高中数学第一章不等关系与基本不等式4不等式的证明第1课时学案北师大版选修4_5

4 不等式的证明第1课时 比较法、分析法
1．理解用比较法、分析法证明不等式的一般方法和步骤，并能证明具体的不等式． 2．理解不等式证明方法的意义，并掌握不等式中取得等号的条件．
1．比较法
(1)求差比较法．
①理论依据：a ＞b ⇔______；a ＜b ⇔______． ②证明步骤：____→变形→____→得出结论． (2)求商比较法．
①理论依据：b ＞0，a b ＞1⇒______；b ＜0，a b
＞1⇒____．
②证明步骤：____→变形→________________． 【做一做1－1】已知x ，y ∈R ，M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的大小关系是( )． A ．M ≥N B ．M ≤N C ．M ＝N D ．不能确定
【做一做1－2】设m ＞1，P ＝m －m －1，Q ＝m ＋1－m ，则P 与Q 的大小关系是__________．
2．分析法
(1)定义：从____________出发，分析使此不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件________的问题，如果能够使这些充分条件都具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做______．
(2)思路：“执果索因”的证明方法，即从______________出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到____________为止．
【做一做2】若a ＋b ＝1，求证：a ＋12＋b ＋1
2
≤2．
答案：
1．(1)①a －b ＞0 a －b ＜0 ②作差 定号 (2)①a ＞ba ＜b ②作商 判断与1的大小关系
【做一做1－1】A M －N ＝x 2＋y 2
＋1－(x ＋y ＋xy ) ＝12[(x 2＋y 2－2xy )＋(x 2－2x ＋1)＋(y 2
－2y ＋1)] ＝12
[(x －y )2＋(x －1)2＋(y －1)2
]≥0． ∴M ≥N ．
【做一做1－2】P ＞QP ＝m －m －1＝1m ＋m －1＞0，Q ＝m ＋1－m ＝1
m ＋1＋m
＞
0，
∴P Q ＝m ＋1＋m m ＋m －1＞1， ∴P ＞Q ．
2．(1)所要证明的结论 是否成立 分析法 (2)求证的不等式 找到已知不等式
【做一做2】分析：利用分析法来考虑，容易找到证明思路．
证明：要证a ＋12＋b ＋1
2
≤2，
即证⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋12
＋
b ＋122≤4，
即证a ＋b ＋1＋2⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋12
·
b ＋12≤4．
∵a ＋b ＝1，故就是要证a ＋12
·b ＋12
≤1，
即证ab ＋12(a ＋b )＋1
4≤1，
即证ab ≤14，只需证ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22，
也就是只需2ab ≤a 2＋b 2
成立，这显然是成立的． 故原不等式成立．
1．比较大小关系的一般方法 剖析：比较大小关系的一般方法是求差或求商比较法．可以先用特殊值赋值的方法对最后的结果进行预测，再进行比较．还有一类较为特殊的比较大小的问题，如数列问题中，两个数或代数式的大小可能会随一些变量或参数的不同范围而发生变化，这就要注意对相关问题的讨论，大小关系一定或不一定，首先应判断．
2．求商比较法中的符号问题
剖析：在求商比较法中，b a
＞1⇒b ＞a 是不正确的，这与a ，b 的符号有关，比如若a ，b ＞0，由b a ＞1，可得b ＞a ，但若a ，b ＜0，由b a
＞1，可得b ＜a ，所以在求商比较法中，要对
a ，
b 的符号作出判断．对于此类问题，分为含参数变量类的和大小固定的，因而可以通过
特殊值的方法先进行一定的猜测，进而再给出推理或证明过程．
题型一用求差比较法证明不等式
【例1】已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证：ax 2＋by 2≥(ax ＋by )2
． 分析：利用作差→变形→定号→结论的步骤去证明．
反思：利用比较法来证明不等式时，为了说明差式的符号，有下列三种常用的方法：①将差式分解因式；②将差式通过配方写成一些正(负)数的和；③构造新函数，证明函数恒正或恒负．
题型二用求商比较法证明不等式
【例2】已知a ≥1，求证：a ＋1－a ＜a －a －1．
分析：因为a ≥1，所以不等式两边都大于0，可考虑用求商比较法比较大小．
反思：根据左、右两边都含无理根号的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于0时，两边平方是等价变形，否则要改变不等号方向．
题型三用分析法证明不等式
【例3】已知α，β∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，且α≠β，求证：tan α＋tan β＞2tan α＋β2．
分析：本题证明关系比较复杂，直接证明不易观察出因果关系，因此可以用分析法去找出证明思路．
反思：利用分析法论证“若A 则B ”这个命题的模式是：欲证命题B 为真，只需证明命题B 1为真，从而又只需证明命题B 2为真，从而又……只需证明命题A 为真，又已知A 为真，故B 为真．可简写成B ⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A ．
题型四易错辨析
【例4】设a ＋b ＞0，n 为偶数，求证：b n －1a n ＋a n －1b n ≥1a ＋1
b
．
