新人教版高考数学一轮复习成对数据的统计分析

变量的关系.
(2)残差平方和

∑ (yi- i)2
=
残差平方和 ____________越小,模型的拟合效果越好.
11
(3)决定系数 R2
可以用决定系数 R =12
大
来比较两个模型的拟合效果,R 越____,模型拟合
小
效果越好,R2 越____,模型拟合效果越差.
2
12
7.列联表与独立性检验
反映成对样本数据的变化特征,它的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度:
正
①当r>0时,成对样本数据____相关;
负
②当r<0时,成对样本数据____相关.
强
③当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越____;
弱
④当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越____.
7
3.一元线性回归模型
【解析】由题干表中的数据可得,变量 Y 随着 x 的增大而减小,即 Y 与 x 负相关,则
<0,又经验回归方程为 = x+ 经过(2,4),(3,2.5),可得 >0.
17
3.(误把 x=2 直接代入经验回归方程)新能源汽车的核心部件是动力电池,碳酸锂是
动力电池的主要成分,从 2021 年底开始,碳酸锂的价格一直升高,下表是 2022 年我
为________,________减去________称为残差.
(2)残差分析
残差
残差
______是随机误差的估计结果,通过对______的分析可以判断模型刻画数据的效
果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分析.
10
6.对模型刻画(拟合)数据效果的分析
(1)残差图
在残差图中,如果残差分布的比较均匀,则说明经验回归方程较好地刻画了两个
是 2022 年前 5 个月我国某电池企业采购的该有色金属价格 y(单位:千元/千克)与月
份 x 的统计数据.
x
1
2
3
4
5
y
1.7 3.0 4.4 6.0 7.4
已知 y 与 x 之间满足线性相关关系,且 = x+ ,由此方程预测到 x=6 时,y=8.82,则 =
( D )
A.1.38
B.1.40
到随机变量χ2≈56.632.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,下面说法正确的是 ( A )
A.由于随机变量χ2>10.828=x0.001,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超
过0.001
B.由于随机变量χ2>10.828,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低于
一元线性函数模型来描述.
8
4.最小二乘法与经验回归方程
将 = x+ 称为 Y 关于 x 的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形
称为经验回归直线,这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的 , 叫做


∑ ( -)( - )
∑ -
∑ ( -)2
(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表:
X
Y
合计
Y=0
Y=1
X=0
a
b
a+b
X=1
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
n=a+b+c+d
13
(2)独立性检验
基于小概率值α的检验规则:
当χ2≥xα时,推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;
当χ2<xα时,没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立.
4.针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测.
5.通过实例,理解2×2列联表的统计意义.
6.通过实例,了解2×2列联表独立性检验及其应用.
知识梳理·思维激活
【必备知识 精归纳】
1.变量的相关关系
精确地
(1)相关关系:两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去________决定另一个的
程度.
日起,第 x 天的高度为 Y cm,测得一些数据如表所示:
第x天
1
2
3
4
5
6
7
高度/cm
1
4
6
9
11
12
13
由表格中数据可得 Y 关于 x 的经验回归方程为 =2.04x+ ,则第 7 天的残差为
( C )
A.1.12
B.2.12
C.-1.12
D.-2.12
21
5.(教材变式)在研究吸烟是否对患肺癌有影响的案例中,通过对列联表的数据进行处理,计算得
③|r|越大,线性相关程度越弱,|r|越接近0,线性相关程度越强;
④|r|≤1且|r|越接近1,线性相关程度越强,|r|越接近0,线性相关程度越弱.
④
其中说法正确的是__________.(填序号)
【解析】两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1,表示两个变量的线性相关性
越强;r的绝对值越接近于0,表示两个变量的线性相关性越弱,此时两个变量之间几乎不
124
103
则哪位同学的试验结果体现了A,B两变量有更强的线性相关性
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
( D )
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题型二 一元线性回归模型及其应用
角度 1
线性回归分析
[典例 2](1)新能源汽车的核心部件是动力电池,电池成本占了新能源整车成本很大
的比例,从 2022 年年初开始,生产电池的某种有色金属的价格一路水涨船高.如表
35
4
4
=1
=1
∑ ( -)2 ≈32.7, 5≈2.24, ∑ xiyi=418.
参考数据:
参考公式:相关系数

