广东省广州市天河中学高考数学一轮复习 平面向量的数量积02基础知识检测 文

平面向量的数量积02
基础热身
1．已知向量a ，b 满足a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8
2．已知a ＝(1,0)，b ＝(x,1)，若a ·b ＝3，则x 的值为( ) A. 2 B ．2 2 C.3－1 D. 3
3．已知|a |＝2，b 是单位向量，且a 与b 夹角为60°，则a ·(a －b )等于( ) A ．1 B ．2－ 3 C ．3 D ．4－ 3
4．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为____________
5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →
等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16
6．已知a ＝(1，sin 2
x )，b ＝(2，sin2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )
A ．1
B ．－1 C. 3 D.2
2
7．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
8．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|b |，则( ) A ．|2a |>|2a ＋b | B ．|2a |<|2a ＋b | C ．|2b |>|a ＋2b | D ．|2b |<|a ＋2b |
9．已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．
10．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →
＝________.
11．在△ABC 中，已知AB →|AB →|＋AC →|AC →|
⊥BC →，且AB →·AC →＝12|AB →|·|AC →
|，则△ABC 的形状是
________．
12．(13分)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上
的动点，求|PA →＋3PB →
|的最小值．
难点突破
13．(12分)如图K25－1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB ＝3，P 是
BC 上的一个动点，当PD →·PA →
取最小值时，求tan ∠DPA 的值．
答案解析
【基础热身】
1．B [解析] ∵|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2
＝8， ∴|2a －b |＝2 2.
2．D [解析] 依题意得a ·b ＝x ＝ 3.
3．C [解析] a ·(a －b )＝a 2
－a ·b ＝4－2×1×cos60°＝3. 4.π3
[解析] 设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2
＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12.因为0≤θ≤π，故θ＝π
3
.
【能力提升】
5．D [解析] 因为∠C ＝90°，所以AC →·CB →＝0，所以AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝|AC →|2
＋AC →·CB →
＝AC 2＝16.
6．A [解析] 由|a ·b |＝|a ||b |知a ∥b .所以sin2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2
x ，
而x ∈(0，π)，所以sin x ＝cos x ，即x ＝π
4
，故tan x ＝1.故选A.
7．C [解析] 依题意，由|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |得a ⊥b ，b 2＝3a 2
，cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝a 2－b 2|a ＋b ||a －b |＝－12，所以向量a ＋b 与a －b 的夹角是2π3
. 8．C [解析] 因为|a ＋b|＝|b|，所以a ·(a ＋2b )＝0，即a ⊥(a ＋2b )，因此|a |、|a ＋2b |、|2b |构成直角三角形的三边，|2b |为斜边，所以|2b |>|a ＋2b |.
9.π3
[解析] 设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b )·(a －b )＝－2得|a |2＋a ·b －2|b |2
＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，
解得cos θ＝12，∴θ＝π
3.
10．－1
4
[解析] 由题知，D 为BC 中点，E 为CE 三等分点，以BC 所在的直线为x 轴，
以AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，D (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3，36，
故AD →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，－32，BE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫56，36，
所以AD →·BE →
＝－32×36＝－14
.
11．等边三角形 [解析] 非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →|AB →
|＋AC →|AC →|·BC →＝0，即∠BAC 的平分线
垂直于BC ，∴AB ＝AC ，又cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|
＝12，∠A ＝π
3，所以△ABC 为等边三角形．
12．[解答] 建立坐标系，设DC ＝h ，则A (2,0)，B (1，h )．设P (0，y )(0≤y ≤h )， 则PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，h －y )，∴|PA →＋3PB →|＝25＋h －4y 2
≥25＝5. 【难点突破】
13．[解答]以A 为原点，AB →为x 轴，AD →
为y 轴建立平面直角坐标系xAy ，则A (0,0)，B (3,0)，C (3,2)，D (0,1)，设∠CPD ＝α，∠BPA ＝β，P (3，y )(0≤y ≤2)．
∴PD →＝(－3,1－y )，PA →
＝(－3，－y )， ∴PD →·PA →＝y 2－y ＋9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＋354
，
∴当y ＝12时，PD →·PA →取最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12. 易知|DP →|＝|AP →
|，α＝β.
在△ABP 中，tan β＝3
12
＝6，
所以tan ∠DPA ＝－tan(α＋β)＝2tan βtan 2β－1＝12
35.。