一类具有垂直传播的HIV模型的稳定性分析

一类具有垂直传播的HIV模型的稳定性分析
张梅;张凤琴;刘汉武
【摘要】According to the spreading law of AIDS, an epidemic model is formulated. In the model, the carriers of HIV include juveniles and adults, the HIV can be transmitted vertically, AIDS patients may die of disease. By means of the reproductive matrix, we obtain the basic reproductive number. If the basic reproductive number is less than 1, the model has disease-free equilibrium only. However, if the basic reproductive number is larger than 1, the model has another endemic equilibrium. By using second additive compound matrices, we have studied the global stability of all equilibriums.%根据艾滋病的传播规律,本文建立了一类传染病模型.在模型中,HIV 携带者分为幼年和成年两类,HIV可垂直传染,艾滋病患者有额外死亡.我们用再生矩阵求出了模型的基本再生数,并得出当基本再生数小于1时,模型只有无病平衡点,而当基本再生数大于1时,模型还有地方病平衡点.最后,应用第二加性复合矩阵等理论,文中证明了各平衡点全局渐近稳定性.
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2012(029)003
【总页数】6页(P399-404)
【关键词】垂直传播;基本再生数;稳定性;平衡点
【作者】张梅;张凤琴;刘汉武
【作者单位】运城学院应用数学系,运城044000;中北大学理学院,太原030051;运城学院应用数学系,运城044000;运城学院应用数学系,运城044000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
1 引言
随着医学技术的发展和社会财富的积累以及社会和家庭对HIV/AIDS患者的理解
与关爱，未成年的HIV携带者成长为成年人的几率越来越大，所以研究具有垂直
传播的HIV模型越来越重要，现已有不少成果．例如具有感染年龄结构的HIV模
型[1]，给出了未感染平衡点和感染平衡点局部渐近稳定的充分条件；带有治疗类
的HIV模型[2]，对无病平衡点的全局渐近稳定性和地方性平衡点的局部稳定性进
行了讨论．这些文献给出平衡点的存在性和局部性态，但很少考虑模型的全局性态，特别是对地方性平衡点．此外，在现实中由于成年人和未成年人的行为不同，疾病的传播途径不同，因此有必要将HIV携带者分为成年和未成年两类．为此，本文
将人群分为四类建立了具有垂直传播的HIV模型，通过研究获得了各个平衡点的
存在性及全局渐近稳定的充分条件．
艾滋病患者大致经历三个阶段：急性感染期，潜伏期，艾滋病期．本文中的HIV
携带者指前两个阶段的感染者，主要考虑有垂直传播且具有因病死亡的HIV模型．根据艾滋病的特征，作以下假设：
1) 在艾滋病发展的前两阶段，HIV病毒不会导致HIV携带者死亡；
2) 未成年HIV病毒携带者没有生育能力，且假定HIV病毒携带者的后代为HIV携带者，将携带有HIV病毒的人群分为幼年和成年的两类；
3) 艾滋病患者临床症状明显，不再生育，不传播疾病，同时艾滋病引起患者的死
亡发生在该类人群．
分别用S=S(t),Ii=Ii(t)(i=1,2)来表示易感者、HIV病毒的幼年和成年携带者在t时刻的数量，A=A(t)表示艾滋病患者．在上述假设下建立如下模型
