声学极化子的基态能量及其自陷转变（可编辑）

声学极化子的基态能量及其自陷转变
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卅乃.口夕.‖
作者签名: 签字日期:
司缘,
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汐,弓.口孓,多
作者签名: 签字目期:
闰氨.
签字日期:
导师签字:。

喈
Ⅲ瓮气
摘要
论文题目:声学极化子的基态能量及其自陷转变
专业:凝聚态物理
硕士生:周鑫签名:
旦鱼:
指导教师:侯俊华签名:
摘要
自陷电子对了解材料的光学性质有非常重要的意义,人们对此也进行了很多的研
究。

电子与声学声子之间的短程相互作用对电子的自陷起着至关重要的作用。

因此,
只有求导出电子一纵声学声子相互作用的哈密顿量,才能研究声学极化子自陷的相关
问题。

首先重新求导出三维系统中电子一纵声学声子相互作用的新哈密顿量,与等人的结果进行比较,验证这种新的求导系统哈密顿量的方法的适用性。

接着对二维声学极化子及其白陷的问题进行研究,利用电子通过形变势与声子的
耦合方法导出二维电子一纵声学声子相互作用的哈密顿量,再运用变分
法计算它的基态能量。

发现所得的结果和等人的结果相同,而这个结果不符合声学极化子自陷的一般规律。

因此,在基态能量的求导过程中,考虑到自然界中并
没有真正意义的二维材料,所谓的二维只是在三维的基础上一个维度受到束缚其它两
个维度是自由的,类似于二维的一个效果。

所以,在最后的积分中加入砂,使求导
更贴近实际。

运用得出的结果绘出声学极化子的基态能量随电子一声子耦合常数变化
的曲线,再进行讨论分析得出结论。

用同样的方法进一步研究了一维声学极化子及其
自陷的相关问题。

比较三维,二维,一维声学极化子自陷的情况,可以看出:每个维度的声学极化
子都有其自陷的判别标准,维度越低,声学极化子越容易自陷。

这对于在理论上判断
一些实际材料中声学极化子的自陷问题提供了帮助。

山西师范大学学位论文【关键词】电子一纵声学声子相互作用变分法
自陷基态能量声学极化子
【论文类型】基础研究
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目录
绪论
.
研究背景..
.本文研究内容及安排?
三维电子一纵声学声子系统的哈密顿量的推导??. .
三维电子~纵声学声子系统的哈密顿量?
.
结论?..
二维声学极化子及其自陷转变?..
.
二维电子~纵声学声子系统的哈密顿量?
.
变分法.
基态能量一。

结果与讨论
一维声学极化子的基态能量及其自陷转变?. .
一维电子~纵声学声子系统的哈密顿量.
.
变分法?.
.基态能量
.结果与讨论凸结??.、:口?一
致谢
参考文献??山西师范大学学位论文
绪论
绪论
.研究背景
进入世纪,科学技术飞速发展,资源加速枯竭,生态环境不断恶化,这也对材料科学技
术有了更高的要求,材料科学领域进入一个跨越式的创新发展时期。

现在广泛应用的功能材料,
人们对此已经有了成熟的理论和技术,但是这些功能材料的尺寸远远大于电子自由程。

随着材料
科学技术的发展,当这些功能材料的尺寸逐渐减小到与电子自由程相当时,传统的理论和技术不
再适用,这就需要人们对低维材料进行深入的研究。

低维材料通常包括三维材料之外的二维材料,一维材料和零维材料。

所谓的二维材料,是
指电子在运动时在一个方向上受到限制,可以称为超晶格或量子阱:若电子运动时在两个方向上
受到限制则称为量子线也就是一维材料:而零维材料是指如在三个方向上电子的运动都受到了束
缚,也可以称为量子点。

低维新型材料的结构特性已经成为人们广泛关注的对象¨。

目前所掌握
的量子阱的制备技术主要包括金属有机物化学气相沉淀Ⅲ,膜Ⅲ,自组装技术‘和分子束外
延量子线的制作方法有微倾斜的衬底上外延生长法选择外延法,以及形槽的衬底上外延生长法。

