浙江省建德市新安江高级中学高中数学《解三角形应用举例》同步练习
人教版数学高一-浙江省建德市新安江高级中学高中数学《三角函数、求值化简证明》同步练习
一、基本知识体系：1、三角函数的化简：化同名、化同次、化同角。
注意切割化弦、升幂、降幂，2、三角函数的给值求角和给角求值、证明：二、基础练习：1、tan15°+︒tan151的值是（ ） A ．2 B ．2+3 C ．4 D ．3342、2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于． 3、若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） Ａ．72- Ｂ．12- Ｃ．12 Ｄ．724、函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1 B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2 5、已知5sin 5α=，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．15- B ．35- C ．15 D ．35 6. 若m,sin76= 则 cos7=7、已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是 8、︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 320tan 10cos ＝ 9求证：（1）22sin cos212=++θθ；（2）θθθ2tan cos21cos2-1=+；（3）θθθθθtan cos2sin21cos2-sin21=+++三、例题讲解：例1 已知函数()2sin cos cos 2f x x x x =+． (Ⅰ) 求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 设()0,22f ααπ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，求sin α的值．例2 已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β.例3 已知； 310tan 1tan ,43-=+<<ααπαπ （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin 8sin cos 11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。
数学高三复习解三角形的实际应用举例专项训练(带答案)
数学高三复习解三角形的实际应用举例专项训练（带答案）由不在同不时线上的三条线段首尾依次衔接所组成的封锁图形叫做三角形，下面是查字典数学网整理的解三角形的实践运用举例专项训练，希望对考生温习有协助。
一、测量中的距离效果1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为60,在不改动坡高和坡顶的前提下,经过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30,那么坡底要延伸的长度(单位:m)是()A.5B.5C.10D.10答案:D解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,ACB=60.AB=5,BC=5,在Rt△A BD中,ADB=30,BD=15.CD=BD-BC=10.2.(2021福建宁德五校联考,14)一艘船以15 km/h的速度向东飞行,船在A处看到灯塔B在北偏东60行驶4 h后,船抵达C处,看到灯塔B在北偏东15处,这时船与灯塔的距离为km.答案:30解析:依据题意画出图形,如下图,可得B=75-30=45,在△ABC中,依据正弦定理得,,即,BC=30 km,即此时船与灯塔的距离为30 km.3.(2021福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C在A城的南偏西20,一条蜿蜒公路AB,其中B在A城南偏东40,B与C相距31千米.有一人从B动身沿公路向A城走去,走了20千米后抵达D处,此时C,D之间的距离为21千米,那么A,C之间的距离是千米.答案:24解析:由得CD=21,BC=31,BD=20,在△BCD中,由余弦定理得cosBDC==-.设ADC=,那么cos =,sin =.在△ACD中,由正弦定理,得AC==24.二、测量中的高度与角度效果4.如图,D,C,B三点在空中同不时线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角区分是,(),那么A点距离空中的高度AB等于() A. B.C. D.答案:A解析:在△ACD中,DAC=-,DC=a,ADC=,由正弦定理得AC=,在Rt△ACB中,AB=ACsin =.5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角区分为60和30,第一排和最后一排的距离为10 m(如下图),那么旗杆的高A.10 mB.30 mC.10 mD.10 m答案:B解析:如下图,由题意知AEC=45ACE=180-60-15=105,EAC=180-45-105=30,由正弦定理知,AC==20(m),在Rt△ABC中,AB=ACsinACB=30(m).旗杆的高度为30 m.6.当甲船位于A处时得知,在其正西方向相距20 n mile的B 处有一艘渔船遇险等候营救,甲船立刻前往营救,同时把音讯告知在甲船的南偏西30,相距10 n mile C处的乙船,乙船立刻朝北偏东角的方向沿直线前往B处救援,那么sin 的值等于()A. B. C. D.答案:D解析:依据标题条件可作图如图:在△ABC中,AB=20,AC=10,CAB=120,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB=202+102-22021cos 120=700, BC=10.再由正弦定理得,sinACB=无触礁的风险.8.如图,在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时辰测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)假定该船不改动飞行方向继续行驶,判别它能否会进入警戒水域,并说明理由.解:(1)由于AB=40,AC=10,BAC=,sin =,090,所以cos =.由余弦定理得BC==10,所以该船的行驶速度为v==15(海里/小时).(2)设直线AE与BC的延伸线相交于点Q.在△ABC中,由余弦定理得cosABC=所以sinABC=.在△ABQ中,由正弦定理得AQ==40.由于AE=5540=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P,那么EP为点E到直线BC的距离.在Rt△QPE中,PE=QEsinPQE=QEsinAQC=QEsin(45ABC)=15=37.故该船会进入警戒水域.(建议用时:30分钟)1.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A 在观察站C的北偏东40,灯塔B在观察站C的南偏东60,那么灯塔A在灯塔B的()的位置.A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东10D.南偏西10答案:B解析:由图可知,ACB=180-(40+60)=80.又AC=BC,CBA=(180-80)=50.∵CE∥BD,CBD=BCE=60,ABD=60-50=10.灯塔A在灯塔B的北偏西10的位置.2.如下图,为测一树的高度,在空中上选取A,B两点(点A,B 与树根部在同不时线上),从A,B两点区分测得树尖的仰角为30,45,且A,B两点之间的距离为60 m,那么树的高度为()A.(30+30) mB.(30+15) mC.(15+30) mD.(15+3) m答案:A解析:设树高为h,那么由题意得h-h=60,h==30(+1)=(30+30)(m).3.一艘客船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30,之后它以32 n mile/h的速度继续沿正南方向匀速飞行,上午10:00抵达B处,此时测得船与灯塔S相距8 n mile,那么灯塔S在B处的()A.北偏东75B.东偏南75C.北偏东75或东偏南75D.以上方位都不对答案:C解析:依据题意画出表示图,如图,由题意可知AB=32=16,BS=8,A=30.在△ABS中,由正弦定理得,sin S=,S=45或135,B=105或15,即灯塔S在B处的北偏东75或东偏南75.4.一货轮飞行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15方向,与灯塔S相距20 n mile,随后货轮按北偏西30的方向飞行3 h后,又测得灯塔在货轮的西南方向,那么货轮的速度为()A.) n mile/hB.) n mile/hC.) n mile/hD.) n mile/h答案:B解析:如图,设货轮的时速为v,那么在△AMS中,AMS=45SAM=105ASM=30,SM=20,AM=3v.由正弦定理得,即v==)(n mile/h).解三角形的实践运用举例专项训练分享到这里，更多内容请关注高考数学试题栏目。
浙江省建德市新安江高级中学高中数学《1.6 三角函数模型简单应用》同步练习一 新人教版必修4
浙江省建德市新安江高级中学高中数学《1.6 三角函数模型简单应用》同步练习一新人教版必修4一、选择题1．函数的错误!未找到引用源。
最小值为（）A．2 B．0 C．错误!未找到引用源。
D．62．错误!未找到引用源。
，若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
的值为（）．A．－a B．2＋a C．2－a D．4－a3．设A、B都是锐角，且cosA＞sinB则A+B的取值是（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
4．若函数错误!未找到引用源。
是奇函数，且当错误!未找到引用源。
时，有错误!未找到引用源。
，则当错误!未找到引用源。
时，错误!未找到引用源。
的表达式为（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
5．下列函数中是奇函数的为( )A．y=错误!未找到引用源。
B．y=错误!未找到引用源。
