2019考研数学32年真题大串讲

1 1.求下列极限（ : 1） 2004数二 lim x →0 x 3
x →0
2 + cos x x − 1 ； 3
1
4 （2） 2016数二三 lim ( cos 2 x + 2 x sin x ) x .
2. 2005数二 设f ( x ) 连续, 且f ( 0 ) 0, 求 lim
3.求极限式中的参数主要是用洛必达法则（或其他方法）并结合以下几个基本结论逐步 定出其中的参数: （1） 若 lim f ( x) = A, 且 lim g ( x ) = 0, 则 lim f ( x ) = 0, g ( x) f ( x) = A 0, 且 lim f ( x ) = 0, 则 lim g ( x ) = 0, g ( x)
高等数学篇
专题一 求极限及极限式中的参数
1.求函数极限首先对其化简（如因式分解、有理化、通分、换元、 解题思路： 提出极限不为0的因子等）,然后判别类型选择方法（如等价代换、洛必达法则、 泰勒公式、拉格朗日中值定理及导数定义等）； 2.常用的一些等价无穷小及一些基本极限:x → 0 x − sin x 1 3 x , arcsin x − x 6 1 3 x ; x − tan x 6
x 处的切线的直角坐标方程是____. 2 5.设f ( x ) 在 0, + ) 上具有二阶连续导数, 且f ( 0 ) = f ( 0 ) = 0, f ( x ) 0. 若对任意的x 0, 用u ( x ) 表示曲线在切点 ( x, f ( x ) ) 处的切线在x轴上的截距. （1）写出u ( x )的表达式, 并求 lim u ( x ) 和 lim u ( x )； + +
专题三
有定义,则 lim f ( x ) = f ( x0 )；
x → x0
连续与间断
解题思路 : 1.初等函数在其定义域区间内连续, 故若初等函数f ( x ) 在点x = x0的某邻域 2.若函数f ( x ) 在点x = x0处的左、右极限 lim− f ( x ) 和 lim+ f ( x ) 都存在但不相等,
（3）m = n时,f ( x ) + g ( x ) 是x的n阶或高于n阶的无穷小.
x5 x 6 1. 1997数三 设f ( x ) = 0 sin t dt , g ( x ) = 5 + 6 , 则当x → 0时,f ( x ) 是g ( x )的____. ( A) 低阶无穷小 ( B ) 高阶无穷小 ( C ) 等价无穷小 ( D )同阶但不等价的无穷小
x x0
2e +1 ,则f ( x ) ____ . nx n e + x +1 ( A) 仅有一个可去间断点 ( B ) 仅有一个跳跃间断点 2.设f ( x ) = lim
n →
( n +1) x
( C ) 有两个可去间断点
( D ) 有两个跳跃间断点
x2 x, x2 , x 1 3.设f ( x ) = ,g ( x ) = 2 ( x − 1) , 2 x 5 ,讨论f g ( x ) 的连续性, 1 − x, x 1 x + 3, x5 若有间断点请指明类型.
（2）若 lim
（3） 若 lim f ( x ) g ( x ) = A, 且 lim f ( x ) = , 则 lim g ( x ) = 0, （4） 若 lim f ( x ) g ( x ) = A 0, 且 lim g ( x ) = 0, 则 lim f ( x ) = .
x →0
3.设f ( x ) 在x = 0的某邻域内有连续的一阶导数,且f ( 0 ) = 0, f ( 0 ) 存在, 则 lim
x →0
( x − t ) f ( t ) dt . x f ( x − t ) dt
0 x 0
x
f ( x ) − f ( ln (1 + x ) ) x3
x 2
2.当x → 0时, = (1 + x 2 ) − 1, = ln ( 2 − cos t )dt , = e − x − cos 2 x, = ln (1 + x 5 ) + x 6
x x2
2
0
按照从低阶到高阶的排序正确的是 ____ .
( A) , , ,
g ( x)
应改写为y = e
x
1 − x 3 , arctan x − x 3
1 − x3; 3
x − ln (1 + x )
1 1 2 1 x x； lim 1 + = e, lim x = 1, lim x x = 1, lim+ x ln x = 0, lim q n = 0, q 1. + x → x →+ n → x →0 x →0 2 x
x → x0 x → x0
或二者相等但不等于f ( x0 ) , 则称x = x0是f ( x )的第一类间断点（前者称跳跃间断点, 后者称可去间断点）;若函数f ( x ) 在点x = x0的某邻域有定义,且左、右极限
x → x0−
lim f ( x ) 和 lim+ f ( x ) 至少有一个不存在, 则称x = x0是f ( x )的第二类间断点（无穷
专题二
无穷小及其阶
ax k x → 0时, f ( x ) 是x的k阶无穷小；
解题思路： 1.若a 0,k 0, 且x → 0时f ( x ) 2.若k 0, 使 lim
f ( x) = c （常用洛必达法则） 0 x → 0时, f ( x ) 是x的k阶无穷小； x →0 xk 3.若f ( x ) = a0 + a1 x + + ak −1 x k −1 + ak x k + 其中a0 = a1 = = ak −1 = 0, 但ak 0 x → 0时, f ( x ) 是x的k阶无穷小； 4.若x → 0时,g ( x ) 是x的n阶无穷小,f ( x ) 是x的m阶无穷小, 则
3n n →
( D ) f ( x ) 在x = 0处可导
n 2. 2005数一二 设f ( x ) = lim 1 + x , 则f ( x ) 在 ( −, + )内 ____ .
( A) 处处可导 ( B ) 恰有一个不可导点 ( C ) 恰有两个不可导点 ( D ) 至少有三个不可导点 3.设f ( x ) 在 ( 0, + )内有定义, 在x = 1处可导, 且对x, y ( 0, + ) , 有f ( xy ) = yf ( x ) + xf ( y ) . f ( x) （1）证明 : f ( x ) = + f (1)（ ; 2）求f ( x ) .
2 sin n sin n 6. + + 1998数一 求极限 lim n → 1 n + 1 n+ 2
1 n → 0 1
n n + 1 n+ n sin
.
7. （1）设f ( x ) 在 0,1 上连续, 证明 : lim f ( x ) x n dx = 0； （2）设f ( x ) 在 0,1 上连续, 证明 : lim f ( x ) sin nxdx = 0.
x → x0
间断点和振荡间断点是两种常见的第二类间断点）； 3.若函数f ( x ) 在闭区间 a, b 上连续, 则f ( x ) 在 a, b 上有界, 并取得最大值与最小值 及介于最小和最大值之间的任何数.
1.设f ( x ) 在 a, b 上可积,证明F ( x ) = f ( t )dt在 a, b 上连续, 其中x0 a, b .
n → 0
（1）当n为正整数, 且n x ( n + 1) 时, 证明 : 2n S ( x ) 2 ( n + 1)； （2）求 lim S ( x) . x →+ x

