河南省安阳市2019-2020学年中考三诊数学试题含解析

河南省安阳市2019-2020学年中考三诊数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )
A ．0abc >
B ．20a b +<
C ．30a c +<
D ．230ax bx c ++-=有两个不相等
的实数根 2．轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A 港和B 港相距多少千米. 设A 港和B 港相距x 千米. 根据题意，可列出的方程是（ ）.
A ．32824x x =-
B ．
32824x x =+ C ．2232626x x +-=+ D ．2232626x x +-=- 3．如果y ＝2x -+2x -+3，那么y x 的算术平方根是（ ）
A ．2
B ．3
C ．9
D ．±3
4．如图，△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12
AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N 作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为（ ）
A ．65°
B ．60°
C ．55°
D ．45°
5．小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A ．()5,2
B ．()3,4-
C ．()6,3-
D ．()4,6--
6．已知二次函数2()1y x h =-+(h 为常数)，当13x ≤≤时，函数的最小值为5，则h 的值为( ) A ．－1或5 B ．－1或3 C ．1或5 D ．1或3
7．一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x
在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象可能是()
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O e ，连结BD ，则ABD ∠的度数是（ ）
A ．60︒
B ．70︒
C ．72︒
D ．144︒
9．下列运算正确的是（ ） A ． B ． =﹣3 C ．a•a 2=a 2 D ．（2a 3）2=4a 6
10．如图，AB ∥ED ，CD=BF ，若△ABC ≌△EDF ，则还需要补充的条件可以是（ ）
A ．AC=EF
B ．BC=DF
C ．AB=DE
D ．∠B=∠E
11．如图，直线y ＝kx+b 与x 轴交于点(﹣4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )
A ．x ＞﹣4
B ．x ＞0
C ．x ＜﹣4
D ．x ＜0
12．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）
A．我爱美B．宜晶游C．爱我宜昌D．美我宜昌
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．用半径为6cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为_______cm．
14．如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是36，则它的表面积是_______.
15．如图，P（m，m）是反比例函数
9
y
x
在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使
AB落在x轴上，则△POB的面积为_____．
16．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____．
17．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为_______．
18．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=m
x
（m≠0）
的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于点C，点A（﹣2，3），点B（6，n）．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数y=m
x
（m≠0）的图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点
M、N各位于哪个象限．
20．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．求∠CDE的度数；求证：DF是⊙O的切线；若AC=25DE，求tan∠ABD的值．
21．（6分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字2，3、1．
（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为；（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．
22．（8分）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM．
①求∠CAM的度数；
②当FH=3，DM=4时，求DH的长．
23．（8分）如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．
⑴用含t的代数式表示：AP=，AQ=．
⑵当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
24．（10分）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）G是ED上一点，连接BE交圆于F，连接AF并延长交ED于G．若GE=2，AF=3，求EF的长．
25．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，tanA＝2cos∠BCD，
(1)求证：BC＝2AD；
(2)若cosB＝3
4
，AB＝10，求CD的长.
26．（12分）先化简22442x x x x -+-÷(x-4x
),然后从-5<x<5的范围内选取一个合适的正整数作为x 的值代入求值.
27．（12分）在△ABC 中，∠ACB ＝45°．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．
（1）如果AB ＝AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝42，
BC ＝3，CD ＝x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
【分析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；由对称轴为x=2b a
-=1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x 轴下方得到y=a-b+c ＜0，结合b=-2a 可得 3a+c ＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.