C．y=2cosx D．y=lg(sinx+错误!未找到引用源。
)二、填空题6．在满足错误!未找到引用源。
＝0的x中，在数轴上求离点错误!未找到引用源。
最近的那个整数值是．7．已知错误!未找到引用源。
（其中a、b为常数），若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
__________．8．若错误!未找到引用源。
，则锐角错误!未找到引用源。
的取值范围是_________．9．由函数错误!未找到引用源。
与函数y＝2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________．10．函数错误!未找到引用源。
的图象关于错误!未找到引用源。
轴对称的充要条件是三、解答题11．如图，表示电流强度I与时间t的关系式错误!未找到引用源。
在一个周期内的图象.①试根据图象写出错误!未找到引用源。
的解析式②为了使错误!未找到引用源。
中t在任意一段错误!未找到引用源。
秒的时间内I能同时取最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数错误!未找到引用源。
人教A版高中数学选修建德新安江高级三角函数模型简单应用同步练习二新
1．你能利用函数sin y x =的奇偶性画出图象吗？它与函数sin y x =的图象有什么联系？2．已知：1sin 2α=-，若(1),22ππα∈-⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)(0,2)απ∈； (3)α是第三象限角；(4)α∈R ．分别求角α。
3．已知[]0,2θπ∈, sin ,cos θθ分别是方程210x kx k -++=的两个根，求角θ．4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证： （1）sin A ＝sin C ；（2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）； （3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ．5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商2π-2π1y品m件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大?6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着．．将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖时，为确保对接成直角，在铁板上的下剪线正好是余弦曲线：cos xy aa的一个周期的图象，问弯脖的直径为12 cm时，a应是多少cm?8．已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，2π]上的单调性。
9、（14分）如图，扇形AOB 的半径为2，扇形的圆心角为4π，PQRS 是扇形的内接矩形，设∠AOP=θ，（1） 试用θ表示矩形PQRS 的面积y ；（2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式y.10.某人用绳拉车沿直线方向前进100米,若绳与行进方向的夹角为30°,人的拉力为20牛,则人对车所做的功为多少焦.11．某港口水的深度y （米）是时间t ，单位：时）（24t 0≤≤，记作y=f(x),下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数b t Asin y +=ϖ的图象。
人教版数学高一-浙江省建德市新安江高级中学《1.2 任意的三角函数》同步练习二
一、选择题1．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在直线y ＝x 上D ．在直线y ＝－x 上2．如果4π＜θ＜2π，那么下列各式中正确的是( ) A ．cos θ＜tan θ＜sin θ B ．sin θ＜cos θ＜tan θ C ．tan θ＜sin θ＜cos θD ．cos θ＜sin θ＜tan θ3．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若sin αtan α＞0，则α的终边在( ) A ．第一象限B ．第四象限C ．第二或第三象限D ．第一或第四象限5．若角α的终边与直线y =3x 重合且sin α＜0，又P （m ，n ）是角α终边上一点，且|OP |=10，则m －n 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4二、填空题6．若0≤θ＜2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是_________．7．在（0，2π）内使sin x ＞|cos x |的x 的取值范围是_________．三、解答题8．比较下列各组数的大小： （1）sin 1和sin 3π； （2）cos 7π4和cos 7π5； （3）tan8π9和tan 7π9；（4）sin 5π和tan 5π．9．已知α是第三象限角，试判断sin （cos α）·cos （sin α）的符号． 10．求下列函数的定义域： （1）y =)lg(cos x ； （2）y =lgsin2x +29x ．11． 当α∈（0，2π）时，求证：sin α＜α＜tan α．12． 已知θ为正锐角，求证： （1）sin θ＋cos θ＜2π； （2）sin 3θ+cos 3θ＜1．13．已知角α的终边经过点P （－3cos θ，4cos θ），其中θ∈（2k π+2π，2k π+π）（k ∈Z ），求角α的各三角函数值．14．（1）已知角α的终边经过点P（3，4），求角α的六个三角函数值；（2）已知角α的终边经过点P（3t，4t），t≠0，求角α的六个三角函数值．15．已知角α终边上的一点P，P与x轴的距离和它与y轴的距离之比为3 ：4，且α求：cosα和tanα的值．sin<参考答案一、选择题1．B 2．D 3．D 4．D 5．A二、填空题6．［0，4π］∪（2π，4π5］∪（2π3，2π） 7．（4π，4π3）三、解答题10．解：（1）由lg （cos x ）≥0，得cos x ≥1，又cos x ≤1， ∴cos x =1．∴x =2k π，k ∈Z ．故此函数的定义域为{x |x =2k π，k ∈Z }． （2）∵sin2x >0，∴2k π<2x <2k π+π（k ∈Z ）． ∴k π<x <k π+2π（k ∈Z ）． ①又9－x 2≥0，∴－3≤x ≤3．故y =lgsin2x +29x -的定义域为{x |－3≤x <－2π或0<x <2π}． 11． 分析：利用代数方法很难得证．若利用三角函数线借助几何直观建立面积不等式，则可迎刃而解．解：如下图，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于点P ，α的正弦线、正切线为MP 、AT ，则MP =sin α，AT =tan α．Oyx P TMα∵△AOP 221sin α，S 扇形AOP =21α·r 2=21α，S △OAT =21OA ·AT =21AT =21tan α． 又S △AOP ＜S 扇形AOP ＜S △AOT ， ∴21sin α＜21α＜21tan α，即sin α＜α＜tan α．13． 解：∵θ∈（2k π+2π，2k π+π）（k ∈Z ）， ∴cos θ＜0．∴x =－3cos θ，y =4cos θ，r =22y x +=22)cos 4()cos 3(θθ+-=－5cos θ． ∴sin α=－54，cos α=53，tan α=－34，cot α=－43，sec α=35，csc α=－45．。
浙江省建德市新安江高级中学高三数学《任意角三角函数、诱导公式》同步练习
浙江省建德市新安江高级中学高三数学《随意角的三角函数、引诱公式》同步练习一．课标要求：1．认识随意角的观点和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2．借助单位圆理解随意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；3 .借助单位圆中的三角函数线推导出引诱公式（π/2±α,π±α的正弦、余弦、正切）。
二．重点精讲1．随意角的观点2．终边同样的角、区间角与象限角3．弧度制4．三角函数定义5．三角函数线6．同角三角函数关系式7．引诱公式三、基础练习1、sin585°的值为（）.2B.2C.3D.3 22222、若sin4,tan0，则cos53、若角4,aa的值是（A43C．436 00的终边上有一点，则3．．）．44、已知costan0，那么角是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角5、设MP和OM分别是角17的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式此中正确的选项是___18①MPOM0；②OM0MP；③OMMP0；④MP0OM6、设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是。
三．典例分析题型1：象限角例1．已知角45；（1）在区间[720,0]内找出全部与角有同样终边的角；（2）会合M x|x18045,k Z，Nx|xk18045,kZ那么两会合的关系是什么？4例2．若sinθcosθ＞0，则θ在（）A．第一、二象限B ．第一、三象限．第一、四象限D．第二、四象限例3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限例4．已知“是第三象限角，则是第几象限角?3题型2：三角函数定义例5．已知角的终边过点(a,2a)(a 0)，求的四个三角函数值。
例6．已知角的终边上一点P(3,m)，且sin2m的值。
，求cos,sin4题型3：引诱公式例7．化简：（1）sin(180o)sin()tan(360o)；tan (180o)cos()cos(180o)（2）sin(n)sin(n)(nZ)。
(浙江专版)高中数学课时跟踪检测(三)解三角形的实际应用举例新人教A版必修5
X解析：选A 设AB= x ，则在Rt △ ABC 中，C B=寸，所以BD = a +课时跟踪检测（三） 解三角形的实际应用举例层级一学业水平达标 1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得 其跨度AB 的长为（ ） A. 12 mB. 8 mC. 3 ：3 mD. 4 '3 m 解析：选D 由题意知，/ A =Z B = 30°, 所以/ C = 180°— 30°— 30°= 120°, AB AC由正弦定理得，sin L sin B' 即 AB= A 。