对于零维半导体材料的制备则主要采用自组织生长方法,运用的材料包
括:,,等Ⅲ。

与自然界中的物质相比,低维材料的结构比较特殊。

在低维结构中,由于电子受到约束,
使得材料的电子态密度发生改变,相应的声子系也得到调制。

因此,这种特殊的结构也使得许多
低维材料展现了非常奇特的物理现象。

低维材料的发展研究对现代社会的前进起了巨大的推动作
用。

目前对于低维系统中材料的物理特性的研究已经有了新的突破,各种新型功能器件的应用在
各个领域都发挥着重要的作用。

年代后期,用量子线来制作激光二极管和蓝光发光二极
管,提高了光盘的存储密度和激光的打印速度。

对于量子阱器件的应用则更加广泛。

例如量子阱
红外探测器,与其他探测器相比,它的响应速度快,探测波长可以调节。

目前被广泛应用在军事,
医疗,消防和工业领域。

应用范围最广的则是半导体发光二极管,目前已经实现了商品化。

与白
%以上。

在能源越来越匮乏的今天,
炽灯相比,不仅寿命延长几个数量级,节能功能更是高达
这无疑是个很大的贡献。

了解物体的宏观性质都是通过观测围观体系对外界扰动的物理响应来实现的。

我们知道,物
体都是由大量的粒子如电子,离子组成的,这些粒子之间存在着很强的相互作用,是一个复
杂的多体系统。

为了把这个复杂的多体系统简化成接近于理想气体的准粒子系统,我们引入了元
激发。

元激发大体上分为两类:一类为集体激发的准粒子;另一类为单粒子激发的准粒子。

晶格
振动的格波就是最典型的集体激发的例子,其准粒子称为声子。

在晶体中,电子受到晶格振动的
影响,主要体现在形变和质变连个方面。

形变主要是晶体内部离子密度的变化。

此时,电子受到
周期势和形变势的作用。

声学振动是形变势的主要体现,因此其内部粒子间的相互作用主要表现
为电子与声学声子之间的作用。

质变是指晶体内部离子之间发生相对位移引起极化,形成极化场。

山西师范大学学位论文
极化波的量子是光学声子,因此它主要是电子与光学声子的相互作用。

如果晶体中注入电子,由
于它对晶格的作用,周围的晶格会发生畸变:正离子靠拢而负离子远去。

这种畸变是一种极化,
称为“极化云”。

电子缓慢运动,极化云也随之运动。

极化子就是这种缓动电子与其周围极化云
的结合体,也是电子与声子场相互作用系统的准粒子,对于不同的晶体,电子与声子的耦合强度
大不相同。

耦合较弱时,电子是自由的。

当耦合增强时,由于电子运动时拖着周围的极化云,质
量增加,它被其自身感应的势阱“陷落”,位能降低,称为自陷。

自陷电子对了解材料的光学性质有着非常重要的意义。

年,构想出自陷电子的
可能性‘。

这对于研究电子与声子的相互作用做出了很大的铺垫。

由于电子在极性晶体中运动
时不断发射光学声子,因此电光学声子的相互作用成为研究的热点。

直到的研究表明
电声学声子之间的短程相互作用是电子自陷的触发器。

人们才开始了关于电子与声学声子之
间相互作用的研究。

电子与声学声子耦合主要有形变势耦合,压电耦合及涟波机制耦合。

电子主
要是通过形变势与声学声子耦合川;只有当材料结构限制非常明显时,涟波机制耦合才会占主
要地位因此,研究电子通过形变势与声学声子的耦合是非常有意义的。

路径积分法,中间耦合方法,高斯近似法和变分法是计算极化子基态
能量最常用的几种方法。

Ⅲ采用变分法,通过计算有效质量研究了声学模对电子
自陷的重要性。

和则是对变分进行改进,计算出各种极化子的基态能量和平均声子数。

等人¨通过路径积分法研究了三维系统声学极化子及其自陷的、
爨
、, 、一。

心
§
”掌
图.
声子截止波矢为,时对应的三维声学极化子的基态能量
随电子一声子耦合常数变化的曲线引自文献【】
问题。

并对路径积分法近似所得的极化子基态能量值比高斯近似法和方法所得的结
绪论
果进行比较。

发现路径积分法所得的结果更加精确些。

但是,路径积分法有一
个缺点是计算过程比较复杂。

¨钉采用变分法研究了三维声学极化子基态能量。

比较变分法,路径积分法,方法。

如图.所示,三种方法所得的极化
子基态能量随电声子耦合常数变化的曲线非常接近,相同情况下,变分法所得的声
学极化子的基态能量稍低。

相对来说,变分法的计算过程简单而且适用于整个电声
子耦合区间。

因此,变分法是计算声学极化子的一种简单有效的方法
¨¨等人对二维声学极化子自陷的相关问题进行了研究,得出极化子自陷的
临界电子
一声子耦合常数几乎为定值.,不随声学声子截止波矢的变化而改变。

