]x 表示不超过x 的
最大整数）
(A ） 4 (B) 5 （C) 7 (D) 9
【答案】C
【KS5U 解析】第一次循环，0S =，不满足条件,1n =；第二次循环，
[1]1S ==，不满足条件，2n =；第三次循环，1[2]2,S =+=，不满足条件，3n =；第四次循环，2[3]3,S =+=,不满足条件，4n =；第五次循环，
3[4]5S =+=，此时不满足条件,5n =.第六次循环，5[5]7S =+=，此时满足
条件，输出
7S =，选C 。

7．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1，0）,B(0,1)，点C 在第二象限内,56
AOC π∠=，且|OC|=2，若OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是( ）
（A ）
1 （B) 1, （C ） —1，
（D ）
1
【答案】D
【KS5U 解析】因为56
AOC π∠=,所以5,6
OA OC π<>=。

5,6
2
3
OC OB πππ<>=-=。

则
(,)
OC OA OB λμλμ=+=。

5(,)(1,0)cos
6
OC OA OC OA πλμ==，即
2(λ=⨯=。

(,)(0,1)cos
3
OC OB OC OB π
λμ==，即1212
μ=⨯=，所以1λμ==，选D.
8．已知函数f(x)=2
ax bx c ++,且,0a b c a b c >>++=,集合A=｛m ｜f(m ）〈0}，
则
（A ） ,m A ∀∈都有(3)0f m +> （B) ,m A ∀∈都有(3)0f m +<
(C ） 0,m A ∃∈使得
f(m 0+3）=0 （D)
0,m A ∃∈使得
f(m 0+3）
<0
【答案】A
【KS5U 解析】由,0a b c a b c >>++=可知0,0a c ><,且(1)0,(0)0f f c ==<。

即1是方程2
0ax
bx c ++=的一个根，当1x >时，()0f x >。

由a b >，得1b
a
>
，设方程20ax bx c ++=的另外一个根为1x ，则111b
x a
+=-
>-，即12x >-，由()0f m <可得21m -<<，所以134m <+<，由抛物线的图象可知,(3)0f m +>，选A 。

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．
9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人,为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______． 【答案】20
【KS5U 解析】高三的人数为400人，所以高三抽出的人数为
45
40020900
⨯=人。

10．已知直线y x b =+与平面区域C:||2,
||2
x y ≤⎧⎨
≤⎩的边界交于A ，B 两点，若22AB ≥,则b 的取值范围是________.
【答案】[2,2]-
【KS5U
解析】不等式||2,
||2x y ≤⎧⎨≤⎩
对应的区域为
，因为
直线y x b =+的斜率为1,由图象可知22CD EF ==，要使22AB ≥,则22b -≤≤,即b 的取值范围是[2,2]-。

11．1
2
,l l 是分别经过A （1，1），B （0,
1)两点的两条平行直线，当1
2
,l l
间的距离最大时,直线1
l 的方程是 ． 【答案】230x y +-=
【KS5U 解析】解：当两条平行直线与A 、B 两点连线垂直时两条平行直线的距离最大． 因为A （-1,1)、B （2，—4),所以11
201AB
k
--=
=-，所以两平行线的斜率为12
k =-，所以直线1
l 的方程是11(1)2
y x -=--，即230x y +-=。

12．圆2
2()
1x a y -+=与双曲线221x y -=的渐近线相切,则a 的值是 _______。

【答案】2±
【KS5U 解析】双曲线2
21x
y -=的渐近线为y x =±，不妨取y x =，若直线
y x =与圆相切，则有圆心(,0)a 到直线0x y -=的距离12
a d =
=，即2a =，
所以2a =±
13．已知ABC ∆中,AB=3，
BC=1,sin 3cos C C =，则ABC ∆的面积为______． 【答案】
32
【KS5U 解析】由sin 3cos C C =
得tan 30C =>,所以3
C π
=
.根据正弦定理可得
sin sin BC AB
A C =，即13
2sin 3
2
A
==，所以1sin 2A =，因为AB BC >，所以A C <，所以6A π=,
即2
B π=，所以三角形为直角三角形，所以13
3122
ABC
S
∆=⨯⨯=。

14．右表给出一个“三角形数阵”。

已知每一列数成等差数列,从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*
,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ,______(3)mn
a
m =≥.
【答案】5,16
1
2n m
+ 【KS5U 解析】由题意可知第一列首项为14，公差111244
d =-=，第二列
的首项为14，公差311848d =-=，所以511154444a =+⨯=，521153488
a =+⨯=，所以第
5行的公比为
52511
2
a q a =
=，所以
5352515
8216
a a q ==⨯=。