$ in B C = 4 •驾20= 4 :'3.sin B sin 30 ¥2.一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔 P 的南偏西75°距塔68 n mile的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为 （）A.宁 n mile/hB. 34 .： 6 n mile/hC.号 n mile/hD. 34 ：2 n mile/h解析：选A 如图所示,在厶PMh 中，• PM ° = •黑°,sin 45 sin 120••• MN= 68；' 3= 34 ；6… 3.如图，D, C, B 三点在地面同一直线上， n mile/h.a （ a <3 ），贝U A 点离地面的高度 AB 等于（ a sin a - sin 3sin 3 — a a sin a - sin 3co s a — 3a sin a • cos 3sin3 — aa co sa - sin3cosa — 3A.B.C. D. DC= a ,从C, D 两点测得x「,寸，又因为如图，BD= 100,/ BDA= 45°,/ BCA= 30°,解析:xxxa在Rt △ ABD 中, BD=，所以BD= a +=，从中求得x =tan atan 3 tan a11tan a tan 3a sin a sin 卩ta n 3 — tan a~ sin 3 cos a — sin a cos 卩一 sin 卩一 aa tan a tan 卩 a Sin a前卩，故选A.4. 设甲、乙两幢楼相距 20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 A. 30°，则甲、乙两幢楼的高分别是20 3 m , 40y^ mB . 10 3 m,20 寸3 mC. 10( 3 — 2)m,20 3 m解析：选 A 由题意，知h 甲=20tan 60 ° = 20 3(m), 響(m).h 乙=20tan 60 ° — 20tan 305.甲船在岛 B 的正南A 处，AB= 10 km ，甲船以4 km/h 自岛B 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、 的速度向正北航行，同时乙船 乙两船相距最近时，它们的航行时间是()150 A. min C. 21.5 minD. 2.15 h解析：选A 由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行甲船位于C 点，乙船位于D 点，如图.则BC= 10— 4t , BD= 6t , / CBD= 120°, 此时两船间的距离最近，根据余弦定理得CD = BC + BD — 2BC- BD Cos / CBDt 小时后,5=(10 — 4t )2 + 36t 2 + 6t (10 — 4t ) = 28t 2— 20t + 100,所以当 t =初时，CD 取 得最小值，即两船间的距离最近，所以它们的航行时间是号min ，故选A.6•某人从A 处出发，沿北偏东 60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走 2 km 到C 处，贝UA , C 两地的距离为km.解析：如图所示，由题意可知 AB= 3.3, BC= 2,/ ABC= 150°. 由余弦定理，得AC = 27 + 4 — 2X3 3 X 2X cos 150 ° = 49, AC= 7.则A , C 两地的距离为7 km. 答案：77.坡度为45°的斜坡长为100 m 现在要把坡度改为 30°,则坡底要伸长 m.北设 CD )= x ，所以(x + DA • tan 30 ° = DA- tan 45=50( 6- 2)m. 答案：50(6- 2)&一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°,爬行10 cm 捕捉答案：呼9.如图，甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行，乙船按固 定方向匀速直线航行，当甲船位于A 处时，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达 A 处时，乙 船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B 处，此时两船相距10 2海里，求 乙船航行的速度.解：如图，连接 八^,在厶A 1A 2B 2中，易知/ AAB = 60°,又易求得AA ?= 30^J 2X 3= 10^2= A 2B 2,3•••△ AAR 为正三角形， ••• AB = 10 谑.在厶ABB 中，易知/ BAB = 45°,• ( B1B 2) 2= 400+ 200-2X 20X 102X 彳=200,• BB = 10 屉•••乙船每小时航行 30 2海里.10.如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路 BC 和一条索道AC 小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登.已知/ABC=又 DA= BD- cos 45 =100X所以x =DA- tan 45tan 30 °到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么 x =________cm. 解析：如图所示，设蜘蛛原来在 O 点，先爬行到 A 点，再爬行到B点，易知在厶 AOB 中 AB= 10 cm ，/ OA = 75°,/ ABO= 45则/ AO = 60°，由正弦定理知:AB- sin / ABO 10X sin 45 sin/ AOB sin 60 °10 .63 (cm).¥ = 50 , 2,120°,/ AD(= 150°, BD= 1千米，AC= 3千米.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2千米，请问：两位登山爱好者能否在 2个小时内徒步登上山峰(即从B 点出发到达C点).在厶 ADC 中，由余弦定理得： AC = AD + DC — 2AD- DC- cos 150。
高中数学解三角形应用举例(有答案)
- --解三角形应用举例一．选择题〔共19小题〕1．〔2021•模拟〕如图，A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，那么A、B两点的距离为〔〕A．m B．m C．m D．m2．〔2021•海淀区二模〕如下图，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，宁同学首先选定了与A、B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：〔△ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c〕：①测量A、C、b；②测量a、b、C；③测量A、B、a；那么一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为〔〕A．①②B．②③C．①③D．①②③3．〔2021•一模〕在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开场时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ=90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=30°，那么tan∠OPQ的值为〔〕A．B．C．D．4．〔2021•三模〕在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A、B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北α的方向上，在B处测得塔底C在西偏北β的方向上，并测得塔顶D的仰角为γ，AB=a，0＜γ＜β＜α＜，那么此塔高CD为〔〕B．tanγA．tanγD．tanγC．tanγ5．〔2021•模拟〕如图，在铁路建立中，需要确定隧道两端的距离〔单位：百米〕，已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB=60°，那么A，B之间的距离为〔〕A．7B．10C．6D．86．〔2021•房山区一模〕如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于800cm2的接矩形玻璃〔阴影局部〕，那么其边长x〔单位：cm〕的取值围是〔〕A．[10，30] B．[25，32] C．[20，35] D．[20，40]7．〔2021•一模〕如下图，当甲船位于A处时得悉，在其正向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，那么sinθ的值为〔〕A．B．C．D．8．〔2021•三模〕某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，AB=a，0＜β＜α＜，那么水塔CD的高度为〔〕A．B．C．D．9．〔2021•一模〕在等腰Rt△ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA 反射后又回到原来的点P．假设，那么△PQR的周长等于〔〕A．B．C．D．10．〔2021•一模〕台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，那么B城市处于危险区的时间为〔〕A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时11．〔2021•模拟〕一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3〔单位：牛顿〕的作用而处于平衡状态．D成120°角，且y=g〔x〕的大小分别为1和2，那么有〔〕A．F1，F3成90°角B．F1，F3成150°角C．F2，F3成90°角D．F2，F3成60°角12．〔2021•二模〕A船在灯塔C北偏东75°且A到C的距离为3km，B船在灯塔C西偏北15o且B到C的距离为km，那么A，B两船的距离为〔〕A．