【推荐】河北省冀州高二下册第二学期期末考试数学(文)试题A卷-含答案

试卷类型：A 卷 河北冀州中学
2019-2020学年度下学期期末 高二年级文科数学试题
（ 考试时间：120分钟 分值：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共52分）
一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数22
(1)1i i
-+-的共轭复数是（ ）
A ．1i +
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i -- 2.已知集合{}|||2A x R x =∈≥，{}2|20B x R x x =∈--<，则下列结论正确的是（ ）
A ．R
B A =Y
B ．∅≠B A I
C ．∅=B A Y
D ．∅=B A I
3.平面向量a 与b 的夹角为60︒，a =(2,0)，1=b ，则=+b a 2（ ） A ．6
B ．36
C ．23
D ．12
4.已知2
cos sin 4
αα-=
，则sin 2α的值为（ ） A.18 B.18- C.78 D.78
- 5.已知实数x ，y 满足3232310y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-+⎩
≤≥≤，则z x y =+的取值范围为（ ）
A.[]0,3
B.[]2,7
C.[]3,7
D.[]2,0
6.已知π0,2
x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，:sin p x x ＜，2:sin q x x ＜，则p 是q 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．3612π+
B ． 3616π+ C. 4012π+ D ．4016π+ 8. 定义在R 上的函数()f x 满足
()()()2
log 8,0
1,0
x x f x f x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则()3f = （ ） A ．3 B ．2 C. 2log 9 D ．2log 7
9.已知圆22:4C x y +=，直线:l y x =，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离小于1的概率为（ ）
A ．34
B ．23 C. 12 D ．13
10.已知三棱锥A BCD -的四个顶点A 、B 、C 、D 都在球O 的表面上，BC CD ⊥，AC ⊥平面BCD ，且22AC =，2BC CD ==，则球O 的表面积为（ ） A.4π B.8π C.16π D.22π
11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点（A 在第一象限），过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，若60AFE ∠=︒，则AFE △的面积为（ ）
A.43
B.23
C.
43
D.
23
12.已知函数()()sin f x A x πϕ=+的部分图象如图所示，点
B 、
C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交
于D 、E 两点，则()()
CE BE BE BD -•+的值为（ ） A.1-
B.12
-
C.12
D.2
13.已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞U 上的偶函数，当
0x >时，()()121,02
1
2,22
x x f x f x x -⎧-<≤⎪
=⎨->⎪⎩，则函数()()21g x f x =-的零点个数为（ ）个 A.6 B.2 C.4 D.8
第Ⅱ卷（非选择题，共98分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案直接答在答题纸上。

14.某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x =______. 15.已知函数()f x 为偶函数，当0x ＞时，()ln f x x x x =-，则曲线()y f x =在点()(),e f e --处的切线方程为______.
16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11n
n n a a n ++-=，则40S = ．
17.设函数()y f x =图象上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y 处的切线的斜率分别是
A k ，
B k ，规定||
(,)||
A B k k A B AB ϕ-=（||AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在
点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数3y x =图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和1-，则(,)0A B ϕ=； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A ，B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；
④设曲线x y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则
(,)1A B ϕ<．
其中真命题的序号为 ．（将所有真命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.在ABC △中，2cos234cos A A +=.
（1）求角A 的大小；
（2）若2a =，求ABC △的周长l 的取值范围.
19．已知数列{}n a 中， 11a =， ()
*13n
n n a a n N a +=
∈+．(1)求证： 112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；(2)数列{}n b 满足()
312
n n n n n
b a =-⋅⋅，求数
列{}n b 的前n 项和为n T ．
20. 累积净化量（CCM ）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示，根据GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量（CCM ）有如下等级划分：
累积净化量（克） (]35， (]58， (]812， 12以上
等级
P1
P2
P3
P4
为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取n 台机器作为样本进行估计，已知这n 台机器的累积净化量分布在区间(]4,14中，按照(]4,6，(]6,8，(]8,10，
(]10,12，(]12,14均匀分组，其中累积净化量在(]4,6的所
有数据有：4.5，4.6，5.2，5.3，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图：
（1）求n 的值及频率分布直方图中的x 值； （2）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？
（3）从累积净化量在(]4,6的样本中随机抽取2台，求
恰好有1台等级为P2的概率.