∑ ( -)( - )
r=
=1

∑ ( -)
2
=1


∑ ( - )2
复习导学案
第三节
成对数据的统
计分析
3
【课程标准】
1.结合实例,了解样本相关系数的统计含义,了解样本相关系数与标准化数据向量夹角
的关系.
2.结合实例,会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.
3.结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义,了解最小二
乘原理,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法,会使用相关的统计软件.
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【一题多变】
1
1
(变条件)把上述(2)中的y= x-5改为y=- x-5,又该选什么?
3
3
1
【解析】选 C.因为所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y=- x-5 上,所以这组样本
3
数据完全负相关,也就是具有一次函数关系,所以 r=-1.
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【方法提炼】
判断相关关系的方法
(1)散点图法:如果所有的样本点都落在某条曲线附近,变量之间就有相关关系.如果
所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.
(2)相关系数法:利用相关系数判定,|r|越趋近于 1,线性相关性越强.另外,|r|=1 当且仅
当两变量是线性函数关系.
(3)经验回归方程:当 >0 时,正相关,当 <0 时,负相关.
A.r1<r2<0
B.0<r2<r1
C.r2<0<r1
D.r2=r1
( C )
【解析】由已知中的数据可知:第一组数据中变量Y,X之间成正相关,相关系数
r1>0,第二组数据中变量V与U之间成负相关,相关系数r2<0,即r2<0<r1.
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2.对相关系数r,给出下列结论:
①r越大,线性相关程度越强;
②若所有样本点都在直线y=-2x+1上,则r=-2;
2
∑ 2 -
b,a 的最小二乘估计,其中 ==1
==1
=1
点睛回归直线必过样本点的中心(,).
=1
-
, =__________.
9
5.残差与残差分析
(1)残差
观测值
对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为________,通过经验回归方程得到的
称
预测值 观测值
预测值
28
【对点训练】
1.变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V
相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).r1 表示变量Y,X之间的
线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则
等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y= x-5上,则这组样本数
3
据的样本相关系数为 ( D )
1
A.3
1
B.
3
C.-1
D.1
1
【解析】因为所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y= x-5 上,所以这组样本数据完
3
全正相关,也就是具有一次函数关系,所以 r=1.
(2)相关关系的分类:正相关和负相关.
增加
正相关:当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现______的趋势,称这两个变量
正相关;
减小
负相关:当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现______的趋势,称这两个变量负
相关.
4
5
一条直线
(3)线性相关:如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在__________附近,
下列说法错误的是
( C )A.解释变量和预报量是一次函数关系B.相关指数R2=1
C.相关系数r=1
D.残差平方和为0
16
2.(教材变式)根据如下样本数据:
x
2
3
4
5
6
Y
4
2.5
-0.5
-2
-3
得到的经验回归方程为 = x+ ,则 ( B )
A. >0, >0
B. >0, <0
C. <0, >0
D. <0, <0
系数的比较,下列正确的是 ( A )
A.r2<r4<0<r3<r1
B.r4<r2<0<r1<r3
C.r4<r2<0<r3<r1
D.r2<r4<0<r1<r3
23
25
(2)(2022·吉林模拟)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),(n≥2,x1,x2,…,xn 互不相
1
6
2.样本相关系数


∑ (−)(−)
(1)样本相关系数r=
=1


=1
=1
∑ ( −)2 ∑ ( −)2
∑ −
=
=1

∑ 2 −
=1
2

∑ 2 −2
=1
(2)样本相关系数r的取值范围为[-1,1],是一个描述成对样本数据的数字特征,它的正负性可以
称这两个变量线性相关.
(4)非线性相关或曲线相关:如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,称这两个变量
非线性相关或曲线相关.
点睛
相关关系与函数关系的异同
共同点:二者都是指两个变量间的关系;
不同点:函数关系是一种确定性关系,体现的是因果关系,而相关关系是一种非确定性关
系,体现的不一定是因果关系,也可能是伴随关系.
= + + ,
称ቊ
为Y关于x的一元线性回归模型.
2
() = 0,() =
因变量
响应变量
自变量
解释变量 a
b
其中,Y称为________或__________,x称为________或__________, ___称为截距参数, ___
Y
bx+a
0
称为斜率参数;e是___与______之间的随机误差,如果e=___,那么Y与x之间的关系就可用
国某企业前 5 个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据.由下表可知其经验回归方
程为 =0.28x+0.16,
月份代码 x
1
碳酸锂价格 Y 0.5
则表中 a 的值为 ( B )
A.0.5
B.0.6
C.0.7
D.0.8
2
3
4
5
a
1
1.4
1.5
19
4.(记错残差的计算公式)某城市选用一种植物进行绿化,设其中一株幼苗从观察之
0.001
C.由于随机变量χ2>10.828,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超过
0.001
D.由于随机变量χ2>10.828,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低于
0.001
核心题型·分类突破
题型一 成对数据的统计相关性
[典例 1](1)对四组不同的数据进行统计,获得如图所示的散点图,关于其样本相关
C.1.42
D.1.44
34
(2)某公司为了准确地把握市场,做好产品生产计划,对过去四年的数据进行整理得
到了第 x 年与年销售量 y(单位:万件)之间的关系如表:
x
1
2
3
4
y
12
28
42
56
①在图中画出表中数据的散点图;
②根据①中的散点图拟合 y 与 x 的回归模型,并用相关系数加以
说明;
③建立 y 关于 x 的经验回归方程,预测第 5 年的销售量约为多少.
利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,简称独立性
检验.
点睛独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断,而不是对其是否有
关系的判断,χ2越大,认为两个分类变量有关系的把握越大.
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【基础小题 固根基】
教材改编
易错易混
1,2,5
3,4
1.(教材变式)如果发现散点图中所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上,则
存在线性相关关系.故①错误;③错误;④正确;
对于②,若所有样本点都在直线y=-2x+1上,则r=-1,故②错误.
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【加练备选】
甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量的线性相关性做试验,并用回归分析
方法分别求得相关系数r与残差平方和m如表:
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115