应用微分证明不等式的方法与技巧

应用微分证明不等式的方法与技巧
张海芳
【摘要】证明不等式的方法多种多样，其中应用微分证明不等式就是比较经典的方法之一。

本文就以微分为工具，详细讨论了如何证明不等式的方法、技巧，并举例分析应用，且进行了归纳总结。

【期刊名称】《产业与科技论坛》
【年(卷),期】2016(015)014
【总页数】2页(P42-43)
【关键词】不等式;微分;导数
【作者】张海芳
【作者单位】滇西科技师范学院
【正文语种】中文
众所周知，不等式是继函数与方程之后的一个重要知识点，其在函数性质的研究、微分方程的求解、数值计算、数值估计、计算方法、数据挖掘、数理与统计、图像处理等方面起着重要的作用，而不等式的求解与证明一直是初等数学的难点，怎样快速有效地求解与证明不等式，就显得极为重要了。

证明不等式的方法多种多样，针对不同类型的不等式，其证明的方法也不同，本文中主要考虑的是在不等式中的函数有较好性质时的情形，例如要求函数可导、可微、有单调性等性质，主要用到的方法有：用导数的定义证明不等式、用可导函数的单调性证明不等式、用函数的极值与最大(最小)值证明不等式等，并详细讨论了如何证明不等式的方法、技巧，
并举例分析应用，且进行了归纳总结。

证明方法根据：导数定义。

例1 设函数(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx,a1,a2,…an为实数，n为正整数，对任意的实数x，有|(x)|≤|sinx|，证：|a1+2a2+…+nan|≤1。

证明因为'(x)=a1cosx+a2cos2x+…nancosnx，则'(0)=a1+2a2+…+nan
由导数的定义，
|'(0)|
由于|(x)|≤|sinx|，所以，即
证明方法：找出辅助函数(x)，确定闭区间[a,b]；找辅助函数的几种办法：用不等式两边差；用不等式两边相同“形式”的特征；如果要证明的不等式有幂指函数，可以把其化为便于证明的式子，再结合不等式的特点，求辅助函数。

再去考虑(x)在闭区间[a,b]上的单调性，用以证明不等式。

例2 证1+xIn(x+)>(x>0) 。

分析：先求解辅助函数(x)=1+xIn(x+)-，x∈[0,+∞)，从而把所要证明的不等式转化为证明(x)>0，x>0。

而(0)=0，因而只要证明(x)>(0)，x>0。

证明：令(x)=1+xIn(x+-)，x∈[0,+∞)。

易知(x)在[0,+∞)上连续，且有
'(x)=In(x+)>0，x∈[0,+∞)。

由单调性判定定理(x)在[0,+∞)上严格增加，所以(x)>(0)=0，x>0，即1+xIn(x+)->0，
因此1+xIn(x+)>(x>0)。

例3 求证≤。

分析：由于不等式两边有的分式，找出辅助函数(x)=，X≥0，根据单调性判定定理，判定出(x)在[0,+)上的单调性证明不等式。

证明：设辅助函数(x)=，X≥0。

易知(x)在[0,+)上连续，且有'(x)=>0,(x>0)，由函数单调性的判定定理可知(x)在[0,+)上严格增加。

由0≤|a+b|≤|a|+|b|，有(|a+b|)≤(|a|+|b|)，得到
≤=+≤+，即原不等式成立。

例4 证明当x>0时
分析：由于该不等式是幂指函数类型的不等式。

所以可以对此不等式两边取对数，从而得到(1+)In(1+x)<1+ ，进而可得1(1+x)In(1+x)<2x+x2 ，再利用差式构造
辅助函数：(x)=2x+x2-2(1+x)In(1+x)，(x≥0)，因(0)=0所以只要证明(x)>(0)即可。