这与的结论
相悖,不符合声学极化子自陷的一般特征。

采用变分法,计算了二维声学
极化子基态能量和有效质量。

在计算过程中,采用和处理二维光学极化子一样的方法Ⅲ。

得出
的结论与等人的结论相同。

但是这种方法所得的哈密顿量是从三维积分而来,与真正意
义上直接推导出的二维系统的哈密顿量相比还是有一定的误差。

因此,我们需要对二维声学极化
子自陷的相关问题进行更加深入的研究讨论。

与一般系统相比,一维材料中电子和声子模都受到约束,其电子一声子相互作用也有所不
同。

目前人们对一维材料已经有了一定的研究。

例如电声学声子相互作用与电子散射率,热传导
等的关系
对一维声学极化子自陷问题进行了研究。

分析发现:一维声学极化子的自陷的临界值远低于二维和三维,将更容易自陷。

在求导一维电子??纵声学声子相互作用哈密顿量
时,他采用和求导二维系统哈密顿量一样的处理方法,在三维哈密顿量的基础上直接进行积分。

这样得到的结果和在一维的基础上直接进行推导所得到的的结果还是有一
定的差别。

同时他还对
柱形量子线中声学极化子自陷的问题进行研究对矩形量子线中声学极化子的自陷
问题进行了研究,同样是采用采变分法进行计算,最后给出判定矩形量子线中声学
极化子自陷的标准。

但是,目前来说对这方面的研究还不是很完善,我们需要做更进一步的讨论。

综上所述,随着微电子及微细加工技术的发展,低维材料已经成为令人关注的极有希望的
固体材料,它将广泛应用于社会生活的各个领域。

而电子的自陷对研究材料的发光性质有重要的
作用。

因此,理论上对声学极化子自陷问题进行研究是很有必要的。

.本文研究内容及安排
关于声学极化子自陷的相关问题,已经有很多人进行研究。

等人研究了三维声学极
化子自陷的相关问题,给出了判断声学极化子自陷的标准。

在三维电子一纵声学声子相互作
用的哈密顿量的基础上积分得到二维系统汞一维系统的哈密顿量,重新讨论研究了二维和一维声
学极化子的自陷,得出了和相同的结论,但是这种哈密顿量的求导方法相对来说并不是
很精确。

电子和声学声子主要是通过形变势来耦合的,我们利用电子通过形
变势与声子耦合的方
法对系统的哈密顿量进行推导,可直接得到各维系统的哈密顿量,再运用变分法计
算出声学极化子的基态能量,对二维和一维结构中声学极化子自陷的相关问题进行更深入准确的山西师范大学学位论文
讨论。

全文共包括五个部分:
第一部分
简要概括了低维材料在国内外的发展状况,提出了研究低维材料中声学极化子自陷的
意义。

第二部分
从声学振动的格点位移出发导出三维电子一纵声学声子耦合的哈密顿量,并与前人的
哈密顿量进行比较,验证新的哈密顿量的求导方法的可行性。

第三部分
用前面验证的新的方法推导出二维电子一纵声学声子系统的哈密顿量,计算出二维声
学极化子的基态能量。

同时与前人的结果进行比较,来讨论二维声学极化子自陷的相
关问题。

第四部分
进一步推导出一维电子一纵声学声子的哈密顿量,通过计算一维声学极化子基态能
量,考察一维声学极化子的自陷。

第五部分对全文总结。

三维电子?纵声学声子系统的哈密顿量的推导
三维电子一纵声学声子系统的哈密顿量的推导
根据晶体的结构特征,我们可以将它们分为极性与非极性两类,原胞在外场可以被极化的晶
体称为极性晶体,否则为非极性晶体。

在极性晶体与非极性晶体中都可以激发声学声子,光学声
子则只能在极性晶体中出现。

电子与声学声子耦合主要有形变势耦合,压电耦合及涟波机制耦合。

在此我们主要讨论电子通过形变势与声学声子的耦合。

并由此求导出三维电子一纵声学声子相互
作用的哈密顿量。

.三维电子一纵声学声子系统的哈密顿量
品格中电子一纵声学声子系统的哈密顿量主要由三个部分构成:电子的哈密顿量、声子的哈
密顿量、电子一纵声学声子相互作用的哈密顿量。

