2019年宁夏银川九中高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题及答案

高考数学精品复习资料
2019.5
银川九中高三下学期第二次模拟考试
数学（文）试题
满分150分，考试时间120分钟． 20xx.3.18
第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1.已知全集U =R ，集合{|21}x M x =>，集合2{|log 1}N x x =>，则下列成立的是（ ）
A ．M N M =
B ．M N N =
C ．()U M
C N =∅
D ．()
U C M N =∅
2. 若i 是虚数单位，则=+-i
i
12（ ） A.i 2321+ B.i 2321- C.i 2323- D.i 2
323+
3.已知
sin 3cos 53cos sin αα
αα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是 （ ）
A ．25
B ．52- C. 2- D ．2
4. 若向量b a ,的夹角为3
π，且1,2==b a ，则a 与b a 2+ 的夹角为（ ） A.6π B.3π C.32π D.65π 5. 若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是7
6,则输入的N 的值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 6. 直线02=++y x 截圆422=+y x 所得劣弧所对圆心 角为（ ） A.
6π B.3π C.32π D.6
5π
7. 设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则能得出a b ⊥的是（ ） A ．a α⊥，//b β，αβ⊥ B ．a α⊥，b β⊥，//αβ C ．a α⊂，b β⊥，//αβ D ．a α⊂，//b β，αβ⊥
8. 已知等比数列{n a }的公比2=q ,且42a ,6a ,48成等差数列,则{n a }的前8项和为( )
A ．127
B ．255
C ．511
D ．1023
9．已知()21s i n ,42f x x x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭
()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是（ ）
10．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ） Ａ．283π- Ｂ．83π
-
Ｃ．82π- Ｄ．
23
π
11．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A
在直线10mx ny ++= 上，其中m ，n 均大于0，则12
m n +的最小值为 （ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
12. 若不等式0log 32<-x x a 对任意)3
1
,0(∈x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A.)1,271[
B.)1,271(
C.)271,0(
D. ]27
1
,0(
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 从等腰直角ABC ∆的底边BC 上任取一点D ，则ABD ∆为锐角三角形的概率为 ；
14. 已知实数y x ,满足约束条件04340x x y y >⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最小值是 _________
15. 双曲线
22
145
x y -=的渐近线方程为____________ 16..已知f (x )＝sin(x ＋π2)，g (x )＝cos(x －π
2)，则下列结论中正确的序号是__________
(1)．函数y ＝f (x )·g (x )的最小正周期为π. (2)．函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为1
2.
(3)．函数y ＝f (x )·g (x )的图象关于点(π4，0)成中心对称 (4)．将函数f (x )的图象向右平移π
2个
单位后得到函数g (x )的图象
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．.(本小题12分)
已知函数()sin()2cos()cos 22
f x x x x x π
π=⋅--+⋅+.
（1）求)(x f 的最小正周期；
（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若4)(=A f ，1=b ，
ABC ∆的面积为
2
3
，求a 的值. 18.（本小题满分12分）某公司销售A 、B 、C 三款手机，每款手机都有经济型和豪华型两种型号，据统计12月份共销售1000部手机（具体销售情况见下表）
已知在销售1000部手机中，经济型B 款手机销售的频率是21.0. （Ⅰ）现用分层抽样的方法在A 、B 、C 三款手机中抽取50部，求在
C 款手机中抽取多少部？（Ⅱ）若133,136≥≥z y ，求C 款手机中
B
A
C
D
P
Q
经济型比豪华型多的概率. 19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中A B C D P -中，底面A B C D 为菱形，︒=∠60BAD ，Q 为AD 的中点. （I ）若PD PA =，求证：平面⊥PQB 平面PAD ；
（II ）若平面⊥PAD 平面ABCD ，且2===AD PD PA ，点M 在线段PC 上， 且
MC PM 2=,求三棱锥QBM P -的体积.
20.（本小题满分12分） 已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>
的离心率为2， 且直线y x b
=+是抛物线22:4C y x =的一条切线。