【详解】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0，故A 选项错误；
∵对称轴x=2b a
-=1，∴b=-2a ，即2a+b=0，故B 选项错误； 当x=-1时， y=a-b+c ＜0，又∵b=-2a ，∴ 3a+c ＜0，故C 选项正确；
∵抛物线的顶点为（1，3），
∴230ax bx c ++-=的解为x 1=x 2=1，即方程有两个相等的实数根，故D 选项错误，
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2b a
-，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点．
2．A
【解析】
【分析】
通过题意先计算顺流行驶的速度为26+2=28千米/时，逆流行驶的速度为：26-2=24千米/时．根据“轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时”，得出等量关系，据此列出方程即可．
【详解】
解：设A 港和B 港相距x 千米，可得方程：
32824
x x =- 故选：A ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．
3．B
【解析】
解：由题意得：x ﹣2≥0，2﹣x≥0，解得：x=2，∴y=1，则y x =9，9的算术平方根是1．故选B ． 4．A
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC ，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC ，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．
【详解】
由题意可得：MN 是AC 的垂直平分线，
则AD=DC ，故∠C=∠DAC ，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，
故选A ．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
5．B
【解析】
【分析】
根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限点的坐标特点，分析选项可得答案．
【详解】
根据图示，小手盖住的点在第四象限，第四象限的点坐标特点是：横正纵负；
分析选项可得只有B 符合．
故选：B ．
【点睛】
此题考查点的坐标，解题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，进而对号入座，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．
6．A
【解析】
【分析】
由解析式可知该函数在x=h 时取得最小值1，x>h 时，y 随x 的增大而增大；当x<h 时，y 随x 的增大而减小；根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h<1，可得x=1时，y 取得最小值5；②若h>3，可得当x=3时，y 取得最小值5，分别列出关于h 的方程求解即可．
【详解】
解：∵x>h 时，y 随x 的增大而增大，当x<h 时，y 随x 的增大而减小，
∴①若h<1，当13x ≤≤时，y 随x 的增大而增大，
∴当x=1时，y 取得最小值5，
可得：2(151)-+=h ，
解得：h=−1或h=3（舍），
∴h=−1；
②若h>3，当13x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，
当x=3时，y 取得最小值5，
可得：2(153)-+=h ，
解得：h=5或h=1（舍），
∴h=5，
③若1≤h≤3时，当x=h 时，y 取得最小值为1，不是5，
∴此种情况不符合题意，舍去．
综上所述，h 的值为−1或5，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值进行分类讨论是解题的关键． 7．B
【解析】
【分析】
根据题中给出的函数图像结合一次函数性质得出a ＜0，b ＞0，再由反比例函数图像性质得出c ＜0，从而可判断二次函数图像开口向下，对称轴：2b x a =-
＞0，即在y 轴的右边，与y 轴负半轴相交，从而可得答案.
【详解】
解：∵一次函数y=ax+b 图像过一、二、四，
∴a ＜0，b ＞0，
又∵反比例 函数y=
c x 图像经过二、四象限， ∴c ＜0，
∴二次函数对称轴：2b x a
=-＞0， ∴二次函数y=ax 2+bx+c 图像开口向下，对称轴在y 轴的右边，与y 轴负半轴相交，
故答案为B.
【点睛】
本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y 轴的交点坐标等确定出a 、b 、c 的情况是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC 、CD=CB ，根据等腰三角形的性质求出∠CBD ，计算即可．
【详解】
∵五边形ABCDE 为正五边形 ∴()15
52180108ABC C ∠=∠=
-⨯︒=︒ ∵CD CB =
∴181(832
6)010CBD ∠=︒-︒=︒ ∴72ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．
9．D
【解析】
试题解析：A.
与不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误； B.
，故原选项错误； C.
，故原选项错误； D.
，故该选项正确. 故选D.
10．C
【解析】
【分析】
根据平行线性质和全等三角形的判定定理逐个分析.
【详解】
由//AB ED ，得∠B=∠D,
因为CD BF =，
若ABC V ≌EDF V ，则还需要补充的条件可以是：
AB=DE,或∠E=∠A, ∠EFD=∠ACB,
故选C
【点睛】
本题考核知识点：全等三角形的判定. 解题关键点：熟记全等三角形判定定理.
11．A
【解析】
试题分析：充分利用图形，直接从图上得出x 的取值范围．
由图可知，当y ＜1时，x ＜-4，故选C.
考点：本题考查的是一次函数的图象
点评：解答本题的关键是掌握在x 轴下方的部分y ＜1，在x 轴上方的部分y ＞1．
12．C
【解析】
试题分析：（x 2﹣y 2）a 2﹣（x 2﹣y 2）b 2=（x 2﹣y 2）（a 2﹣b 2）=（x ﹣y ）（x+y ）（a ﹣b ）（a+b ），因为x ﹣y ，x+y ，a+b ，a ﹣b 四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C ． 考点：因式分解.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．1． 【解析】 【详解】
解：设圆锥的底面圆半径为r ， 根据题意得1πr=0
20816
1π⨯，
解得r=1，
即圆锥的底面圆半径为1cm ． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键． 14．2 【解析】
分析：∵由主视图得出长方体的长是6，宽是2，这个几何体的体积是16， ∴设高为h ，则6×2×h=16，解得：h=1． ∴它的表面积是：2×1×2+2×6×2+1×6×2=2． 15．
933
+ ． 【解析】 【详解】
如图，过点P 作PH ⊥OB 于点H ，
∵点P （m ，m ）是反比例函数y=
9
x
在第一象限内的图象上的一个点，
∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3. ∵△PAB是等边三角形，∴∠PAH=60°.
∴根据锐角三角函数，得AH=3.∴OB=3+3
∴S△POB=1
2
OB•PH=
933
2
+
.
16．1
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，∴a=﹣4，b=﹣3，
则ab=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键.
17．20 cm．
【解析】
【分析】
将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
【详解】
解:如答图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．
根据勾股定理，得2222
A B A D BD121620
'='+=+=（cm）．
故答案为：20cm.