品格振动是一个典型的小振动问题,在处理小
振动问题时一般都取简谐近似。

所以,三维晶格中电子的哈密顿量为:
三
二
为电子带质量,为三维电子动量算符。

声子就是指格波的量子,它的能量等于壳绒。

一个格波,也就是一种振动模,称为一种声子。

因此,声子的哈密顿量为:
线性关系%表示声学声子频率的色散关系,是声波速率。

西口。

分别为声学声子的产生算
符和湮灭算符。

电子和声学声子主要是通过形变势耦合的。

在此,我们利用电子通过形变势声子的相互
作用的方法来推导出电子一纵声学声子相互作用的哈密顿量。

一。

?彳,
其中为形变势常数。

晶格的小振动可以分解为~系列独立的简正振动模。

每个简正模对应一
个格波,若将,处的位移用格波来描述。

则可表示为:
协¨,
砸,莩去卜孑和。

∞
式中,为三维晶体的密度,为三维晶体的体积,%为极化矢量,是极化方向的单位矢量,
满足正交归一条件。

将.?代入?.得到电子一声学声子的相互作用的哈密顿量为:
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..
%国毅去弘妒‘;
也可以表示为:
..
一,∑巧?.口:她
黼巧叫等只等%表示电子一声子的耦合溅口丽是与缴碳的蜉声
学声子耦合常数。

所以三维电子一纵声学声子系统的哈密顿量可以表示为:
七,
日丽莩慨《%莩弘哥;西沌
.结论
式所得出的三维电子一纵声学声子系统相互作用的哈密顿量是利用电子通过形变势
与声子的相互作用所得到的。

,和?都对三维声学极化子自陷的问题
进行过研究。

他们所导出的哈密顿量也得到许多的研究者的认同和运用。

我们利用这种方法所求
导的哈密顿量与他们的哈密顿量完全相同。

证明此种方法对于求导系统的哈密顿量是适用的。

二维声学极化子及其自陷转变
二维声学极化子及其自陷转变
在上一章中,我们介绍了一种新的求导出电子一纵声学声子相互作用的哈密顿量的方法,并
验证了这种方法的可行性。

本章我们将运用这种方法重新求导出描述二维电子一纵声学声子相互
作用的新的哈密顿量,计算出二维声学极化子的基态能量,考察二维系统中声学极化子的自陷的
相关问题。

.二维电子一纵声学声子系统的哈密顿量
对于二维晶格振动的研究,是在所谓“简谐近似”下进行的。

二维晶格中电子一纵声学声子
系统的哈密顿量也是由三个部分构成:二维电子的哈密顿量、二维声子的哈密顿量、二维电子一
纵声学声子相互作用的哈密顿量。

同三维一样,二维晶格中电子的哈密顿量为:
萨
..
日。

二
‘
为电子带质量,为二维电子动量算符。

二维晶格中声子的哈密顿量为:‰∑;,
,
线性关系表示声学声子频率的色散关系,是声波速率。

;口,分别为声学声子的产生算
符和湮灭算符。

对于二维电子一纵声学声子相互作用的哈密顿量,则采用我们新验证的方法,即利用电子通
过形变势与声子的相互作用‘来推导。

以~。

?
其中为形变势常数。

形表示品格振动的格点位移。

若用连续媒质模型描述,那么处媒质的
位移用格波可以表示为:
俘¨,
讯,莩去卜;咖,叫,
式中,为二维晶面的密度,为二维晶面的面积,巳为极化矢量,是极化方向的单位矢量,
满足正交归一条件,且有哆一丘,。

将..代入..得到电子一声学声子的相互作用的哈密顿量为
五,
%:国事去抄叫矽两
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也可以表示为:。

.
一;?’一.彬比
,
其中,影等咒
%表示电子一声子的耦合函数,口丽是与维数无关的电子.声
学声子耦合常数。

所以二维电子一纵声学声子系统的哈密顿量可以表示为:
芴/莩办哆哆哆莩影可口;哆.
.
变分法
由?出发,运用变分法,计算出二维声学极化子基态能量。

先对上式做一次么正变换
一胁∑歹?施;口,
为一个描述耦合的参数。

在强耦合极限下,此参数为;在弱耦合极限下,此参数值为。

变换后的极化子哈密顿量为:
去一口莩壳口;哆莩壳哆嘭口,莩影口;一砸一日歹?乃础?】
引入二维电子的动量,坐标线性组合算符:
风:,%~%饥
一刍%仇瑚
其中,,,兄又一为变分参数。