(1)求椭圆1C 的方程 (2)过点1
(0,)3
S -的动直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐
标；若不存在，请说明理由。

21. （满分12分） 设a R ∈，函数2()(21)ln f x ax a x x =-++（I ）当1a =时，求()f x 的极值；（II ）设()1x g x e x =--，若对于任意的R x x ∈+∞∈21),,0(，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、AE 分别交⊙O 于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F .
（I ） 求证：C 、D 、G 、E 四点共圆.
（II ）若F 为EB 的三等分点且靠近E ，EG 1=，GA 3=，求线段CE 的长.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系x O y 中，直线l 的参数方程为
⎩⎨
⎧=-=t
y t x 33
，（t 为参数），以坐标原点
C
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03c o s 42=+-θ
ρρ （I ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（II ）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1)(-=x x f .
（I ）解不等式6)3()1(≥++-x f x f ；
（II ）若1,1<<b a ，且0≠a ，求证：)()(a
b f a ab f >.
银川市第九中学第二次高考模拟考试
文科数学参考答案
一、选择题
1.D
2.B
3.A
4.A
5.B
6.C
7.C
8.B
9.A 10.A 11.C 12.A 二、填空题
13.1
2 14. -1
15.
y x
= 16. （1）（2）（4） 三、解答题
17. （12分）.
解：（1
）2
()22cos 2f x x x =+
+2cos 232sin(2)36
x x x π
=++=++
.2
2ππ==∴T ---------------------6分
（2）由4)(=A f ，43)6
2sin(2)(=++=∴π
A A f ，.21)62sin(=+∴πA 又ABC A ∆为 的内
角，ππ
π
6136
26
<
+
<∴
A ，ππ6562=+∴A ，.3π
=∴A ------9分
23=
∆ABC S ，1=b ，2
3
sin 21=∴A bc ，2=∴c
∴32
1
21241cos 2222=⨯
⨯⨯-+=-+=A b c b a ，.3=∴a -----------12分 18．（12分）解：（Ⅰ） 因为
0.211000
x
=，所以210x = ………………2分 所以手机C 的总数为：(),2802101602001501000=+++-=+z y ………………3分 现用分层抽样的方法在在A 、B 、C 三款手机中抽取50部手机，应在C 款手机中抽取手机数为
142801000
50
=⨯（部）. …………………………………5分 （Ⅱ）设“C 款手机中经济型比豪华型多”为事件A ，
C 款手机中经济型、豪华型手机数记为(,)y z ，
因为280y z +=，*,N y z ∈，满足事件133,136≥≥z y 的基本事件有：
(136,144)，(137,143)，(138,142)，(139,141)，(140,140)，(141,139)，(142,138)， (143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133)共12个
事件A 包含的基本事件为(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133)共7 个。

所以7
()12
P A =
即C 款手机中经济型比豪华型多的概率为
7
12
……………………………12分 19.（I ） PD PA =，Q 为AD 的中点，AD PQ ⊥∴，又 底面ABCD 为菱形， ︒=∠60BAD ，AD BQ ⊥∴ ,又Q BQ PQ = ∴⊥AD 平面PQB ，又 ⊂AD 平面PAD ,∴平面⊥PQB 平面PAD ;----------------------------6分 （II ） 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面 PAD 平面AD ABCD =,AD PQ ⊥
⊥∴PQ 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ,⊥∴PQ BC ,又BQ BC ⊥,Q QP QB = ,∴⊥BC 平
面PQB ,又MC PM 2=，
∴3
2
232332131=⋅⋅⋅⋅⋅=
=--PQB M QBM P V V ---------------------------12分
B
A
C
D
P Q
20. 解：20.解：（I ）由2
4y x b
y x
=+⎧⎨
=⎩得22(24)0x b x b +-+=
直线y x b =+是抛物线22:4C y x =的一条切线。

