高中数学 课时跟踪检测(十三)复数的几何意义 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题

课时跟踪检测（十三）复数的几何意义
[课下梯度提能]
一、基本能力达标
1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选B 复数－2＋3i 在复平面内对应的点为(－2,3)，故复数－2＋3i 对应的点位于第二象限．
2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →
对应的复数是( )
A ．－5＋5i
B ．－5－5i
C ．5＋5i
D ．5－5i
解析：选D 由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)，BA →＝OA →－OB →
＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以BA →
对应的复数是5－5i.
3．若复数z ＝(a 2
－2a )＋(a 2
－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0或a ＝2
D ．a ＝0
解析：选C ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上， ∴a 2
－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.
4．设i 为虚数单位，若复数z 满足z －
1＋i
＝i ，其中z －
为复数z 的共轭复数，则|z |＝( )
A ．1 B. 2 C.22
D ．2
解析：选B 由题得z －
＝i(1＋i)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i ， ∴|z |＝(－1)2
＋(－1)2
＝2，故选B.
5．在复平面内，复数3－4i ，i(2＋i)对应的点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为( )
A ．－2＋2i
B ．2－2i
C ．－1＋i
D ．1－i
解析：选D ∵i(2＋i)＝－1＋2i ，∴复数3－4i ，i(2＋i)对应的点A ，B 的坐标分别为A (3，－4)，B (－1,2)．
∴线段AB 的中点C 的坐标为(1，－1)． 则线段AB 的中点C 对应的复数为1－i.故选D.
6．若OA →，OB →对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB →
|＝________. 解析：∵OA →＝(7,1)，OB →
＝(3，－2)， ∴AB →＝OB →－OA →
＝(－4，－3)， ∴|AB →
|＝5. 答案：5
7．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________. 解析：依题意，a 2
＋1＝4＋1，∴a ＝±2. 答案：±2
8．若复数z 满足z ＋i ＝2＋i
i
，其中i 为虚数单位，则|z |＝________.
解析：由z ＋i ＝2＋i i ，得z ＝2＋i i －i ＝1－2i －i ＝1－3i ，则|z |＝12＋(－3)2
＝10.
答案：10
9．若复数z ＝(m 2
＋m －2)＋(4m 2
－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．
解：由题意得z ＝(m 2
＋m －2)－(4m 2
－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，
所以有⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2
＋m －2>0，
－(4m 2
－8m ＋3)>0，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2
＋m －2>0，
4m 2
－8m ＋3<0，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
m <－2或m >1，12<m <3
2
，
即1<m <3
2，故所求m 的集合为⎩⎨⎧
m ⎪
⎪⎪⎭⎬
⎫1<m <32.
10．设复数z ＝log 2(m 2
－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →
|； (2)若OZ →
的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围． 解：(1)log 2(m 2
－3m －3)＝0，所以m 2
－3m －3＝1. 所以m ＝4或m ＝－1；
因为⎩
⎪⎨
⎪⎧
m 2
－3m －3>0，m －2>0，所以m ＝4，
此时z ＝i ，OZ →＝(0,1)，|OZ →
|＝1.
(2)⎩⎪⎨⎪⎧
log 2(m 2
－3m －3)<0，
log 2(m －2)>0，m 2
－3m －3>0，m －2>0，
所以m ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
3＋212，4.
二、综合能力提升
1．已知复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－12＋32i ，则z ＝－z 1z 2＋i 5
在复平面内对应的点位于
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选A 因为z 1＝12＋32i ，z 2＝－12＋32i ，所以z ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋i
5
＝1＋i ，所以复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．故选A.
2．如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B.1
2 C ．2
D. 5
解析：选A 设复数－i ，i ，－1－i 在复平面内对应的点分别为Z 1，
Z 2，Z 3，
因为|z ＋i|＋|z －i|＝2，|Z 1Z 2|＝2， 所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.
问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|＝1.
所以|z ＋i ＋1|min ＝1.
3．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．
解：已知|z －(－2＋2i)|＝1中，z 的对应点轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，|z －(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3.
4．复数z ＝(1＋i )3
(a ＋b i )1－i
且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的
点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．
解：z ＝(1＋i )2
·(1＋i )
1－i (a ＋b i)
＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2
＋b 2
＝4，①
∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.
把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限，∴a ＜0，b ＜0. 由①②得⎩⎨
⎧
a ＝－3，
b ＝－1.
故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。