错解：b n －1a n ＋a n －1b n －1a －1b ＝a n －b n a n －1－b n －1ab n
．
∵n 为偶数，∴(ab )n
＞0．
又a n －b n 和a n －1－b n －1
同号， ∴b n －1a n ＋a n －1b n －1a －1
b ＞0， ∴b n －1a n ＋a n －1b n ≥1a ＋1b
． 错因分析：由a ＋b ＞0可知a ，b 同正，也可以存在一正一负的情况，上面错解没有考
虑这种情况，并且等号的取得也没有考虑．
反思：在证明不等式的过程中，充分挖掘条件，利用条件是关键，特别是“等号”是否成立的条件的判断上要特别注意．
答案：
【例1】证明：∵a ＋b ＝1，
∴ax 2＋by 2－(ax ＋by )2
＝ax 2＋by 2－a 2x 2－2abxy －b 2y 2
＝a (1－a )x 2＋b (1－b )y 2
－2abxy
＝abx 2＋aby 2－2abxy ＝ab (x －y )2
． 又a ，b ∈R ，
∴ab (x －y )2≥0，∴ax 2＋by 2≥(ax ＋by )2
．
【例2】证明：∵a ≥1，∴a ＋1－a ＞0，a －a －1＞0， ∴左边右边＝a ＋1－a a －a －1＝a ＋a －1a ＋1＋a
＜1， ∴左边＜右边，
即a ＋1－a ＜a －a －1．
【例3】证明：欲证tan α＋tan β＞2tan α＋β
2
，
只需证sin αcos α＋sin β
cos β＞2sin
α＋β2cos
α＋β
2，
只需证α＋β
cos αcos β＞2sin
α＋β2cos
α＋β
2
．
∵α＋β2∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin α＋β2＞0．
又∵sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β
2
，
故只需证cos
α＋β2cos αcos β＞1
cos
α＋β
2
，
∴只需证cos 2α＋β
2
＞cos αcos β，
即证1＋cos α＋β2
＞cos αcos β，
即证1＋cos αcos β－sin αsin β＞2cos αcos β． 只需证1＞cos(α－β)， ∵α≠β，∴结论显然成立． 故原不等式成立．
【例4】正解：b n －1a n ＋a n －1b
n －1a －1b ＝a n －b n a n －1－b n －1
ab
n
． 当a ＞0，b ＞0时，(a n
－b n
)(a n －1－b n －1)≥0，(ab )n
＞0，
∴a n －b n a n －1－b n －1
ab n
≥0，
∴b n －1a n ＋a n －1b n ≥1a ＋1b
． 当a ，b 有一个为负数时，不妨设a ＞0，b ＜0． ∵a ＋b ＞0，∴a ＞|b |．
又∵n 为偶数，∴(a n －b n )(a n －1－b n －1
)＞0．
∵(ab )n
＞0，∴a n －b n a n －1－b n －1ab n
＞0，
∴b n －1a n ＋a n －1b n ＞1a ＋1b
． 综上，原不等式成立．
1已知x ＞0，y ＞0，则下列关系式成立的是( )． A ．()()
112
23
323
x y x y +>+ B ．(
)()
112
23
32
3
x y x
y
++＝
C ．(
)()
11223
32
3
x y
x
y
+<+D ．(
)()
112
23
32
3
x y
x
y
+≤+
2设n ∈N ＋
，则n ＋4－n ＋3__________n ＋2－n ＋1．
3若a ，b ，m ，n 都为正实数，且m ＋n ＝1，则ma ＋nb 与m a ＋n b 的大小关系是__________．
4(2010·江苏高考)设a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2
)． 答案：
1．A 假设112
23
33
2
()()x y x y +>+成立，下面证明： 要证明112
23
33
2
()()x y x y +>+．
只需证(x 2＋y 2)3＞(x 3＋y 3)2
，
即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6＞x 6＋2x 3y 3＋y 6
，
即证3x 4y 2＋3x 2y 4＞2x 3y 3
．
∵x ＞0，y ＞0，∴x 2y 2＞0，即证3x 2＋3y 2
＞2xy ．
∵3x 2＋3y 2＞x 2＋y 2
≥2xy ，
∴3x 2＋3y 2
＞2xy 成立． ∴112
23
33
2
()()x y x y +>+． 2．＜ ∵n ＋4－n ＋3＝
1
n ＋4＋n ＋3，
n ＋2－n ＋1＝
1
n ＋2＋n ＋1
， ∴n ＋4－n ＋3n ＋2－n ＋1＝n ＋2＋n ＋1n ＋4＋n ＋3
＜1，
又n＋4＋n＋3＞0，
∴n＋2＋n＋1＜n＋4＋n＋3，
∴n＋4－n＋3＜n＋2－n＋1．
3．ma＋nb≥m a＋n b由a，b，m，n为正数，且m＋n＝1，可知m＝1－n，n＝1－m，
∴(ma＋nb)2－(m a＋n b)2
＝ma＋nb－m2a－n2b－2mn ab
＝m(1－m)a＋n(1－n)b－2mn ab
＝mn(a－b)2≥0．
又ma＋nb＞0，m a＋n b＞0，
∴ma＋nb≥m a＋n b．
4．证明：由a，b是非负实数，求差，得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b (b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．
当a≥b≥0时，a≥b，
∴(a)5≥(b)5．
∴(a－b)[(a)5－(b)5]≥0；
当0≤a＜b时，a＜b，∴(a)5＜(b)5．
∴(a－b)[(a)5－(b)5]＞0．
综上，可得a3＋b3≥ab(a2＋b2)．。