【点睛】
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
18
43
【解析】 【分析】
根据题意画出草图，可得OG=2，60OAB ∠=︒，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA. 【详解】
解：如图，连接OA 、OB ，作OG AB ⊥于G ； 则2OG =，
∵六边形ABCDEF 正六边形， ∴OAB V 是等边三角形， ∴60OAB ∠=︒，
∴
43
sin 6033
OG OA =
==︒， ∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为
43
3
． 43
． 【点睛】
本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19． (1)反比例函数的解析式为y=﹣6x ；一次函数的解析式为y=﹣1
2
x+2；(2)8；(3)点M 、N 在第二象限，或点M 、N 在第四象限． 【解析】 【详解】
(1)把A （﹣2，3）代入y=
m
x ，可得m=﹣2×
3=﹣6， ∴反比例函数的解析式为y=﹣6
x
；
把点B （6，n ）代入，可得n=﹣1， ∴B （6，﹣1）．
把A（﹣2，3），B（6，﹣1）代入y=kx+b，可得
23 61
k b
k b
-+=
⎧
⎨
+=-
⎩
，
解得
1
2
2
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴一次函数的解析式为y=﹣1
2
x+2；
(2)∵y=﹣1
2
x+2，令y=0，则x=4，
∴C（4，0），即OC=4，
∴△AOB的面积=1
2
×4×（3+1）=8；
(3)∵反比例函数y=﹣6
x
的图象位于二、四象限，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵x1＜x2，y1＜y2，
∴M，N在相同的象限，
∴点M、N在第二象限，或点M、N在第四象限．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
20．（1）90°；（1）证明见解析；（3）1．
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（1）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．
【详解】
解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；
（1）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；
（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴DC DE AD DC
=，
∴DC1=AD•DE
∵AC=15DE，
∴设DE=x，则AC=15x，
则AC1﹣AD1=AD•DE，
期（15x）1﹣AD1=AD•x，
整理得：AD1+AD•x﹣10x1=0，
解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），则DC=22
(25)(4)2
x x x
-=，
故tan∠ABD=tan∠ACD=
4
2
2
AD x
DC x
==．
21．（1）2
3
；（2）这两个数字之和是3的倍数的概率为
1
3
．
【解析】
【分析】
（1）在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，根据概率公式可得；（2）用列表法列出所有情况，再计算概率.
【详解】
解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，
∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为2
3
，
故答案为2
3
；
（2）列表如下：
1 2 3
1 （1，1）（2，1）（3，1）
2 （1，2）（2，2）（3，2）
3 （1，3）（2，3）（3，3）由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，
所以这两个数字之和是3的倍数的概率为3
9
=
1
3
．
【点睛】
本题考核知识点：求概率. 解题关键点：列出所有情况，熟记概率公式.
22．（1）证明见解析；（2）结论：成立．理由见解析；（3）①30°，②1+5．
【解析】
【分析】
（1）只要证明AB=ED，AB∥ED即可解决问题；（2）成立．如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED∥GM，由（1）可知AB=GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI=1
2
AM，MI⊥AC，即可解决问题；②
设DH=x，则AH=3x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，
推出HF HD
HA HB
=，可得
3
42
3
x
x
x
=
+
，解方程即可；
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD=∠ADB，
∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，
∴BD=DC，
∴△ABD≌△EDC，
∴AB=ED，∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）结论：成立．理由如下：
如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．
∵CE∥AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED=GM，且ED∥GM，
由（1）可知AB=GM，AB∥GM，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，
∵BM=MC，
∴MI是△BHC的中位线，
∴MI∥BH，MI=1
2 BH，
∵BH⊥A C，且BH=AM．
∴MI=1
2
AM，MI⊥AC，
∴∠CAM=30°．
②设DH=x，则3x，AD=2x，∴AM=4+2x，
∴BH=4+2x，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴DF∥AB，
∴HF HD
HA HB
=，
3
42
3
x
x
x
=
+
，
解得515，
∴5
【点睛】
本题考查了四边形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角的判定、平行线分线成比例定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键能正确添加辅助线，构造特殊四边形解决问题．
23．（1）AP=2t，AQ=16﹣3t；（2）运动时间为16
7
秒或1秒．
【解析】
【分析】
（1）根据路程=速度⨯时间，即可表示出AP，AQ的长度.