5km B．km C．4km D．km13．〔2021•模拟〕如图，在山脚下A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达B，在B处测得山顶P的仰角为γ，那么山高PQ为〔〕A．B．C．D．14．〔2021•武昌区模拟〕某人朝正向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为〔〕A．2或B．2C．D．315．〔2021•江门一模〕海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距海里，渔船B被困海面，B距离基地100海里，而且在救护船A正西方，那么渔船B与救护船A的距离是〔〕A．100海里B．200海里C．100海里或200海里D．海里16．〔2021•模拟〕飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km 到达丙地，那么丙地距甲地距离为〔〕A．1400km B．700km C．700km D．1400km17．〔2021•二模〕如图，一条宽为a的直角走廊，现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b〔0＜b＜a〕．那么该平板车长度的最大值为〔〕A．B．C．D．18．〔2021•二模〕2021年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米〔如下图〕，那么旗杆的高度为〔〕A．10米B．30米C．10米D．米19．〔2021•一模〕2021年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，看台上第一排和最后一排的距离米〔如下图〕，旗杆底部与第一排在一个水平面上，国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为〔〕A．〔米/秒〕B．〔米/秒〕C．〔米/秒〕D．〔米/秒〕二．填空题〔共7小题〕20．〔2021•模拟〕如图，割线PBC经过圆心O，PB=OB=1，PB绕点O逆时针旋120°到OD，连PD交圆O于点E，那么PE= _________ ．21．〔2021•模拟〕△ABC中，角A，B，C所对应的边的边长分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2〔sin2A﹣sin2C〕=〔sinA﹣sinB〕b，那么△ABC面积的最大值为_________ ．22．〔2021•二模〕一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开场航行时，从A点观测灯塔C的方位角〔从正北方向顺时针转到目标方向的水平角〕为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，那么A到C的距离是_________ 海里．23．〔2021•潍坊二模〕如下图，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ〔0°＜θ＜45°〕的C处，且cosθ=，A、C两处的距离为10海里，那么该货船的船速为_________ 海里/小时．24．〔2021•潍坊三模〕如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，A、B间的距离为3km，某公交公司要在A、B之间的某点N处建造一个公交站点，使得N对C、D两个小区的视角∠D最大，那么N处与A处的距离为_________ km．25．〔2021•一模〕为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度〔单位：km〕如下图，且∠B+∠D=180°，那么AC的长为_________ km．26．〔2021•黄冈模拟〕路灯距地平面为8m，一个身高为1.75m的人以m/s的速率，从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为_________ m/s．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•模拟〕如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=15°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=1〔百米〕．〔1〕求△CDE的面积；〔2〕求A，B之间的距离．28．〔2021•模拟〕如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N 〔异于村庄A〕，要求PM=PN=MN=2〔单位：千米〕．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小〔即工厂与村庄的距离最远〕．29．〔2021•〕某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．〔Ⅰ〕假设希望相遇时小艇的航行距离最小，那么小艇航行速度的大小应为多少？〔Ⅱ〕为保证小艇在30分钟〔含30分钟〕能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；〔Ⅲ〕是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？假设存在，试确定v的取值围；假设不存在，请说明理由．30．在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的西偏南65°距离为300米的地方，在A测得山顶的仰角是30°，求山高〔准确到10米，sin70°=0.94〕．2021年12月27日高中数学解三角形应用举例参考答案与试题解析一．选择题〔共19小题〕1．〔2021•模拟〕如图，A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，那么A、B两点的距离为〔〕A．m B．m C．m D．m考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB解答：解：由正弦定理得，∴AB===50，∴A，B两点的距离为50m，应选：D．点评：此题考察了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解此题的关键．2．〔2021•海淀区二模〕如下图，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，宁同学首先选定了与A、B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：〔△ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c〕：①测量A、C、b；②测量a、b、C；③测量A、B、a；那么一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为〔〕A．①②B．②③C．①③D．①②③考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：根据图形，可以知道a，b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A，B两点间的距离唯一即可．解答：解：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离．对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．应选：D．点评：此题以实际问题为素材，考察解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接测量，注意正弦定理的应用．3．〔2021•一模〕在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开场时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ=90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=30°，那么tan∠OPQ的值为〔〕A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：根据题意设PQ=x，可得QR=x，∠POQ=90°，∠QOR=30°，∠OPQ+∠R=60°．算出∠R=60°﹣∠OPQ，分别在△ORQ、△OPQ中利用正弦定理，计算出OQ长，再建立关于∠OPQ的等式，解之即可求出tan∠OPQ的值．解答：解：根据题意，设PQ=x，那么QR=2x，∵∠POQ=90°，∠QOR=30°，∴∠OPQ+∠R=60°，即∠R=60°﹣∠OPQ在△ORQ中，由正弦定理得∴OQ==2xsin〔60°﹣∠OPQ〕在△OPQ中，由正弦定理得OQ=×sin∠OPQ=xsin∠OPQ∴2xsin〔60°﹣∠OPQ〕=xsin∠OPQ∴2sin〔60°﹣∠OPQ〕=sin∠OPQ∴=sin∠OPQ整理得cos∠OPQ=2sin∠OPQ，所以tan∠OPQ==．应选：B点评：此题考察利用正弦定理解决实际问题，要把实际问题转化为数学问题，利用三角函数有关知识进展求解是解决此题的关键．4．〔2021•三模〕在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A、B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北α的方向上，在B处测得塔底C在西偏北β的方向上，并测得塔顶D的仰角为γ，AB=a，0＜γ＜β＜α＜，那么此塔高CD为〔〕B．tanγA．tanγD．tanγC．tanγ考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先求出BC，再求出CD即可．解答：解：在△ABC中，∠ACB=α﹣β，∠ACBA=π﹣α，AB=a，∴，∴BC=，∴CD=BCtanγ=tanγ．应选：B．点评：此题主要考察了解三角形的实际应用．考察了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．5．〔2021•模拟〕如图，在铁路建立中，需要确定隧道两端的距离〔单位：百米〕，已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB=60°，那么A，B之间的距离为〔〕A．