21. 已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点. （1）证明：PF FD ⊥；
（2）若1PA =，求点E 到平面PFD 的距离.
22. 已知动圆M 恒过点()0,1，且与直线1y =-相切．
（1）求圆心M 的轨迹方程；
（2）动直线l 过点()0,2P -，且与点M 的轨迹交于A B 、两点，点C 与点B 关于
y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．
23. 函数11()ln 2f x x x =+-，2211
()22
x g x e x ax a =---（e 是自然对数的底数，
a R ∈）
． （Ⅰ）求证：21
|()|(1)2
f x x ≥--+；
（Ⅱ）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.91=，[]2.13-=-，若对任意10x ≥，都存在20x >，使得[]12()()g x f x ≥成立，求实数a 的取值范围．
24.设函数()||f x x a =-（0a <）．
（Ⅰ）证明：1
()()2f x f x
+-≥；
（Ⅱ）若不等式1
()(2)2
f x f x +<的解集非空，求a 的取值范围．
河北冀州中学2019-2020学年度下学期期末
高二年级文科数学试题答案
一、选择题
A 卷：ADCC
B BCAD
C ADA B 卷：CCBA
D AACBA CBD 二、填空题
14.27 15.y=-e 16.420 17.①②③④ 三、解答题
18.（1）因为2cos234cos A A +=，所以212cos 2cos 2
A A +=， 所以24cos 4cos 10A A -+=，所以1cos 2
A =， 又因为0A π<<，所以3
A π
=.
（2）因为
sin sin sin a b c A B C ==
，3A π
=，2a =，
所以sin b B ==
，c C =
，所以)22sin sin l b c B C =++=+，
因为23B C π+=
，所以2sin sin 2sin 36l B B B ππ2⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦. 又因为203B π
<<
，所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝
⎭，所以(]4,6l ∈. 19.(1)证明：由()1*3n n n a a n N a +=
∈+，得
131
31n n n n
a a a a ++==+， 111
11322n n a a +⎛⎫∴
+=+ ⎪⎝⎭所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是以3为公比，以111322a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 为首项的等比数列，从而11132
32231
n n n n a a -+=⨯⇒=-；
(2)()101221
11111
1231222222
n n n n n n b T n n ---=
=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ()1211111
12122222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯L ， 两式相减得： 012111111222222222n n n n T n n -+=++++-⨯=-L 1242
n n n T -+∴=- 20.（1）因为(]4,6之间的数据一共有6个，再由频率分布直方图可知：
落在(]4,6之间的频率为0.0320.06⨯=.因此：
6
1000.06
n =
=.()0.030.120.140.1521x ++++⨯=，∴0.06x =. （2）由频率分布直方图可知：落在(]6,8之间共：0.12210024⨯⨯=台， 又因为在(]5,6之间共4台，
∴落在(]5,8之间共28台.故，这批空气净化器等级为P2的空气净化器共有560台.
（3）设“恰好有1台等级为P2“为事件B ，
依题意，落在(]4,6之间共有6台，记为：123456,,,,,A A A A A A ，属于国标2P 级有4台，
我们记为：3456,,,A A A A ，则从(]4,6中随机抽取2个，
所有可能的结果有15种，它们是：
()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()15,A A ，()16,A A ，()23,A A ，()24,A A ，()25,A A ，()26,A A ，
()34,A A ，()35,A A ，()36,A A ，()45,A A ，()46,A A ，()56,A A ，
而事件B 的结果有8种，它们是：()13,A A ，()14,A A ，()15,A A ，()16,A A ，()23,A A ，()24,A A ，()25,A A ，()26,A A ，因此事件B 的概率为()815
P B =
.
21证明：（1）连接AF ，则2AF =，2DF =，又2AD =，∴222DF AF AD +=，∴DF AF ⊥，
又PA ⊥平面ABCD ，∴DF PA ⊥，又PA AF A =I ，∴DF ⊥平面PAF ，又PF ⊂平面PAF ，∴DF PF ⊥. （2）5324
4
EFD ADE BEF CDF ABCD QS S S S S =---=-=△△△△平面， ∴1
13113
34
4
P EFD EFD V S PA -=⋅=⨯⨯=△，
E PFD P EFD QV V --=，∴1161
34
E PFD PFD V S h h -===△，
解得6
h =
， 即点E 到平面PFD 的距离为
6.