（2）此题应分两种情况讨论．（1）当△APQ∽△ABC时；（2）当△APQ∽△ACB时．利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】
（1）AP=2t，AQ=16﹣3t．
（2）∵∠PAQ=∠BAC，
∴当AP AQ
AB AC
=时，△APQ∽△ABC，即
2163
816
t t
-
=，解得
16
7
t=；
当AP AQ
AC AB
=时，△APQ∽△ACB，即
2163
168
t t
-
=，解得t=1．
∴运动时间为16
7
秒或1秒．
【点睛】
考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.注意不要漏解. 24．（1）见解析；（2）∠EAF 的度数为30° 【解析】 【分析】
（1）连接OD ，如图，先证明OD ∥AC ，再利用DE ⊥AC 得到OD ⊥DE ，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明Rt △GEF ∽△Rt △GAE ，利用相似比得到2,32
GF
GF =+
于是可求出GF=1，然后在Rt △AEG 中利用正弦定义求出∠EAF 的度数即可． 【详解】
（1）证明：连接OD ，如图， ∵OB=OD ， ∴∠OBD=∠ODB ， ∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠C ， ∴∠ODB=∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ， ∴DE 为⊙O 的切线； （2）解：∵AB 为直径， ∴∠AFB=90°， ∵∠EGF=∠AGF ， ∴Rt △GEF ∽△Rt △GAE ， ∴
,EG GF GA EG =，即2,32
GF
GF =+ 整理得GF 2+3GF ﹣4=0，解得GF=1或GF=﹣4（舍去）， 在Rt △AEG 中，sin ∠EAG 21
,132
EG AG ===+ ∴∠EAG=30°， 即∠EAF 的度数为30°．
【点睛】
本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．
25．（1）证明见解析；（2）CD＝7.
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数的概念可知tanA＝CD
AD
，cos∠BCD＝
CD
BC
，根据tanA＝2cos∠BCD即可得结论；（2）
由∠B的余弦值和（1）的结论即可求得BD，利用勾股定理求得CD即可．【详解】
(1)∵tanA＝CD
AD
，cos∠BCD＝
CD
BC
，tanA＝2cos∠BCD，
∴CD
AD
＝2·
CD
BC
，
∴BC＝2AD.
(2)∵cosB＝BD
BC
＝
3
4
，BC＝2AD，
∴BD
AD
＝
3
2
.
∵AB＝10，∴AD＝2
5
×10＝4，BD＝10－4＝6，
∴BC＝8，∴CD22
BC BD
-7.
【点睛】
本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算.熟练掌握三角函数的概念是解题关键.
26．当x=－1时，原式=
1
=1
1+2
-
；当x=1时，原式=
11
=
1+23
【解析】
【分析】
先将括号外的分式进行因式分解，再把括号内的分式通分，然后按照分式的除法法则，将除法转化为乘法
进行计算．
【详解】
原式=22(2)4(2)x x x x x
--÷- =()2(2)•(2)2(2)
x x x x x x --+- =12
x +
∵x x 为整数，
∴若使分式有意义，x 只能取-1和1
当x=1时，原式=13
．或：当x=-1时，原式=1 27．（1）CF 与BD 位置关系是垂直,理由见解析；（2）AB≠AC 时，CF ⊥BD 的结论成立，理由见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）由∠ACB=15°，AB=AC ，得∠ABD=∠ACB=15°；可得∠BAC=90°，由正方形ADEF ，可得∠DAF=90°，
AD=AF ，∠DAF=∠DAC+∠CAF ；∠BAC=∠BAD+∠DAC ；得∠CAF=∠BAD ．可证△DAB ≌△FAC （SAS ），得∠ACF=∠ABD=15°，得∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF ⊥BD ．
（2）过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，可得出AC=AG ，易证：△GAD ≌△CAF ，所以∠ACF=∠AGD=15°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF ⊥BD ．
（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设 ，BC=3，CD=x ，求线段CP 的长．考虑点D 的位置，分两种情况去解答．①点D 在线段BC 上运动，已知∠BCA=15°，可求出AQ=CQ=1．即DQ=1-x ，易证△AQD ∽△DCP ，再根据相似三角形的性质求解问题．②点D 在线段BC 延长线上运动时，由∠BCA=15°，可求出AQ=CQ=1，则DQ=1+x ．过A 作AQ ⊥BC 交CB 延长线于点Q ，则△AGD ∽△ACF ，得CF ⊥BD ，由△AQD ∽△DCP ，得再根据相似三角形的性质求解问题．
【详解】
（1）CF 与BD 位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB=AC ，∠ACB=15°，
∴∠ABC=15°．
由正方形ADEF 得AD=AF ，
∵∠DAF=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC ，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即CF⊥BD．
（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．
理由是：
过点A作GA⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB=15°，
∴∠AGD=15°，
∴AC=AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=15°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．
（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA=15°，可求出AQ=CQ=1．
∴DQ=1﹣x，△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA=15°，
∴AQ=CQ=1，
∴DQ=1+x．
过A作AQ⊥BC，
∴∠Q=∠FAD=90°，
∵∠C′AF=∠C′CD=90°，∠AC′F=∠CC′D，
∴∠ADQ=∠AFC′，
则△AQD∽△AC′F．
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
综合性题型，解题关键是灵活运用所学全等、相似、正方形等知识点.。