0
8. 2000数二 设函数S ( x ) = cos t dt.
0
x
（1）证明数列an 收敛；（2）求an + an + 2；（3）求 lim nan .
x →0 x →0
4. 2014数二 设曲线L的极坐标方程是r = , 则L对应 =

（2）求 lim +
x →0பைடு நூலகம்
xf ( u ) 与 lim uf ( x ) x →0+
f ( t ) dt . f ( t ) dt
0 x 0
u( x)
专题五
求各类函数的导数
解题思路 : 1.求导数的基础是基本导数公式,基本方法是四则运算法则、 复合函数求导法则、反函数求导法则、隐函数求导法则及参数方程求导法则； 2.幂指函数y = f ( x )
专题四
导数的定义及几何意义
解题思路 : f ( x ) 在x = x0处的导数f ( x0 ) 表示曲线y = f ( x ) 在 ( x0 , f ( x0 ) ) 处切线的斜率, 曲线y = f ( x ) 在 ( x0 , f ( x0 ) ) 处切线方程为y − f ( x0 ) = f ( x0 )( x − x0 ) .
( B ) , , , ( C ) , , , ( D ) , , , x xf ( x ) − ln (1 + x ) 3.设f ( x ) 为连续函数, lim = 2, F x = ( ) 2 0 tf ( x − t ) dt , 当x → 0时, x →0
x 1 2 x 与bx k 是等价无穷小, 其中b 0, k 为某正整数, 求k , b值. 2 4. （1）求y = arctan x的7阶带皮亚诺余项的麦克劳林展开式； F ( x) − （2）设x → 0时, f ( x ) = arctan x − x + ax 3 是x的7阶无穷小, 求a, b的值. 1 + bx 2
g( x)
5.若x → 0时f ( x ) 与g ( x ) 分别是x的m阶与n阶无穷小, 又 lim h ( x ) = a 0, 则
x →0
0
f ( t ) dt是x的( m + 1) n阶无穷小.
（1）f ( x ) h ( x ) 是x的m阶无穷小；f ( x ) g ( x ) 是x的m + n阶无穷小； （2）m n时,f ( x ) + g ( x ) 是x的n阶无穷小, f ( x) 是x的m − n阶无穷小. g ( x)
= ____ .
1 − 6 1 3 3 2 4.设 lim x + ax − ( x + x + bx ) e x = , 求a, b的值. x →+ 3 c x 2 a b 5.确定常数a, b, c的值, 使 lim 2 + 4 + 5 e − t dt = 1. x →0 x x x 0
x0 x, 1. 2016数一 设f ( x ) = 1 , 1 x 1 , n = 1, 2, , 则 ____ . n n n +1 ( A) x = 0是f ( x )的第一类间断点 ( B ) x = 0是f ( x )的第二类间断点
( C ) f ( x ) 在x = 0处连续但不可导
n →
n 4 9. 1997数一（改）设 an = tan xdx.
10.设f ( x ) 在 0,1 上可导,对任意的x 0,1 , 有0 f ( x ) 1, 且 f ( x ) 1. （1）证明:方程x = f ( x ) 在 0,1 上有唯一根, 记为 ; （2）对x0 0,1 , xn +1 = 1 ( xn + f ( xn ) ) ( n = 0,1, 2 xn = . ) , 证明 xn 极限存在, 且 lim n →