7B．10C．6D．8考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：由余弦定理和边和角求得AB的长度．解答：解：由余弦定理知AB===7，所以A，B之间的距离为7百米．应选：A．点评：此题主要考察了余弦定理的应用．两边和一个角，求边常用余弦定理来解决．6．〔2021•房山区一模〕如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于800cm2的接矩形玻璃〔阴影局部〕，那么其边长x〔单位：cm〕的取值围是〔〕A．[10，30] B．[25，32] C．[20，35] D．[20，40]考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，〔0＜x＜60〕．矩形的面积S=x〔60﹣x〕，利用S≥800解出即可．解答：解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，解得y=60﹣x，〔0＜x＜60〕∴矩形的面积S=x〔60﹣x〕，∵矩形花园的面积不小于800m2，∴x〔60﹣x〕≥800，化为〔x﹣20〕〔x﹣40〕≤0，解得20≤x≤40．满足0＜x＜60．故其边长x〔单位m〕的取值围是[20，40]．应选：D．点评：此题考察了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、一元二次不等式的解法等根底知识与根本技能方法，属于中档题．7．〔2021•一模〕如下图，当甲船位于A处时得悉，在其正向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，那么sinθ的值为〔〕A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：连接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sin∠ACB的值，即可求出sinθ的值．解答：解：连接BC，在△ABC中，AC=10海里，AB=20海里，∠CAB=120°根据余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700，∴BC=10海里，根据正弦定理得，即，∴sin∠ACB=，∴sinθ=．应选：A．点评：解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系．8．〔2021•三模〕某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，AB=a，0＜β＜α＜，那么水塔CD的高度为〔〕A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：设CD=x，求出AC，BC，利用a=BC﹣AC，即可求出水塔CD的高度．解答：解：设CD=x，那么AC=，∵BC=，a=BC﹣AC，∴a=﹣，∴x==，应选：B．点评：此题考察解三角形的实际应用，考察学生的计算能力，求出AC，BC是关键．9．〔2021•一模〕在等腰Rt△ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA 反射后又回到原来的点P．假设，那么△PQR的周长等于〔〕A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：综合题；解三角形．分析：建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得△PQR的周长．解答：解：建立如下图的坐标系：可得B〔4，0〕，C〔0，4〕，P〔，0〕故直线BC的方程为x+y=4，P关于y轴的对称点P2〔﹣，0〕，设点P关于直线BC的对称点P1〔x，y〕，满足，解得，即P1〔4，〕，由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，故△PQR的周长等于|P1P2|==．应选：A．点评：此题考察直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．10．〔2021•一模〕台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，那么B城市处于危险区的时间为〔〕A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，进而可知B点坐标和台风中心移动的轨迹，求得点B到射线的距离，进而求得答案．解答：解：如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，那么B〔40，0〕，台风中心移动的轨迹为射线y=x 〔x≥0〕，而点B到射线y=x的距离d==20＜30，故l=2=20，故B城市处于危险区的时间为1小时，应选B．点评：此题主要考察了解三角形的实际应用．通过建立直角坐标系把三角形问题转换成解析几何的问题，方便了问题的解决．11．〔2021•模拟〕一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3〔单位：牛顿〕的作用而处于平衡状态．D成120°角，且y=g〔x〕的大小分别为1和2，那么有〔〕A．F1，F3成90°角B．F1，F3成150°角C．F2，F3成90°角D．F2，F3成60°角考点：解三角形的实际应用；向量的模；向量在物理中的应用．分析：处于平衡状态即三个力合力为0，利用向量表示出等式，将等式变形平方，利用数量积公式求出，T通过三角形边的关系求出角．解答：解：由⇒⇒=+2||•||cos120°=由知，F1，F3成90°角，应选A．点评：此题考察向量的数量积公式、向量模的求法、及解三角形．12．〔2021•二模〕A船在灯塔C北偏东75°且A到C的距离为3km，B船在灯塔C西偏北15o且B到C的距离为km，那么A，B两船的距离为〔〕A．5km B．km C．4km D．km考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先画出简图求出角A的值，再由余弦定理可得到AB的值．解答：解：依题意可得简图，可知A=150°，根据余弦定理可得，AB2=BC2+AC2﹣2BC×ACcosC=16，∴AB=4．应选C．点评：此题主要考察余弦定理的应用．属根底题．主要在于能够准确的画出图形来．13．〔2021•模拟〕如图，在山脚下A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达B，在B处测得山顶P的仰角为γ，那么山高PQ为〔〕A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：△PAB中，由正弦定理可得PB=，根据PQ=PC+CQ=PB•sinγ+asinβ通分化简可得结果．解答：解：△PAB中，∠PAB=α﹣β，∠BPA=〔﹣α〕﹣〔﹣γ〕=γ﹣α，∴=，即PB=．PQ=PC+CQ=PB•sinγ+asinβ=，应选B．点评：此题考察正弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，求出PB=，是解题的关键．14．〔2021•武昌区模拟〕某人朝正向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为〔〕A．2或B．2C．D．3考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x的方程即可求得x的值．解答：解：如图，AB=x，BC=3，AC=，∠ABC=30°．由余弦定理得3=x2+9﹣2×3×x×cos30°．解得x=2或x=应选A．点评：考察解三角形的知识，其特点从应用题中抽象出三角形．根据数据特点选择适宜的定理建立方程求解．15．〔2021•江门一模〕海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距海里，渔船B被困海面，B距离基地100海里，而且在救护船A正西方，那么渔船B与救护船A的距离是〔〕A．100海里B．200海里C．100海里或200海里D．海里考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先根据正弦定理求得sinB的值，进而确定B的值，最后根据B的值，求得AB．解答：解：设基地为与O处，根据正弦定理可知=∴sinB=•OA==∴B=60°或120°当B=60°，∠BOA=90°，∠A=30°BA=2OB=200当B=120°，∠A=∠B=30°∴OB=AB=100故渔船B与救护船A的距离是100或200海里．应选C点评：此题主要考察了解三角形的实际应用．考察了学生转化和化归思想和逻辑思维的能力．16．〔2021•模拟〕飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km 到达丙地，那么丙地距甲地距离为〔〕A．1400km B．700km C．700km D．1400km考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；数形结合．分析：设A，B，C分别对应甲、乙、丙三地，由B向x轴做垂线垂足为D，那么∠BAD和∠DBC可知，进而求得∠ABC=60°判断出三角形为正三角形，进而求得AC．解答：解：依题意，设A，B，C分别对应甲、乙、丙三地，由B向x轴做垂线垂足为D，那么∠BAD=75°，∠DBC=75°∴∠ABC=75°﹣15°=60°∴AB=BC=1400∴△ABC为正三角形∴AC=1400千米．应选A．点评：此题主要考察了解三角形的应用．要注意特殊三角形的运用．17．〔2021•二模〕如图，一条宽为a的直角走廊，现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b〔0＜b＜a〕．那么该平板车长度的最大值为〔〕A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：先设平板手推车的长度不能超过x米，此时平板车所形成的三角形：ADG为等腰直角三角形．连接EG与AD交于点F，利用ADG为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度解答：解：设平板车的长度的最大值为x由题意可得△ADG为等腰直角三角形，连接EG交AD于F，那么EG== aFG=EG﹣EF=得△ADG为等腰直角三角形，AD=2AF=2FG=应选：C点评：此题主要考察了在实际问题中建立三角函数模型，解答的关键是由实际问题：要想顺利通过直角走廊，转化为数学问题：此时平板手推车所形成的三角形为等腰直角三角形18．