广西专版高中数学第3章习题课一函数的单调性与最大小值的简单应用课件新人教A版必修第一册 (3)

y=lo t 在区间(0,+∞)上单调递减,所以 y=lo (1-x2)的单调递

增区间为[0,1).故选 D.

(2)由题意可知,a>0,且a≠1.
设g(x)=x2-2ax+8,可得其图象的对称轴为直线x=a.
当 a>1 时,由复合函数的单调性可知,g(x)在区间[1,2]上单调递
> ,
)
A.a<b<c B.c<a<b
C.b<a<c D.b<c<a
(2)下列不等式成立的是(其中a>0,且a≠1)(
)
A.loga5.1<loga5.9
B.lo 2.1>lo 2.2

C.log1.1(a+1)<log1.1a
答案:(1)C (2)B

D.log32.9<log0.52.2

(3)F(x)>0,即loga(x+1)-loga(1-x)>0,
即loga(x+1)>loga(1-x).
+ > ,
当 a>1 时,有 - > ,
解得 0<x<1.
+ > -.
∴使F(x)>0成立的x的取值集合为{x|0<x<1}.
随 堂 训 练

1.函数y=( )x与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是(
所以loga3.1<loga5.2;
当0<a<1时,函数y=logax在区间(0,+∞)内是减函数,
又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.
(4)因为函数y=log3x是增函数,且π>3,
所以log3π>log33=1.
同理,1=logππ>logπ3,
所以log3π>logπ3.
规律总结
2


(2)∵f(x)=log2·log2=(log2x-2)·(log2x-1)=(log2x-) -,
又 1≤x≤4,∴0≤log2x≤2,
∴当

log2x=,即

x= =2

时,f(x)取最小值-;
当 log2x=0,即 x=1 时,f(x)取得最大值为 2,
∴函数

f(x)的值域是[-,2].
(1)已知某函数是奇函数或偶函数,求其中某参数值时,常用方
法有两种:
①由f(-x)=±f(x)直接列关于参数的方程(组)求解.
②由f(-a)=±f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组),求
解,但此时需检验.
(2)用定义证明y=logaf(x)型函数的单调性时,应先比较与x1,x2
对应的两真数间的大小关系,再利用对数函数的单调性,比较
4.4 对数函数
第2课时 对数函数的图象与性质
素养·目标定位
课前·基础认知
课堂·重难突破
随 堂 训 练
素养·目标定位
目 标 素 养
知 识 概 览
1.掌握与对数函数有关的复合函数单调区间
的求法及单调性的判定方法,提升逻辑推理能
力.
2.会解简单的对数不等式,提升数学运算能力.
3.了解反函数的概念及它们的图象的特点.
4.求下列函数的值域:
(1)f(x)=log2(3x+1);


(2)f(x)=log2·log2(1≤x≤4).
解:(1)f(x)的定义域为R.∵3x>0,∴3x+1>1.
∵y=log2x在区间(0,+∞)上单调递增,
∴log2(3x+1)>log21=0,
∴函数f(x)的值域为(0,+∞).
所以原不等式的解集为(0,2).
(2)当 x>1 时,有

logx>1=logxx,
此时不等式无解.
当 0<x<1 时,有

解得<x<1.

logx >1=logxx,


综上所述,原不等式的解集为(,1).
规律总结
对数不等式的常见解法
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,
对底数进行分类讨论.
学以致用

1.(1)已知 x∈(,1) ,a=ln x,b=2ln x,c=(ln x)3,那么(
的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论.
(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形
式,再借助y=logax的单调性求解.
学以致用
2.解下列不等式:
(1)log2(2x+3)≥log2(5x-6);
(2)loga(2x-5)>loga(x-1).
+ > ,
典例剖析
5.已知函数
-
f(x)=log2
(m≠1)是奇函数.
-
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)用函数单调性的定义证明:函数f(x)在区间(-1,1)上单调递
减.
(1)解:由题意得 f(-x)+f(x)=0 对定义域中的 x 都成立,
+
-
所以 log2++log2
=0,
所以ln 0.3<ln 2.
(2)(方法一)因为0>log0.23>log0.24,

所以
.
<

,即
.
log30.2<log40.2.
(方法二)因为在区间(0,1)上,y=log3x的图象在y=log4x图象的
下方,所以log30.2<log40.2.
(3)当a>1时,函数y=logax在区间(0,+∞)内是增函数,又3.1<5.2,
+ > ,
若要使式子有意义,则
即-1<x<1,
- > ,
所以函数F(x)的定义域为{x|-1<x<1}.
(2)F(x)为奇函数.理由如下:
F(x)=f(x)-g(x),其定义域为(-1,1),
且F(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)
=-[loga(1+x)-loga(1-x)]=-F(x),所以F(x)是奇函数.


