(江苏专用)2018高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数(Ⅰ)第5课 函数的单调性与最值课时分层

第二章 函数概念与基本初等函数（Ⅰ）第5课 函数的单调性与最值
课时分层训练
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、填空题
1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________.
【导学号：62172026】
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.]
2．给定函数：①y ＝x ；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1
，其中在区间(0,1)
上单调递减的函数序号是________．
②③ [①y ＝x 在区间(0,1)上单调递增；②y ＝log 1
2
(x ＋1)在区间(0,1)上单调递减；
③y ＝|x －1|＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1，x ≥1，
1－x ，x <1，在区间(0,1)上单调递减；④y ＝2
x ＋1
在区间(0,1)上单调递
增．]
3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________. 【导学号：62172027】
(－∞，1] [函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋a ，x ≥－a ，
－x －a ，x <－a ，即函数f (x )在(－∞，－a )上是减函数，
在[－a ，＋∞)上是增函数，要使函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，则－a ≥－1，即a ≤1.]
4．函数f (x )＝
2x
x ＋1
在[1,2]上的最大值和最小值分别是________． 43，1 [f (x )＝2x x ＋1＝x ＋－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝4
3
，
f (x )min ＝f (1)＝1.]
5．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为
________．
⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1 [由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－
11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－1
1＋x
2在(0，＋∞)上都
单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，
两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2
－4x ＋1<0，解得13
<x <1.
所以符合题意的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1.]
6．函数f (x )＝－(x －3)|x |的递增区间是________．
⎣⎢⎡⎦⎥
⎤0，32 [f (x )＝－(x －3)|x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋3x ，x ＞0，x 2－3x ，x ≤0.
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.]
7．函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
log 1
2x ，x ≥1，
2x ，x <1
的值域为________．
(－∞，2) [当x ≥1时，f (x )＝log 12x ≤log 1
21＝0.
当x <1时，f (x )＝2x
∈(0,2)， ∴f (x )的值域为(－∞，2)．]
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a －x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有
f x 1－f x 2
x 1－x 2
<0成立，则实数a 的取值范围为________．
⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，138 [由f x 1－f x 2x 1－x 2<0可知f (x )在R 上是减函数，故
⎩⎪⎨⎪⎧
a －2<0，⎝ ⎛⎭
⎪⎫122－a －，
解得a ≤13
8
.]
9．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________. 【导学号：62172028】
b <a <
c [∵y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52. 又2<5
2
<3，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增，
∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12<f (3)， 即b <a <c .]
10．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．
(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －
8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，x －8>0，
x x －
，
解得8<x ≤9.]
二、解答题
11．(2017·苏州模拟)已知函数f (x )＝1a －1
x
(a >0，x >0)，
(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，求a 的值． [解] (1)证明：任取x 1>x 2>0，
则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2
x 1x 2
，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－
f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1
a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝
2
5
. 12．已知f (x )＝
x
x －a
(x ≠a )．
(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围.
【导学号：62172029】
[解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2
x 2＋2
＝
x 1－x 2
x 1＋x 2＋
.
∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，
∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)f (x )＝
x
x －a ＝
x －a ＋a x －a ＝1＋a
x －a
，
当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数， 又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，
∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]．
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2
，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．
6 [由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3
－2.
∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]
2．(2017·泰州模拟)已知函数y ＝log 12(x 2
－ax ＋a )在区间(－∞，2]上是增函数，则
实数a 的取值范围是________．
[22，22＋2) [设y ＝log 12
t ，t ＝x 2
－ax ＋a .
因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)上是单调减函数，要想满足题意，则t ＝x 2
－ax ＋a 在(－∞，
2]上为单调减函数，且t min >0，
故需⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2≥2，22－2a ＋a >0，
解得22≤a <2＋2 2.]
3．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1*k =3，求函数f （x ）=k *x 的值域.
[解] 由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，
所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值
域是(1，＋∞)．
4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1x
2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，
f (x )<0.
(1)求f (1)的值；
(2)证明：f (x )为单调递减函数；
(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． [解] (1)令x 1＝x 2>0，
代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.
(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2
>1， 当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1x 2<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，
∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．
由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.
∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.
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普通高等学校招生全国统一考试（The National College Entrance Examination），简称“高考”。

是中华人民共和国（不包括香港特别行政区、澳门特别行政区和台湾省）合格的高中毕业生或具有同等学力的考生参加的选拔性考试。

普通高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。

高考由教育部统一组织调度，教育部考试中心或实行自主命题的省级教育考试院命制试题。

考试日期为每年6月7日、8日，各省市考试科目名称与全国统考科目名称相同的必须与全国统考时间安排一致。

2015年1月1日年起，高考逐步取消体育特长生、奥赛等6项加分项目。

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2015年1月1日年起，高考逐步取消体育特长生、奥赛等6项加分项目。