〔2021•二模〕2021年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米〔如下图〕，那么旗杆的高度为〔〕A．10米B．30米C．10米D．米考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；数形结合．分析：先画出示意图，根据题意可求得∠AEC和∠ACE，那么∠EAC可求，然后利用正弦定理求得AC，最后在Rt△ABC中利用AB=AC•sin∠ACB求得答案．解答：解：如下图，依题意可知∠AEC=45°，∠ACE=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠EAC=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知=，∴AC=•sin∠CEA=20米∴在Rt△ABC中，AB=AC•sin∠ACB=20×=30米答：旗杆的高度为30米应选B．点评：此题主要考察了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决．19．〔2021•一模〕2021年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，看台上第一排和最后一排的距离米〔如下图〕，旗杆底部与第一排在一个水平面上，国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为〔〕A．〔米/秒〕B．〔米/秒〕C．〔米/秒〕D．〔米/秒〕考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：先根据题意可知∠DAB，∠ABD和∠ADB，AB，然后在△ABD利用正弦定理求得BD，进而在Rt△BCD求得CD，最后利用路程除以时间求得旗手升旗的速度．解答：解：由条件得△ABD中，∠DAB=45°，∠ABD=105°，∠ADB=30°，AB=10，由正弦定理得BD=•AB=20那么在Rt△BCD中，CD=20×sin60°=30所以速度V==米/秒应选A．点评：此题主要考察了解三角形的实际应用．考察了学生分析问题和根本的推理能力，运算能力．二．填空题〔共7小题〕20．〔2021•模拟〕如图，割线PBC经过圆心O，PB=OB=1，PB绕点O逆时针旋120°到OD，连PD交圆O于点E，那么PE=．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先由余弦定理求出PD，再根据割线定理即可求出PE，问题解决．解答：解：由余弦定理得，PD2=OD2+OP2﹣2OD•OPcos120°=1+4﹣2×1×2×〔﹣〕=7，所以PD=．根据割线定理PE•PD=PB•PC得，PE=1×3，所以PE=．故答案为．点评：三角形两边与夹角时，一定要想到余弦定理的运用，之后做题的思路也许会豁然开朗．21．〔2021•模拟〕△ABC中，角A，B，C所对应的边的边长分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2〔sin2A ﹣sin2C〕=〔sinA﹣sinB〕b，那么△ABC面积的最大值为．考点：三角形中的几何计算；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：把b=2sinB 代入等式并应用正弦定理得a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理得cosC=，得到C=60°，由ab=a2+b2﹣3≥2ab﹣3 求得ab最大值为3，从而求得△ABC面积的最大值．解答：解：由正弦定理可得b=2RsinB=2sinB，代入等式得2sin2A﹣2sin2C=2sinAsinB﹣2sin2B，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB，∴a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，∴C=60°．∵ab=a2+b2﹣c2=a2+b2﹣〔2rsinC〕2=a2+b2﹣3≥2ab﹣3，∴ab≤3 〔当且仅当a=b时，取等号〕，∴△ABC面积为≤×3×=，故答案为．点评：此题考察正弦定理、余弦定理，根本不等式的应用，求出ab≤3是解题的难点．22．〔2021•二模〕一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开场航行时，从A点观测灯塔C的方位角〔从正北方向顺时针转到目标方向的水平角〕为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，那么A到C的距离是30〔+〕海里．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里，由正弦定理可得AC．解答：解：由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里．由正弦定理可得AC==30〔+〕海里．故答案为：30〔+〕．点评：此题考察正弦定理，考察学生的计算能力，属于根底题．23．〔2021•潍坊二模〕如下图，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ〔0°＜θ＜45°〕的C处，且cosθ=，A、C两处的距离为10海里，那么该货船的船速为4海里/小时．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：根据余弦定理求出BC的长度即可得到结论．解答：解：∵cosθ=，∴sin=，由题意得∠BAC=45°﹣θ，即cos∠BAC=cos〔45°﹣θ〕=，∵AB=20，AC=10，∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC，即BC2=〔20〕2+102﹣2×20×10×=800+100﹣560=340，即BC=，设船速为x，那么=2，∴x=4〔海里/小时〕，故答案为：4点评：此题主要考察解三角形的应用，根据条件求出cos∠BAC，以及利用余弦定理求出BC的长度是解决此题的关键．24．〔2021•潍坊三模〕如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，A、B间的距离为3km，某公交公司要在A、B之间的某点N处建造一个公交站点，使得N对C、D两个小区的视角∠D最大，那么N处与A处的距离为2﹣3 km．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；三角函数的求值．分析：设出NA的长度x，把∠A与∠DNB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠D的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用根本不等式求最值，最后得到使N对C、D两个小区的视角∠D最大时的x值，即可确定点N的位置．解答：解：设NA=x，∠A=α，∠DNB=β．依题意有tanα=，tanβ=，tan∠D=tan[π﹣〔α+β〕]=﹣tan〔α+β〕=﹣=，令t=x+3，由0＜x＜3，得3＜t＜6，那么=∵4≤t+＜3+∴t=2，即x=2﹣3时取得最大角，故N处与A处的距离为〔2﹣3〕km．故答案为：2﹣3．点评：此题考察解三角形的实际应用，考察了利用根本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．25．〔2021•一模〕为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度〔单位：km〕如下图，且∠B+∠D=180°，那么AC的长为km．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理，结合∠B+∠D=180°，即可求出AC的长．解答：解：由余弦定理可得AC2=22+32﹣2•2•3•cosD=13﹣12cosD，AC2=52+82﹣2•5•8•cosB=89﹣80cosB，∵∠B+∠D=180°，∴2AC2=13+89=102，∴AC=km．故答案为：点评：此题考察余弦定理，考察三角函数知识，正确运用余弦定理是关键．26．〔2021•黄冈模拟〕路灯距地平面为8m，一个身高为1.75m的人以m/s的速率，从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为m/s．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：由题意画出几何图形，设出人从C点运动到B处路程、运动时间及人影长度，由三角形相似求出人影长度与运动路程间的关系式，把运动路程用运动速度和运动时间替换，求导后得答案．解答：解：如图，路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB．设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t〔单位：秒〕，AB为人影长度，设为y，∵BE∥CD，∴．∴，∴y=x，又∵x=t，∴y=x=t．那么y′=，∴人影长度的变化速率为m/s．故答案为：．点评：此题考察了解三角形的实际应用，解答此题的关键是明确题意，把实际问题转化为数学问题，是中档题．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•模拟〕如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=15°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=1〔百米〕．〔1〕求△CDE的面积；〔2〕求A，B之间的距离．考点：解三角形的实际应用；余弦定理．专题：计算题．分析：〔1〕连接DE，在△CDE中，求出∠DCE，直接利用三角形的面积公式求解即可．。
建德市新安江高级中学高二数学必修四1.4三角函数的图像与性质同步练习一新