作用于..式,此时哈密顿量成为
肚警莓等莓彬彬懒莓壳材等口;以,
≯衫唧卜笺学№№口南%莩堋二维声学极化子及其自陷转变吲帅刍莓删沌芴莓如州口,叩,.
.
一口马%善壳以瓯
再做第二次么正变换
%∑乃口;一‖口,
,
可得到
矿了七¨莩时口等口丹毋“矿
莓影影‖卜警】.卜一口呸岳‖莓几比】
.叫南军儿”Ⅷ
丢?。

砌善警
..
、,,。

.基态能量
极化子的基态为,仇,
所以二维声学极化子的基态能量为:
岛”
.,时口等水‖醑专竽..
..
其中
:刊%』
纠
六一上』几
力壳//肌
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岛三州叫
一手叛即警
在上面哈密顿量的求导中,我们得出电子一声学声子耦合函数:
.
影叫了;必等%
晶互壳兄一口
七剐七
一莩三磅十一一手磁叶一
;一口
五引
一南灏唧警
采用球坐标积分法,则在二维条件下歹
舀圭坝叫
,/ . ,
一斋
”≯镶坤警弦
选波矢的单位为%,能量的单位为研,经过一些标准的处理计算,可得二维声
学极化子的
专一口
二维声学极化子及其自陷转变
.
勘轰唧訾
这个结果与等人‘给出的结果一样。

:¨等人已经指出:选用与等人相
同的电子~声学声子相互作用哈密顿量,可以得出在物理上较为合理,结论更符合声学极化子自
陷的一般特征的结论。

但是与三维声学极化子自陷的研究结果不同的是:极化子自陷转变点对应
的临界电子一声子耦合常数与声子截止波矢的乘积随声子截止波矢的增大而增大,而不是趋于定
值。

这是因为这个哈密顿量具有与三维情形类似的耦合函数的缘故。

利用这个结论我们分析得出
结论:因为纯二维的物质在现实生活中是不存在的,我们在此研究的二维系统,亦须是电子在一
个维度上受到束缚,另外两个方向是自由的,而不是说它的另一个维度完全消失不见。

对此,我
们大胆假设,可以在..式的积分部分乘上,以使二维电子一声子耦合包含另一维度电子
一声子耦合而较三维更强。

其中为任意常数,为方便计算,在此我们认为,则..式
变为
磊
冲警
:『。

砑
.结果与讨论
利用..式,我们对不同截止波矢的二维声学极化子的基态能量做了变分计算,图
.给出了声子截止波矢为,,时二维声学极化子的基态能量随电子一声子耦合常数变化
的曲线。

从图中可以看到,二维声学极化子的基态能量随电子一声子耦合常数的增大而减小。

声子截
止波矢为虱.时,当耦合常数约为.时,曲线上出现明显的拐点。

这个拐点是电子一
声子耦合由弱到强的过渡点,也是声学极化子由准自由态向自陷态转变的转变点,因此常称这个
转变点为临界点,该点对应的电子一声子耦合常数就称为临界耦合常数,记为,。

,≈.时,
对应的基态能量的值约为一.×。

截止波矢增大到时,图.基态能量随电子一声子
耦合常数变化的曲线上同样有明显的拐点,它所对应的的临界耦合常数。

≈.,相应的基
态能量的值为一.×。

可以看到,截止波矢增大时,临界耦合常数减小,相应的基态能量也
减小。

为了验证这个结果,我们再观察声子截止波矢为时的值,图.所示拐点对应的临界电
子耦合常数。

≈.,基态能量的值为一.×。

比截止波矢为时对应的值要小。

所以,
我们可以得出这样的结论,临界耦合常数随着声子截至波矢的增大而减小,同时对应的基态能量的
值也随之减小。

山西师范大学学位论文
图.声子截止波矢分别为,,时对应的二维声学极化子基态能量随
电子一声子耦合常数变化的曲线
¨也对二维声学极化子的自陷问题做过研究,他利用处理二维光学极化子的方法,将
声子模的波矢分为,,分量,然后对方向分子波矢积分到截止波矢,得到二维电子.声子的耦
合函数,从而得出它的哈密顿量。

进而运用变分法,得到二维声学极化子的基态能
量,绘出了声子截止波矢在,,时对应的声学极化子基态能量及其一阶导数随电子.声子
耦合常数变化的曲线。

如图.:声子截止波矢为时,基态能量随电子一声子耦合常数变化的
曲线是光滑的,并没有拐点,而在基态能量一阶导数随电子一声子耦合常数。