所以01b ∆=⇒=
2c e a a ==⇒=221:12
x C y += …………………………5分
（Ⅱ）当直线l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆方程为22214()()33
x y ++= 当直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆方程为221x y +=
所以两圆的交点为点（0，1）猜想：所求的点T 为点（0，1）.…………8分 证明如下。

当直线l 与x 轴垂直时，以AB 为直径的圆过点（0，1） 当直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l 为：13
y kx =-
由221312
y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22(189)12160k x kx +--=设1122(,),(,)A x y B x y 则12
21221218916
189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩ 2121222
4161641216
()(1)0391*******
k TA TB x x x x k k k -∙=-++=+-⨯+=++ 所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆过点（0，1）
所以存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T. ……………………12分
21.（Ⅰ）当1a =时，函数2
()3ln f x x x x =-+，则2231(21)(1)
()x x x x f x x x
-+--'==
. ()0f x '=得：121
,12
x x == 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
因此，当2x =
时，()f x 有极大值，并且()ln 24
f x =--极大值； 当1x =时，()f x 有极小值，并且()2f x =-极小值.--------------------------6分 （Ⅱ）由()1x
g x e x =--，则()1x g x e '=-， 解()0g x '>得0x >；解()0g x '<得0x <
所有()g x 在(,0)-∞是减函数，在(0,)+∞是增函数 即()=(0
)0
g x g =最小值
对于任意的12(0,),x x R ∈+∞∈，不等式12()()f x g x ≤恒成立，则有1()(0)f x g ≤即可. 即不等式()0f x ≤对于任意的(0,)x ∈+∞恒成立.-------------------------------8分
22(21)1
()ax a x f x x
-++'=
（1）当0a =时，1()x
f x x
-'=
，解()0f x '>得01x <<；解()0f x '<得1x > 所以()f x 在(0,1)是增函数，在(1,)+∞是减函数，()(1)10f x f =
=-<最大值， 所以0a =符合题意. （2）当0a <时，(21)(1)
()ax x f x x
--'=
，解()0f x '>得01x <<；解()0f x '<得1x >
所以()f x 在(0,1)是增函数，在(1,)+∞是减函数，()(1)10f x f a =
=--≤最大值， 得10a -≤<，所以10a -≤<符合题意. （3）当0a >时，(21)(1)()ax x f x x --'=
，()0f x '=得121,12x x a
==
1
2a >
时，101x <<， 解()0f x '>得102x a <<或1x >；解()0f x '<得1
12x a
<<
所以()f x 在(1,)
+∞是增函数， 而当x →+∞时，()f x →+∞，这与对于任意的(0,)x ∈+∞时()0f x ≤矛盾 同理1
02
a <≤
时也不成立. 故a 的取值范围为[1,0]-.---------------------12分
22. （Ⅰ）连接BD ，则ABD AGD ∠=∠，90︒∠+∠=ABD DAB ，90︒∠+∠=C CAB 所以∠=∠C AGD ，所以180︒∠+∠=C DGE ，所以,,,C E G D 四点共圆.………..5分 （Ⅱ）因为2⋅=EG EA EB ，则2=EB ，又F 为EB 三等分，所以23=EF ，43
=FB ， 又因为2FB FC FE FD FG =⋅=⋅，所以8
3
=
FC ，2=CE …………………….10分 23.（I ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ；
曲线的直角坐标方程为1)2(22=+-y x -------------------------------4分 （II ）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则
2
|
35)6
cos(2|2
|33sin )cos 2(3|++
=
+-+=π
θθθd
所以d 的取值范围是]2
2
35,2235[
+-.--------------------------------10分 24. （I ）不等式的解集是),3[]3,(+∞--∞ -------------------------------5分
（II ）要证)()(a
b f a ab f >，只需证|||1|a b ab ->-，只需证22)()1(a b ab ->-
而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ，从而原不等式成立.-------------------------------------------10分。