一、选择题1．若cos x =0，则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ） B ．2π+k π（k ∈Z ） C ． 2π+2k π（k ∈Z ）D ．－2π+2k π（k ∈Z ）2．使cos x =mm-+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．m ≤0C ．－1＜m ＜1D ．m ＜－1或m ＞13．函数y =3cos （52x －6π）的最小正周期是( ) A ．5π2 B ．2π5 C ．2π D ．5π4．函数y =xxcos 2cos 2-+（x ∈R ）的最大值是 ( )A ．35B ．25 C ．3 D ．55．函数y =2sin 2x +2cos x －3的最大值是( ) A ．－1 B ．21 C ．－21 D ．－56．函数y =tan ax的最小正周期是( ) A ．a π B ．|a |π C ．aπ D ．||a π7．函数y =tan （4π－x ）的定义域是( ) A ．{x |x ≠4π，x ∈R } B ．{x |x ≠－4π，x ∈R } C ．{x |x ≠k π+4π，k ∈Z ，x ∈R }D ．{x |x ≠k π+4π3，k ∈Z ，x ∈R }8．函数y =tan x （－4π≤x ≤4π且x ≠0）的值域是( ) A ．［－1，1］ B ．［－1，0）∪（0，1］C ．（－∞，1］D ．［－1，+∞）9．下列函数中，同时满足①在（0，2π）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( )A ．y =tan xB ．y =cos xC ．y =tan2xD ．y =|sin x |10．函数y =2tan （3x －4π）的一个对称中心是( ) A ．（3π，0） B ．（6π，0） C ．（－4π，0） D ．（－2π，0）二、解答题11．比较下列各数大小： （1）tan2与tan9； （2）tan1与cot4．12．已知α、β∈（2π，π），且tan α＜cot β，求证：α+β＜2π3．13．求函数y =tan 2x +tan x +1（x ∈R 且x ≠2π+k π，k ∈Z ）的值域．14．求函数y =－2tan （3x +3π）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．15求函数y=1-xx+lg（36－x2）的定义域．22-+cos3cos参考答案一、选择题1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．B 7．D 8．B 9．A 10．C 二、解答题13．解：设t =tan x ，由正切函数的值域可得t ∈R ， 则y =t 2+t +1=（t +21）2+43≥43．∴原函数的值域是［43，+∞）． 点评：由于正切函数的值域为R ，所以才能在R 上求二次函数的值域． 14．解：由3x +3π≠k π+2π，得x ≠18π3π+k （k ∈Z ）， ∴所求的函数定义域为{x |x ≠18π3π+k （k ∈Z ）}，值域为R ，周期为3π， 它既不是奇函数，也不是偶函数． k π－2π≤3x +3π≤k π+2π（k ∈Z ），∴18π53π-k ≤x ≤18π3π+k （k ∈Z ）． 在区间［18π53π-k ，18π3π+k ］（k ∈Z ）上是单调减函数．。
2020年浙江高三数学总复习：解三角形及其实际应用举例课时训练
课时训练【选题明细表】知识点、方法题号在平面图形中解二角形1,2,3,4,5,6,7,9,11,12,14在空间图形中解三角形8,10,13,15一、选择题1. 如图所示，在四边形ABCD中,已知AD丄CD,AD=10,AB=14/BDA二60° , / BCD=135 ,则BC的长为（ A ）(A) 8 (B)9(C)14 (D)8解析：在厶ABD中,设BD=x,则BA二B D+A D~2BD • AD • cos / BDA,即142=X2+102-2 x 10x • cos 60 ° ,整理得X2-10X-96=0,解得X I =16,X2=-6(舍去).BD BC在厶BCD中,由正弦定理得d' = d ,16所以BC= ' 「• sin 30 ° =8 .故选A.2. 已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得/ ABC=120 ,则A,C两地间的距离为(D )(A)10 km (B) km (C)10 km (D)10 km解析：利用余弦定理AC二A B+B O2AB・ BCcos 120° =16+26-12X 10X 20X (- )=700,所以AC=10 (km).故选D.3. 如图,从气球A上测得正前方河流的两岸B,C的俯角分别为75°30°，此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于(C )(A) 240( -1)m(B) 180( -1)m(C) 120( -1)m(D) 30( +1)m60 AB BC解析:因为AB=^7即严曲『3皿匚ABsin^ 60x^2所以BC='二「； =120( -1)m.故选C.4. 如图，已知正方形ABC啲边长为1,延长BA至E,使AE=1连接EC,ED, 则sin / CED等于(B )3A/10A/IO(A) ：(B)'3(C) ' (D)解析:EB 二EA+AB=2,EC=「 =-二，71 71 3n/ EDC h EDA+Z ADC=+ =丨.sin^CED DC 1 乔由正弦定理，得;，':，1' = ■'==,J 弓 A /53n A /10 所以 sin Z CED= • sin Z EDC= • sin 丨='.故选B.5. 如图，在厶ABC 中 ,D 是边AC 上的点，且AB=AD,2AB= BD,BC=2BD 则 sin C 的值为（D ）BA D c(A) (B)'A /5(C) (D)'2c 4c解析：设 AB=c ，则 AD=c,BD= ,BC=,在厶ABD 中,由余弦定理得cos A==,贝卩sin A=34c z c BC 2^2 在厶ABC 中 ,由正弦定理得宀：■ =「=「解得sin C=.6. 如图所示，在梯形 ABCD 中 ,AD// BC,AB=5,AC=9,/ BCA=30 , / ADB=解析：在厶 ABC 中 ,AB=5,AC=9, / BCA=30 , AB AC由正弦定理，得■■■'■■■■■■ ,AC^in^BCA 9sm30° 9所以 sin / ABC= " =； =. 因为 AD// BC 所以/ BAD=180 - / ABC,9所以 sin / BAD=sin/ ABC=.9在厶 ABD 中 ,AB=5,sin / BAD= , / ADB=45 ,ABBD 由正弦定理，得'■■：'' =^ ■■'■ ■■■'■,解得BD=, 9血所以BD 的长为'.故选B.45° ,则BD 的长为（ 9 墜 (A) (B)(C)B(D)'二、填空题7. 某人向正东方向走x km后,向右转150° ,然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好是• km,那么x的值为_________ .解析：如图,设此人从A出发，C则AB=x km,BC=3 km,AC事km, / ABC=30 .由余弦定理，得()2=x2+32-2x • 3 • cos 30 ° ,整理,得X2-3 x+6=0,解得x=或2 .答案：.或28. _____ 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30° ,则此山的高度CD= m.解析：依题意,/ BAC=30 , / ABC=105 ,在厶ABC中,由/ ABC k BAC k ACB=180 ,所以/ ACB=45 ,因为AB=600 m,600 BC由正弦定理，可得=：,即BC=300 m,在Rt△ BCD中,因为/ CBD=30 ,BC=300 ,CD CD所以tan 30 ° =「=「’「，所以CD=100巨m.答案:100 ■9. 如图，在厶ABC中,已知点D在BC边上,AD丄AC,sin / BAC二；AB=3 ,AD=3,则BD的长为________ .Ji 1)2^2解析：因为sin / BAC=,且ADL AC,7T 2盪所以sin( '+Z BAD)二,2於所以cos / BAD二：，在厶BAD中,由余弦定理，得BD= ' ■ J i 嘉；--+ 32-2 X “X答案:10. 如图,为测量山高MN选择A和另一座山的山顶C为测量观测点. 从A 点测得M点的仰角/ MAN=60 ,C点的仰角/ CAB=45以及/ MAC=75 ;从C点测得/ MCA=60 .已知山高BC=100 m则山高MN二_______ m.解析:在Rt△ ABC中, / CAB=45 ,BC=100,所以AC=100 .在厶AMC中, / MAC=75 , / MCA=60 ,从而/ AMC=45 ,AC AM由正弦定理，得宀厂,因此AM=100 .在Rt △ MNA中,AM=100 , / MAN=60 ,MN筋由「=sin 60 得MN=100 x =150(m).答案:15011. ____ 在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30° ,且第一排和最后一排的距离为10米，则旗杆的高度为米. 解析:设旗杆的高度为x米,如图，可知/ ABC=180 -60 -15 =105/ CAB=30 +15° =45° ,所以/ ACB=180 -105 -45 =30°BC AB根据正弦定理可知_ =；；,即BC=20 ,x x所以sin 60 ° =、二儿匕，所以x=20・X ' =30.答案:307T12. 如图,在^ ABC中,已知B= ,AC=4 ,D为边BC上一点.若AB二AD则△ ADC的周长的最大值为解析：因为AB=AD,B=,2TT n所以△ ABD为正三角形.在厶ADC中,根据正弦定理,AD---- sm 可得=n所以AD=8sin C,DC=8sin( -C),所以△ ADC的周长为AD+DC+AC=8sin C+8sin( -C)+4 =8(sin C+护1_:cos C- sin C)+4£ 色=8( sin C+ cos C)+47T=8si n(C+ )+4 .2?r 71因为/ ADC=,所以0<C<,n n 2n所以vC+v :,7T 7T U所以当C+=,即C=时，△ ADC的周长的最大值为8+4..答案:8+4三、解答题13. 为了测量河对岸的塔高h,某人沿着河岸从点A走到点B,已知该人手中有一只测角仪，可以测水平面的夹角和铅直平面的仰角.已知AB= m,若要测出塔高，还需要测量哪些角？利用已知和测得的数据如何计算塔高？请你设计一个方案，包括:(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)写出计算塔高的步骤(用字母和公式表示即可).解:(1)需要测量的角有/ BAD a , / DBA=3 , / CAD=e (或/ CBD=).⑵第一步：在厶ADB中,由正弦定理可求出msinp msinaAD二宀'(或BD= ! 3 心).