由题意知
111(1)444m m a m =
+-⨯=,211(2)488m m a m =+-⨯=，所以第m 行的公比为211
2
m m a q a ==,所以
11111(), 3.422
n n mn m n m m
a a q m --+==
⨯=≥ 三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（本题共13分） 函数2
()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A,函数()2
(2)x
g x a x =-≤的值域为集
合B ．
（Ⅰ）求集合A ，B ； (Ⅱ)若集合A ，B 满足A B B =，求实数a 的取值范围．
16．（本题共13分)
如图,在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ,B 两点．
纵坐标是（Ⅰ）若点A 的横坐标是35
，点B 的
12
13
，求sin()αβ+的值； 的值.
（Ⅱ） 若∣AB ∣=32
, 求OA OB
⋅17．(本题共14分） 如图,在三棱锥
P-ABC
中,PA=PB=AB=2，3BC =，90=∠ABC °，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点。

(Ⅰ）求证：DE‖平面PBC ； （Ⅱ）求证：AB ⊥PE ;
（Ⅲ）求二面角A —PB —E 的大小。

18．（本题共14分） 已知函数
2()(0)x
ax bx c
f x a e
++=>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0。

(Ⅰ）求()f x 的单调区间;
(Ⅱ）若f （x)的极小值为3
e -，求f(x)在区间[5,)-+∞上的最大值.
19．(本题共13分)
曲线1
2
,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆．点M
的坐标是（0，1）,线段MN 是1
C 的短轴，是2
C 的长轴。

直线:(01)
l y m m =<<与1
C 交于A ，
D 两点（A 在D 的左侧），与2
C 交于B,C 两点(B 在C 的
左侧）． （Ⅰ)当
m=
54AC =时,求椭圆12,C C 的方程;
（Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围． 20．（本题共13分) 已知曲线2
:2(0)
C y
x y =≥，1
1
1
2
2
2
(,),(,),,(,),n
n
n
A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足
120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅
,一列点(,0)(1,2,)i
i
B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且1
(i i i B
A B B -∆是坐标原点)是
以i
A 为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ)求1
A 、1
B 的坐标；
（Ⅱ)求数列{}n
y 的通项公式;
(Ⅲ）
令1,2
i
y i i i
b c a -==
，
是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有1
1
n
n i
i
i i b c ==<∑∑，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在,说明理由．
丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习
高三数学(理科）参考答案
一、选择题
二、填空题:
9．20； 10.［—2,2］ ； 11。

x+2y —3=0； 12．（只写一个答案给3分）；
13．
2
； 14．5,16
1
2n m + （第一个空2分，第二个空3分)
三．解答题
15．（本题共13分）函数2
()lg(23)f x x
x =--的定义域为集合A ，函数
()2(2)x g x a x =-≤的值域为集合
B ．
（Ⅰ）求集合A ，B ； (Ⅱ）若集合A ，B 满足A B B =，求实数
a 的取值范围．
解：(Ⅰ）A=2
{|230}x x x -->
={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或，。