其中µS0表示易感者的输入率，µ表示个体的自然死亡率和成年HIV携带者对婴儿的出生率，β表示HIV成年的携带者与易感者之间的传染率，p表示垂直传播的概率，γ表示HIV携带者Ii(i=1,2)向A的转化率，σ表示艾滋病患者的死亡率(σ>µ)，q表示幼年HIV携带者向成年HIV携带者的转化率．
由于系统(1)的前3个方程不显含变量A，因此考虑系统
将系统(2)的3个方程相加可得
于是，得集合
是系统(2)的正不变集．
用再生矩阵[3]求得模型(2)的基本再生数
2 模型分析
本节对系统(2)进行稳定性分析，易得以下定理．
定理1 若R0<1，系统(2)仅存在无病平衡点E0(S0,0,0)；若R0>1，系统(2)还存在唯一的地方性平衡点E∗(S∗,I∗1,I∗2)，其中
为了证明无病平衡点的全局渐近稳定性，引入下面的引理．
引理1[4] 对于一个在[0,+∞)上有界的实值函数f，定义
设f:[0,+∞)→R是有界的且二次可导，并且有有界的二阶导数．设当k→+∞时，tk→+∞且f(tk)收敛于f∞或f∞，则f′(tk)=0．
定理2 若R0<1，系统(2)的无病平衡点E0全局渐近稳定；若R0>1,E0不稳定．证明由系统(2)在无病平衡点E0处的特征方程得：若R0<1,E0局部渐近稳定；若R0>1,E0不稳定．
根据引理1，选择序列tk→+∞(k→+∞)，使得
和序列τk→+∞(k→+∞)，使得
由系统(2)的第二个方程得
由系统(2)的第三个方程得
由不等式(3),(4)，有
由R0<1，有
从而．已知，故I1=0,I2=0，进一步，有==0，即
也即．由E0局部稳定知，若R0<1，无病平衡点E0在Ω内全局渐近稳定．故得定理2成立．
下面采用基于Krasnoselskii技巧[5]的方法(见文献[6])，证明地方平衡点的局部渐近稳定性．
定理3 若R0>1，系统(2)的地方性平衡点E∗在Ω内局部渐近稳定．
证明地方性平衡点在E∗处的稳定性等价于线性系统
的零解的稳定性．J(E∗)为系统(2)在E∗处的Jacobi矩阵，设u(t)=eλt，其中
=(v,u1,u2)T ̸=0是系统的解时，若λ总具有负实部，则线性系统(5)的零解渐近稳定．
将u(t)=u¯eλt代入(5)，化简整理得
其中
由于detJ(E∗)̸=0，知λ ̸=0．于是设Reλ ≥ 0，则
记|u|=(|u1|,|u2|)T，由(6)可得
注意到满足Hu=u，并且当Reλ≥0时，(6)的解不可能有零分量存在，因此对(6)的任一解u，取
则ω0是使|u|≤ωI∗成立的最小值．于是由(7)有
由(8)知也满足|u|≤ ωI∗．而这与ω0是满足|u|≤ ωI∗的最小ω值相矛盾．因此Reλ ≥0不成立，即J(E∗)的特征根均有负实部，即得定理3成立．
定理4 若R0>1且d<0，地方性平衡点E∗全局渐近稳定．
证明根据文献[7]中的性质3.3，易证系统(2)的一致持续性等价于平衡点E0的不稳定性，故当R0>1时，系统(2)是一致持续的．因此在Ω内存在一个紧吸引子集
K．故由文献[8]中的定理3.3.7的假设(H1)和(H2)成立．关键验证q<0，系统(2)
的Jacobi矩阵J的第二加性复合矩阵为
选取，则
矩阵B=PfP−1+PfJ[2]P−1可写成分块矩阵
其中
令(u,v,ω)代表中的向量，其范数∥·∥定义为∥(u,v,ω)∥=max{|u|,|v|+|ω|}，相应于
范数∥·∥的Lozinskil测度是µ(B)，利用文献[7]的估值法得µ(B)≤sup{g1,g2}，其中
|B12|和|B21|是相应于l1向量范数的矩阵范数，µ1是相应于l1范数的Lozinskil
测度，其中
下面计算µ1(B22)．把B22的每一列的非对角元素取绝对值然后相加到相应列的
对角元素上得，取的两个对角元素的最大值即得
由系统(2)得
把上面两式代入g1和g2得
因为若R0>1，系统(2)是一致持续的，所以存在η>0,M>0,T>0，使得当t>T时，
对于满足(S(0),I1(0),I2(0))∈K的解，都有η<S(t)<M,η<I1<M,η<I2<M，那么：其中d= −µ − βη+βM −q．再利用µ(B)≤ sup{g1,g2}，得，对任意
即有
因此，若R0>1且d<0，根据文献[4]中定理3.3.7知结论成立，即得定理4得证．的t>t∗时成立，从而
参考文献：
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