复合而成,则函数
y=logau 在定义域上是增函数,所以 a>1.易知区间[0,2]为定义
域

-∞,


的子集,所以 >2,解得

a<3,所以 1<a<3.故选 B.
(2)∵x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,∴log3(x2+2x+4)≥log33=1,∴f(x)
∈[1,+∞).
四 对数函数性质的综合应用
规律总结
形如y=logaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)>0,当a>1时,y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单
调性一致.当0<a<1时,y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相
反.
学以致用
3.(1)若函数f(x)=loga(6-ax)在区间[0,2]上单调递减,则实数a的
0<1+x1<1+x2,1-x1>1-x2>0.
+
-
- +
所以+ >1,
>1,所以
·+ >1.
-
-


- +
所以 log2(
·
)>0.所以 f(x1)>f(x2).
- +
所以函数 f(x)在区间(-1,1)上单调递减.
规律总结 常见的对数函数的综合问题及解决策略
证法二:设任意 x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2,
-
-
- +
则 f(x1)-f(x2)=log2+ -log2+ =log2(+ ·
)


-
- +
=log2(
·
),
- +
因为 x1,x2∈(-1,1),x1<x2,所以-x1>-x2,
x
微训练函数 y=() 的反函数是
答案:y=lo x

.
课堂·重难突破
一 比较大小
典例剖析
1.比较下列各题中两个值的大小:
(1)ln 0.3,ln 2;
(2)log30.2,log40.2;
(3)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);
(4)log3π,logπ3.
解:(1)因为函数y=ln x是增函数,且0.3<2,
4.学会用函数图象和代数运算的方法研究与
对数函数有关的复合函数的性质,理解其中蕴
含的运算规律.
课前·基础认知
1.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质
a 的取值范围
a>1
0<a<1
当 0<x<1 时, y<0
当 x>1 时, y>0
在区间(0,ห้องสมุดไป่ตู้∞)内是
增函数
当 0<x<1 时, y>0
所以
( - )
g(x1)-g(x2)=(+ )(+ )>0,


所以 g(x1)>g(x2),
所以函数 y=g(x)在区间(-1,1)上单调递减.
由 g(x1)>g(x2)>0 知 log2g(x1)>log2g(x2).
故
-
-
log2+ >log2+ ,


因此函数 f(x)在区间(-1,1)上单调递减.
,1),
∴a=ln

解析:(1)∵x∈(
x∈(-1,0),
则b=2ln x=ln x2<ln x=a,c=(ln x)3>ln x=a,∴b<a<c.
(2)对于选项A,因为a和1的大小关系不确定,无法确定对数函

数的单调性,故A不成立;对于选项B,因为以 为底的对数函
数是减函数,所以成立;对于选项C,因为以1.1为底的对数函数
当 x>1 时, y<0
在区间(0,+∞)内是
减函数
图象
函数值
性 的变化
质
单调性
2.反函数
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且
a≠1)互为 反函数 ,它们的定义域与值域正好 互换 .
微拓展并不是任何一个函数y=f(x),都有反函数.只有定义域和
值域满足一一对应的函数才有反函数.
解:(1)原不等式等价于 - > ,
+ ≥ -,

解得 <x≤3.

所以不等式的解集为


<≤ .
- > ,
(2)当 a>1 时,原不等式等价于 - > , 解得 x>4.
- > -,
- > ,

当 0<a<1 时,原不等式等价于 - > , 解得<x<4.
两函数值之间的大小关系.
学以致用
4.已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x),其中a>0,且a≠1,
F(x)=f(x)-g(x).
(1)求函数F(x)的定义域;
(2)判断F(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)当a>1时,求使F(x)>0成立的x的取值集合.
解:(1)F(x)=f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(1-x),
取值范围是(
)
A.(0,1)
B.(1,3)
C.(1,3]
D.[3,+∞)
(2)函数f(x)=log3(x2+2x+4)的值域为
.
答案:(1)B (2)[1,+∞)
解析:(1)由题意可知,a>0,且 a≠1,所以 u=6-ax 在定义域上是减
函数,而函数 f(x)由 y=logau,u=6-ax <
减,且 g(x)>0,可得 ≥ , 解得 2≤a<3;
() > ,
当 0<a<1 时,由复合函数的单调性可知,g(x)在区间[1,2]上单调
< < ,
递增,且 g(x)>0,可得 ≤ ,
解得 0<a<1.
() > ,
综上可得,实数 a 的取值范围为(0,1)∪[2,3).故选 D.
是增函数,所以不成立;对于选项D,log32.9>0,log0.52.2<0,故不
成立.故选B.
二 求解对数不等式
典例剖析
2.解下列不等式:
(1)lo x>lo (4-x);


(2)logx>1.

> ,
解:(1)由题意可得 - > ,解得 0<x<2.
< -,
(2)已知函数f(x)=loga(x2-2ax+8)在区间[1,2]上单调递减,则实
数a的取值范围是(
)
A.(0,1)
B.[2,3)
C.(0,1)∪[2,+∞) D.(0,1)∪[2,3)
答案:(1)D (2)D
解析:(1)因为1-x2>0,
所以-1<x<1.
因为 t=1-x2 在区间(-1,0]上单调递增,在区间[0,1)上单调递减,
- < -,
综上所述,当 a>1 时,原不等式的解集为{x|x>4};
当 0<a<1 时,原不等式的解集为


<< .
三 与对数函数复合的函数的单调性与值域
典例剖析
2)
y=lo
(1-x

3.(1)函数
的单调递增区间为(
)

A.(-∞,0]
B.[0,+∞)
C.(-1,0]
D.[0,1)
-
+
-
即+ ·
=1,
-
所以 1-x2=1-m2x2 对定义域中的 x 都成立,
所以 m2=1,
又 m≠1,所以 m=-1,所以
-
f(x)=log2+.
(2)证法一:设
-
g(x)=+,
设任意 x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2,
则 x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0.