……………………….。

……3分
B={|2
,2}{|4}x y y a x y a y a =-≤=-<≤-．
………………………..….。

7分
（
Ⅱ）∵A B B
=,∴B A ⊆,。

.……………………………………………。

9分
∴
41
a -<-或
3
a -≥，
…………………………………………………………。

.。

11
分
∴3a ≤-或5a >，即a 的取值范围是
(,3](5,)-∞-+∞． (13)
分
16．（本题共13分）如图,在平面直角
坐标系
xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点． （Ⅰ)若点A 的横坐标是35
，点B 的纵坐标是1213
,求sin()αβ+的值；
（Ⅱ） 若∣AB ∣=32
, 求OA OB ⋅的值.
解:(Ⅰ)根据三角函数的定义得,
3cos 5
α=，
12
sin 13
β=
． ………………………………………………………2分
∵
α
的终边在第一象限，∴4
sin 5
α=
． ……………………………………………3分
∵
β
的
终
边
在
第
二
象
限
,
∴ 5
cos 13
β=-
．………………………………………4分 ∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=1665
． (7)
分 （Ⅱ）方法
（
1）∵∣AB ∣=|
AB
｜=|OB OA -|， ……………………………………9分
又∵2
2
2
||222OB OA OB
OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅， (11)
分
∴9224
OA OB -⋅=,
∴
1
8
OA OB ⋅=-
．………………………………………………………………
…13分
方法(2）∵222||||||1
cos 2||||8
OA OB AB AOB OA OB +-∠==-，
…………………10分
∴
C
OA OB ⋅=1||||cos 8
OA OB AOB ∠=-
． ………………………………… 13分
17．(本题共14分）如图,在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，3BC =，
90=∠ABC °,平面
PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．
（Ⅰ）求证：DE//平面PBC ； (Ⅱ）求证：AB ⊥PE ；
（Ⅲ)求二面角A —PB —E 的大小．
解：（Ⅰ） D 、E 分别为AB 、AC 中点， DE//BC ．
DE 平面PBC ，BC 平面PBC ，
DE //平面PBC ． (4)
分 （Ⅱ)连结PD ， PA=PB ，
∴ PD ⊥ AB ． …………………………….5分 //DE BC ，BC ⊥ AB ， ∴
DE
⊥
AB ． ...。

。

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6分 又 PD DE D =
，
∴
AB
⊥
平面
PDE ．。

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..8分
PE 平面PDE ，
_
E _ D
_ A
_ P
∴AB ⊥PE ． 。

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..9
分
(Ⅲ) 平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC=AB ，PD ⊥ AB ， ∴
PD
⊥
平面
ABC ．。

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....10分
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系
∴B （1,0,0)，P (0,0，3)，
E(0,32
,0） ,
∴PB
=(1，0
， )，PE =(0，
3
2
，
． 设平面PBE 的法向量1(,,)n x y z =，
∴0,
3
0,2
x y ⎧=⎪
⎨-=⎪⎩
令z =
得
1n =．
.。

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.11分 DE ⊥平面PAB ，
∴平面PAB 的法向量为
2(0,1,0)n =．
…………………。

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.12分
设二面角的A PB E --大小为θ， 由图知,121
2
12
||1
cos cos ,2n n n n
n n θ⋅=<>=
=
⋅,
所以
60,
θ=︒即二面角的A PB E
--大小为
60︒．
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.14分
18．(本题共14分）已知函数2()(0)x
ax bx c
f x a e
++=>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)的极小值为3
e -，求()
f x 在区间[5,)-+∞上的最大值。

解：（Ⅰ）
222(2)()(2)()()x x x x
ax b e ax bx c e ax a b x b c
f x e e
+-++-+-+-'==．。

(2)
令2
()(2)g x ax a b x b c =-+-+-，
因为0x
e
>，所以'()y f x =的零点就是2()(2)g x ax a b x b c =-+-+-的零点，且
()f x '与()g x 符号相同.
又因为
a >，所以
30
x -<<时，g(x ）〉0，即()0f x '>，
………………………4分
当
3,0
x x <->时
,g(x
）
<0
，
即
()0f x '<，
…………………………………………6分
所以()f x 的单调增区间是(—3，0）,单调减区间是（-∞,—3）,（0，+∞)．……7分
（Ⅱ)由(Ⅰ）知，x =-3是()f x 的极小值点,所以有
3
393,0,
93(2)0,a b c e e
b c a a b b c --+⎧=-⎪⎪
-=⎨⎪---+-=⎪⎩
解
得
1,5,5
a b c ===， ………………………………………………………
…11分
所以
255()x
x x f x e
++=. ()f x 的单调增区间是
（-3，0）,单调减区间是（—∞，-3），(0，+∞）, ∴
(0)5
f =为函数
()
f x 的极大
值, …………………………………………………12分
∴()
f x 在区间
[5,)
-+∞上的最大值取
(5)f -和
(0)
f 中的最大
者. (13)
而
5
55(5)5f e e
--=
=>5，所以函数f(x ）在区间[5,)-+∞上的最大值是
55e ．.…14分
19．（本题共13分）曲线1
2
,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是（0,1)，线段MN 是1
C 的短轴，是2
C 的长
轴 。

直线:(01)l y m m =<<与1
C 交于A,
D 两点（A 在D 的左侧），与2
C 交
于B,C 两点（B 在C 的左侧）．
（Ⅰ）当m=
2
, 54AC =时，求椭圆12,C C 的方程；
(Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围． 解：(Ⅰ)设C 1的方程为22
21x y a +=,C 2的方程为2221x y b
+=,其中1,01a b ><<．。

