数列求和公式教案

等差、等比数列的求和公式（1）
一、考纲要求：
掌握等差的求和公式、等比数列的求和公式. 二、教学目标：
1、掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程
2、掌握等比数列前n 项和公式及其推导过程
3、能熟练利用公式解决相关问题 三、重点难点
掌握公式的推导方法和公式的应用 教学过程： 知识梳理：
1. （1）等差数列的前n 项和(倒序相加法)：
公式1：2
)
(1n n a a n S +=
公式2：1(1)
2
n n n S na d -=+
； （2）若数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，则数 列｛a n ｝为 等差数列
2、等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n （错位相减法）
当1≠q 时， q q a S n n --=1)1(1 或q
q
a a S n n --=11
当q=1时， 1na S n = 基础训练：
1、在等比数列｛a n ｝中，已知a 1=25,前三项的和S 3=
2
15, 则公比q 的值为___.
2、在等差数列｛a n ｝和｛b n ｝中，a 1=25,b 1=75,a 100+b 100=100, 则数列｛a n +b n ｝的前100项的和为=_______
3、 设()442x
x
f x =
+，利用课本中推导等差数列前n 项和方法，
求
121111f f ++⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
…1011f +⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为
4、已知等比数列｛a n ｝中，前n 项和S n =54,S 2n =60,则S 3n=_______
例题精析：
例1 （1）已知数列}{n a 中,2
3),,2(2
1
*1=∈≥+=-m n n a N n n a a ,前
m 项和2
15
-=m s ,求1a 和m 的值
（2）设等比数列}{n a 的前n 项和为n s ,17,184==s s , 求通项公式n a
（3）已知数列的前n 项和n s 是关于正整数n 的二 次函数，其图像上三个点A(1,3),B(2,7),C(3,13)。

① 求数列}{n a 的通项公式，并指出}{n a 是否为等 差数列，并说明理由②求33963a a a a +++
例2、已知数列{}n a 的前n 项和2
12n S n n =-，求数列
{||}n a 的前n 项和n T 。

例3、首项为正数的等差数列｛a n ｝，其中S 3=S 11，
此数列前几项和最大？
例4、(2010四川理)已知数列{}n a 满足1202a ,a ==，且
对任意m,n N *∈都有211212)(22n m a a a n m n m -+=+-+--
（Ⅰ）求35a ,a ；
（Ⅱ）设2121n n n b a a (n N*)+-=- ∈证明：{}n b
是等差数列；
（Ⅲ）设),0()(*11N n q q a a c n n n n ∈≠-=-+，求数列{}n c 的
前n 项和n S .
等差、等比数列的求和公式（2）
一、考纲要求：
掌握等差的求和公式、等比数列的求和公式. 二、教学目标：
1、掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程
2、掌握等比数列前n 项和公式及其推导过程
3、能熟练利用公式解决相关问题 三、重点难点
掌握公式的推导方法和公式的应用 教学过程： 知识梳理：
1. （1）等差数列的前n 项和(倒序相加法)：
公式1：2
)
(1n n a a n S +=
公式2：1(1)
2
n n n S na d -=+
； （2）若数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，则数列｛a n ｝为 等差数列
2、等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n （错位相减法）
当1≠q 时， q q a S n n --=1)1(1 或q
q
a a S n n --=11
当q=1时， 1na S n =
练习：
1. 已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前n 项和为286，求数列的项数n =___。

2. 若等比数列｛a n ｝的前n 项之和S n =3n +a ,则a =_-1___
3.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d 等于___5___.
4.已知两个等差数列｛a n ｝、｛b n ｝，它们的前n 项和分别是S n 、S n ′，若1
33
2'
-+=
n n S S n
n ,求503799=b a .
例题讲解：
例1、设数列}{n a 是首项为a ，公比为q 的等比数列， 它的前n 项和为n s 数列{n s }能否成等差数列？若能， 求出数列{n s }的前项的和， 若不能，说明理由.
例2 数列}{n a 是等差数列，n s 是它的前项的和，且9,533==s a （1） 求首项1a 和公差的d 及n s
（2） 若存在数列}{n b ，使得122112)32(5--+=++n n n n b a b a b a ，对任
意正整数n 都成立。

求数列}{n b 的前项的和 例3、(09全国1)在数列{}n a 中，1111
1,(1)2
n n n n a a a n ++==++ （I ）设n
n a b n
=
，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S
例4、(08山东)将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
a 7 a 8 a 9 a 10
……
记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为｛b n ｝,b 1=a 1=1. S n 为数列｛b n ｝的前n 项和，且满足＝n
N n n
S S b b 2
2-1=（n ≥2）. (Ⅰ)证明数列｛
n
S 1
｝成等差数列，并求数列｛b n ｝的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91
4
81-=a 时，求上表中第k (k ≥3)行所有项和的和.
例5、（09北京文）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *=+∈>。

数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值。

（Ⅰ）若1
1,2
3
p q ==-，求3b ；
（Ⅱ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；
（Ⅲ）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈如果存在，求p 和q
的取值范围；如果不存在，请说明理由。