证明：先对该不等式两边分别取对数，得(1+)In(1+x)<1+，化简得
2(1+x)In(1+x)<2x+x2。

设辅助函数为(x)=2x+x2-2(1+x)In(1+x)，(x≥0)，求导
得'(x)=2x-2In(1+x)，易知(x)在[0,+)上连续，'(x)也在[0,+)上连续，因为n(x)=>0，(x>0)。

根据单调性的判定定理'(x)在[0,+)上严格增加，所以'(x)>'(0)=0，(x>0)，进而(x)在[0,+)在上严格增加，所以(x)>(0)=0，(x>0)即2x+x2-2(1+x)In(1+x)>0，因此2x+x2>2(1+x)In(1+x)，即
证明方法：依据极值充分条件定理。

思路：一是找出辅助函数(x)，后固定出相应的区间。

找辅助函数的办法：如果在
不等式两边出现未知数时，则可用不等式两边之差求辅助函数；若在不等式两边有相同的“形式”时，则可以用该“形式”找出辅助函数；若不等式中出现
g(x)≥a(g(x)≤a)，此处a为常数没，此时可设g(x)作为辅助函数。

二是求出(x)在
所设区间上的极值与最大、最小值。

例5 证明当x>0时有x5≥5x+4。

分析：利用差式构造辅助函数(x)=x2-5x-4，(x>0)。

应为(x)在[0,+)上不具有单调性，从而不可以利用函数的单调性证该不等式，不妨使用函数极值的方法证明该不等式。

证明：先找出辅助函数(x)=x2-5x-4，(x>0)，则有
'(x)=5x4-5=5(x2+1)(x2-1)=5(x2+1)(x+1)(x-1)，令'(x)=0，解得x=±1，其中只有x=1在区间[0,+)内且(x)在x=1处连续。

当0<x<1时，'(x)<0，故(x)在(0,1)上为减函数，当x>1时，'(x)>0，故(x)在[0,+)上为曾函数，由极值的充分条件，(x)在x=1处取得极小值，且(1)=0为区间[0,+)上的最小值，所以当x>0时，有(x)>(1)=0。

故x5-5x-4≥0，即X5≥5x+4(x>0)。

例6 设a>0，b>0则()b+1≥()b。

分析：应为此不等式两边都含有()B的形式，所以我们可以把该不等式转化成≥，并找出辅助函数(x)=，(x>0)。

证明将不等式变形为≥，构造辅助函数(x)=，(x>0)
则有'(x)=，令'(x)=0，则x=b。

当0<x<b时，'(x)<0，所以(x)严格减少；当x>b 时，，'(x)>0，则(x)严格增加。

因此(x)在x=b时取得极小值，且(b)为(x)在(0,+)上的最小值。

所以∀a∈(0,+)，有
(a)=≥(b)=，即()b+1≥()b，(a>0,b>0)。

例7 证明当x>0时，<In(1+x)<x。

分析：由于要证明的不等式中的In(1+x)的导函数是，从而可以使用拉格朗日中值定理证明。

应为In1=0，所以可取函数的该变量为In(1+x)-In1，从而可将对原不等式的证明等价的转化为证明不式：
<<1。

证明：设(t)=Int，由于(t)在[1,1+x]，x>0上连续，在[1，1+x]上可导，在[1，1+x]上满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在ξ∈(1，1+x)，使得
='(ξ)=，因为(1+x)-(1)=In(1+x)-In1=In(1+x)，<<1
所以<<1，也即<In(1+x)<x，x>0。

证明方法：将初等函数写成幂级数，再在展开式中增添或去除一些项，这样就可以很容易的证明此类不等式。

例8 当x∈(0,1)，证明>e2x。

证明因,e2x分别可写成幂级数展开式，=(1+x)(1+x+x2+…+2xn+…,x∈(0,1)
e2x=1+2x+X2+…，x∈(-,+)
可看出(1)的一般项为2xn，(2)的一般项为xn。

而n≥3,2> ，所以>e2x，x∈(0,1)。

【相关文献】
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