2分
C 1 ，C 2的离心率相同，所以
22
2
11a b a -=-,所以
1ab =，...........................。

(3)
分
∴C 2的方程为22
21a x y +=．
当
m=
2
时，A
(,22
a -，
C
13
(,
)22
a ． (5)
又
54
AC =
,所以，15224
a a +=，解得a=2或a=
12
（舍)， ………….…………。

.6分 ∴
C 1
,C 2
的
方
程
分别
为
2
214
x y +=,2241x y +=．………………………………….7分 (Ⅱ)A(-
2
1a m -，m ），
B(-
21
1m a
-，
m) ． …………………………………………9分 OB ∥AN ，∴OB
AN k k =，
∴
2
211
11m m a m
m a
+=
----,∴2
1
1
m a =
- ． (11)
分
22
2
1a e a
-=，
22
11a e =
-，
∴2
2
1e m e
-=． ………………………………………12分
01
m <<,
2
2101
e e
-<<，
2
1e <<．。

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...。

..13分
20。

（本题共13分)已知曲线2
:2(0)
C y x y =≥，1
1
1
2
2
2
(,),(,),,(,),n
n
n
A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线
C 上的点，且满足1
2
0n x x
x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅
，一列点(,0)(1,2,)i
i
B a i =⋅⋅⋅在x 轴上,且
10
(i i i B A B B -∆是坐标原点)是以i
A 为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求1
A ,1
B 的坐标；
（Ⅱ)求数列{}n
y 的通项公式；
（Ⅲ）令1,2
i
y i i i
b c a -==
，是否存在正整数N,当n≥N 时，都有1
1
n
n i
i
i i b c ==<∑∑,若存在，写出N 的最小值并证明;若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ)∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形, ∴直线B 0A 1的方程为y=x ． 由2
20y x
y x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩
得1
12x
y ==，
即点A 1的坐标为（2，2），进而得1
(4,0)B ．…。

3分
（Ⅱ）根据1
n n n
B
A B -∆和1
1
n
n n B A
B ++∆分别是以n
A 和1
n A +为直角顶点的等腰直角
三角形可 得
11
n n n
n n n a x y a x y ++=+⎧⎨
=-⎩ ，即
11n n n n x y x y +++=-
．（＊） (5)
n A 和1n A +均在曲线2:2(0)C y x y =≥上,∴22
112,2n n n n y x y x ++==，
∴22
1
1,22
n n
n n y y x x ++==，代入（＊)式得2
2112()
n n n n y
y y y ++-=+，
∴*12()n n y y n N +-=∈， ……………………………………………………
(7)
∴数列{}n
y 是以1
2y
=为首项，2
为公差的等差数列， ∴
其
通
项
公
式
为
2n y n =(*
n N
∈）． ……………………………………………。

.。

.8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，2
222
n
n y x n ==，
∴2(1)
n n n a x y n n =+=+， …………………………………………………
…9分
∴1
2(1)
i b i i =
+
，1
1
2
2i
y i i c -+==
． ∴111
1
2(12)2(23)
2(1)
n
i
i b n n ==
++
+
⨯⨯+∑
=
111111
(1)2223
1
n n -+-++
-+ =11
(1)2
1
n -
+．…。

……………..…………10分 2311
11(1)1111142(1)12222212
n
n i n n
i c +=-=+++==--∑． (11)
（方法一）1n
i i b =∑—1
n
i i c =∑=1111111112(1)-(1)()21222212(1)n
n n n n n n n ++---=-=+++．
当n=1时1
1
b c =不符合题意，
当n=2时2
2b
c <，符合题意，
猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有1
1
n
n i
i
i i b c ==<∑∑．(*)
观察知,欲证（*）式,只需证明当n≥2时，n+1<2n 以下用数学归纳法证明如下：
（1）当n=2时,左边=3,右边=4,左边<右边； (2）假设n=k （k≥2）时，(k+1)<2k ,
当n=k+1时,左边=（k+1）+1<2k +1<2k +2k =2k+1=右边，
∴对于一切大于或等于
2的正整数,都有n+1〈2n
，即1
n i
i b =∑<1
n
i
i c =∑成
立．
综上，满足题意的
n
的最小值为
2。

……………………………………………。

.13分
（方法二）欲证1
1
n n
i
i
i i b c ==<∑∑成立，只需证明当n≥2时，n+1〈2n ．
()012323211...1...n
n n n
n n n n n n n n C C C C C n C C C =+=+++++=+++++，
并且23...0n n
n n C
C C ++>，
∴当2n ≥时，2
1n
n ≥+.。