22解：（1）∵动点M 到直线1y =-的距离等于到定点()0,1C 的距离，∴动点M
的轨迹为抛物线，且
12
p
=，解得：2p =， ∴动点M 的轨迹方程为24x y =；
（2）证明：由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：2y kx =-，
()()1122,,,A x y B x y ，则()22,C x y -．联立2
2
4y kx x y
=-⎧⎨=⎩，化为2480x kx -+=，216320k ∆=->，
解得2k >或2k <-，∴12124,8x x k x x +==； 直线AC 的方程为()21
2221
y y y y x x x x --=-
++， 又∵11222,2y kx y kx =-=-，
∴()()2
221122442ky k kx kx kx kx x kx --=-+-，
化为()()212244y x x x x k x =-+-，∵124x k x =-， ∴()2148y x x x =-+，令0x =，则2y =， ∴直线AC 恒过一定点()0,2．
23解：（Ⅰ）22111
'()x f x x x x
-=
-=（0x >）. 当1x >时，'()0f x >，当01x <<时，'()0f x <，
即()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
所以，当1x =时，()f x 取得最小值，最小值为1(1)2
f =， 所以1|()|()2
f x f x =≥， 又211(1)22x --+
≤，且当1x =时等号成立，所以，21|()|(1)2
f x x ≥--+. （Ⅱ）记当0x ≥时，()
g x 的最小值为min ()g x ，当0x >时，[]()f x 的最小值为
[]min ()f x ，
依题意有[]min min ()()g x f x ≥，
由（Ⅰ）知1
()2
f x ≥，所以[]min ()0f x =，则有min ()0
g x ≥，
'()x g x e x a =--.
令()x h x e x a =--，'()1x h x e =-， 而当0x ≥时，1x e ≥，所以'()0h x ≥，
所以()h x 在[0,)+∞上是增函数，所以min ()(0)1h x h a ==-. ①当10a -≥，即1a ≤时，()0h x ≥恒成立，即'()0g x ≥， 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数，所以2
min ()(0)12
a g x g ==-，
依题意有2
min
()102
a g x =-≥，解得a ≤≤，
所以1a ≤≤．
②当10a -<，即1a >时，因为()h x 在[0,)+∞上是增函数，且(0)10h a =-<， 若22a e +<，即212a e <<-，则(ln(2))2ln(2)2ln(2)0h a a a a a +=+-+-=-+>， 所以0(0,ln(2))x a ∃∈+，使得0()0h x =，即00x a e x =-，
且当0(0,)x x ∈时，()0h x <，即'()0g x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，即'()0g x >， 所以，()g x 在0(0,)x 上是减函数，在0(,)x +∞上是增函数，
所以02min 00011
()()022
x g x g x e x ax a ==---≥，
又00x a e x =-，所以0000022min 0111
()()(2)0222
x x x x x g x e x a e e e e =-+=-=-≥，
所以02x e ≤，所以00ln 2x <≤．
由00x a e x =-，可令()x t x e x =-，
'()1x t x e =-，
当(0,ln 2]x ∈时，1x e >，所以()t x 在(0,ln 2]上是增函数， 所以昂(0,ln 2]x ∈时，(0)()(ln 2)t t x t <≤，即1()2ln 2t x <≤-， 所以12ln 2a <≤-．
综上，所求实数a 的取值范围是ln 2⎡⎤-⎣⎦．
24解：（Ⅰ）
1()()f x f x +-1||||x a a x =-+--1||||x a a x =-++≥1||x x +1
||||2x x
=+≥.
（Ⅱ）函数23,,()(2)|||2|,,232,.2
a x x a a y f x f x x a x a x a x a x a x ⎧
⎪-≤⎪
⎪
=+=-+-=-<≤⎨⎪
⎪
->⎪⎩
在(,]a -∞上单调递减，在[,]2a a 上单调递减，在[,)2
a
+∞上单调递增，
min (()(2))2
a
f x f x +=-．
因为不等式1
()(2)2
f x f x +<的解集非空，
所以1
22
a -<，10a -<<
所以a 的取值范围是10a -<<．。