第二步:在Rt△ CDA中,可求出：msinph=AD- tan 0 = " ' • tan 0 (或在Rt△ CDB中,h=BD・ tan 二msinasin(a + p)• t an单).14. △ ABC中,D是BC上的点,AD平分/ BAC A ABD面积是△ ADC®积sinB(1)求’;⑵若AD=1,DC=,求BD和AC的长.解:(1)S △AB D='AB- ADsin /BAD,S AADC= AC- ADsin / CAD.因为S ABD=2S ADC / BAD/ CAD,所以AB=2AC.sin 13 AC1由正弦定理可得';:l =;； = ：.(2)因为S A ABD :S A AD C=BD： DC,所以BD=.在厶ABC ffiA ADC中,由余弦定理知A B二AD+B02AD • BDcos / ADB,AC二AD+DC>2AD • DCcos / ADC.故AB+2AC=3AD+BD+2DC=6.由(1)知AB=2AC所以AC=1.15. 如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=20(米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30° ,且/CBD=30 ,求塔高AB.D解：在Rt △ ABC中, / ACB=45 ,若设AB=h则BC=h;在Rt△ ABD中, / ADB=30 ,贝卩BD= h,在厶BCD中,由余弦定理可得CD=B C+B D~2BC • BD- cos / CBD,即2002二h2+( h)2-2 - h • h •, 所以h2=2002, 解得h=200(h=-200 舍去).即塔高AB为200米.。
浙江省建德市新安江高级中学高三数学《正弦定理和余弦定理》同步练习
浙江省建德市新安江高级中学高三数学《正弦定理和余弦定理》同步练习一 课标要求：1 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
2 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二、知识提要1 △ABC 中，设C B A ∠∠∠,,的对边分别是c b a ,,，外接圆的半径为R ，内切圆半径为r 正弦定理：CB A cb a R Cc B b Aasin sin sin 2sin sin sin ++++====， C B A c b a sin :sin :sin ::=余弦定理: A c b c b a cos 2222-+=, cb ac bA 2cos 222-+=三角形面积公式：C b a S sin 21== =r c b a )(21++ 三角形的内切圆半径2ABC Sa b cr ∆++=射影公式：cos cos a b C c B =+，=b ，=c 2 ABC ∆中,易得：A B C π++=,① sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+,tan tan()A B C =-+. ② 22sincosA B C +=, 22cossinA B C +=,③ ABC ∆中，若B A 2sin =2sin ，则ABC ∆是 三角形 若B A 4cos =4cos ，则ABC ∆是 三角形 △ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是c b a ,,，且c 是最大边① 三个正数c b a ,,能组成三角形三边⇔⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+a c b b c a c b a ， ② △ABC 是直角三角形⇔0cos =C ⇔222c b a =+⇔0=⋅CB CA ，△ABC 是钝角三角形⇔0cos <C ⇔222c b a <+⇔0<⋅CB CA△ABC 是锐角三角形⇔0cos >C ⇔222c b a >+⇔0>⋅CB CA ③ B A b a B A sin sin >⇔>⇔>B A cos cos <⇔； 4 若A 是三角形的最大内角，则ππ<≤A 3； 若A 是三角形的最小内角，则30π≤<A三、课前练习1 ( △ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC ( )（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2 在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23C B =， 则A=( ) （A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 3 (2020湖北理数）在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =（ ）A 22 22 C 66E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）A. 1627B. 23C. 33D. 345 在△ABC 中，︒=∠60A ，1=b ，3=ABCS，则CB A cb a sin sin sin ++++=6在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b aC a b+=， 则tan tan tan tan C CA B+=____ ___。
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一基础练习 1在ABC ∆中，若a =1,C=︒60, c =3则A 的值为 A ．︒30 B ．︒60
C ．30150︒︒或
D ．60120︒︒或 2．∆ABC 的三边分别为a,b,c 且满足c a b ac b +==2,2,则此三角形是（ ）
（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）等边三角形
3．若ABC ∆的内角A 满足3
22sin =A ，则=+A A cos sin A A ．315 B ．315- C ．35 D ．3
5- 4在△ABC 中，若∠B ＝60°，sinA=3
1，BC ＝2，则 AC ＝ _ 5．在△ABC 中，若∠B=60°，AC=3，AB=6，则∠A=
6在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，A=
3
π，a=3，b=1，则c= ▲ ． 二例题分析1如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西︒30、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求θcos 的值．
2在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且
.2
72cos 2sin 42=-+C B A (1) 求角C 的大小；
（2）求△ABC 的面积.
3在ABC ∆中,A 、B 、C 为三角形的三个内角，且满足条件1)sin(=-A C ,31sin =
B . （Ⅰ）求A sin 的值； （Ⅱ）若6=
AC ，求ABC ∆的面积.
课后练习
1.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 。
2.在△ABC
中，已知b =150c =，30B =，则边长a = 。
3.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。
4.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的 面积为 。
5在△ABC 中，2,2,3π
=∠==A BC AB
≥-恒成立，则实
数t 的取值范围是 C
A ．[)∞+，1
B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡121，
C ．[)∞+⋃⎥⎦
⎤ ⎝⎛∞-，，121 D ．(][)∞+⋃∞-，，10 6．已知在∆ABC 中，︒=∠90ACB ，BC = 4，AC = 3，P 是AB 上一点，则点P 到AC ，
BC 的距离乘积的最大值是 B
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ， c ，若
4,222=⋅+=+bc a c b 且，则△ABC 的面积等于
8.△ABC 中，若60A =
，a =sin sin sin a b c
A B C +-+-等于 （ ） A 2 B 1
2
9. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =
（ ） A 13 B 12 C 34
D 0 10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 由增加的长度决定
11在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+•的最小值是__________。
12设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，且1cos 2
b C a
c =-
. （1）求角B 的大小；
（2）若1b =，求ABC ∆的周长l 的取值范围
13已知函数f (x )＝m ·n ，其中m ＝(sin ωx ＋cos ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )，
其中ω>0，若f (x )相邻两对称轴间的距离不小于π2
. (1)求ω的取值范围；
(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝3，b ＋c ＝3，当ω最大时，f (A )＝1，求△ABC 的面积．
14在△ABC 中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，22)4cos()4cos(=-++ππC C （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若32=c 且B A sin 2sin =，求ABC ∆的面积．
15在ABC ∆中，32,1,cos .4AB BC C =
== （1）求sinA 的值；
（2）求的值。
16、已知锐角三角形ABC 中，.5
1)sin(,53)sin(=-=
+B A B A （Ⅰ）求证B A tan 2tan =；
（Ⅱ）设AB=3，求AB 边上的高．。