耦合电感与变压器答案

习题
7-1 题7-1图所示电路中，f=500Hz，电压表V的读数为31.4V，电流表A的读数为1A，求互感系数M。

i
+
_
A
1
L V
2
L
M
u
题7-1图
【例6】已知图7-13中，f=500Hz，电压表V的读数为31.4V，电流表A的读数为1A，求互感系数M。

i
+
_
A
1
L V
2
L
M
u
图7-13
解 3.141
M
ω
=⨯
所以
31.431.4
10
250013140
M mH
π
==≈
⨯⨯
7-2 电路如题7-2图 (a)、(b)所示，写出端口电压与电流的关系式。

M
L
1
L 2
u
1
u 2
+
+
_
_
i 1i 2
M
L 1
L 2
u 1
u 2
+
+
_
_
i 1
i 2
(a) (b)
题7-2图
例 7-1 电路如图7-6 (a)、(b)所示，写出端口电压与电流的关系式。

M
L 1
L 2
u 1
u 2
+
+
_
_
i 1i 2
M
L 1
L 2
u 1
u 2
+
+
_
_
i 2
（a ） (b)
图7-6 例7-1 图
解 图7-6(a)所示电路，两线圈端口的电压与电流均为关联参考方向，故互感部分均为正；电流2i 从标有“”的端子流入，因此数值为2
d d i M
t
的互感电压，其“+”极性端位于第一个线圈的同名端处，即标有“”的端子上；同理，电流1i 感应到第二个线圈的互感电压1
d d i M
t
，其“+”极性端位于电流1i 流入端子的同名端处，所以有 1211d d d d i i u L M t t ，2122d d d d i i u L M t t
对于图7—6（b ）所示电路，第一个线圈的电压与电流为关联参考方向，故其自感电压表达式前取“+”， 互感电压2
d d i M
t
的“+”极性端是在与电流2i 流入端的同名端处，即“”端子处，故其互感电压表达式前取“—”；第二个线圈的电压与电流为非关联参考方向，故其互感电压表达式前取“—”，故互感电压1
d d i M
t 的“+”极性端是在与电流1i 流入端的同名端处，即没有标“”的端子上，故互感电压表达式前取“+”。

于是
1
2
11
d
d d d
i i u L M t
t
，21
22
d d d d i i u L M t
t
若互感线圈是处在正弦交流稳态电路中，电压、电流的关系式可以用相量形式表示
11122
22
1
j j j j U L I MI U L I MI （7—13）
自感电压、互感电压前取“+”还是取“—”，须根据电压、电流的参考方向以及两线圈的同名端关系确定。

7-3 题7-3图所示电路中中，(15)x i t =+ A ，求ab u 。

a
b +
_
ab
u x
i 2H
1H 1H
题7-3图
【例8】 已知图7-15中，(15)x i t =+ A ，求ab u 。

a
b +
_
ab
u x
i 2H
1H 1H
图7-15
解 25V x x
ab di di u dt dt
=-=
7-4 题7-4图所示电路中，已知电源1U 的角频率为ω，求2U 。

M
_
+
R 1
1
L 2
_
+
2
L 1U 2
U I
题7-4图
【例1】 在图7-6电路中，电源1U 的角频率为ω，求2U 。

解 用消去互感法，将图7-6的电路等效为图7-7的电路。

则2U 为
111211[()]()U R j L M U R j L M j M
++=
++-ωωω
M
_
+
R
1
1
L
R
_
+
2
L
1
U
2
U
I
_
+
R
2
R
1_
+
1
L M
+
2
L M
+
M
-
1
U
2
U
图7-6 图7-7
7-5 题7-5图所示电路中，ω为已知，求Z ab。

2
L
1
a b
M
题7-5图
【例2】在图7-8中，ω为已知，求ab
Z。

解用消去互感法得
2
12
12
2
ab
L L M
Z j
L L M
ω
-
=
++
2 L
1
L
a b
M
图7-8
7-6 题7-6图所示电路中，U=20V，L1=6mH，C=200μF，L2=3mH，L3=7mH，M=2mH，电流表的A1读数为零，求电流表A的读数。

2
L
+
_
+
_
M
3
L1L
C
U L
U
C
I
1
A
A
题7-6图
【例4】 在图7-10中，U=20V ，1L =6mH ，C=200μF ，2L =3mH ，3L =7mH ，M=2mH ，电流表的A 1读数为零，求电流表A 的读数。

U
U
图7-10
解 1L 和C 发生并联谐振
01000/rad s ω=
= 2L 和2L 部分可去耦等效，但因1A 0=,可直接用互感线圈串联分压求。

令200U V =∠
3239
V 27
L L M U U
L L M +==++,25.790A C L I j C U ==∠ω
A 的读数为25.7A 。

7-7 题7-7图所示电路中，已知a 、b 间的开路电压4ab U =V ，试求U 、s
I
+
_
U I 1I
2
I s
4Ω-j2Ω
j5Ωj2Ω
a
b
题7-7图
图14-28所示电路中，已知a 、b 间的开路电压4ab
U V =，试求U 、s I
解 令40ab
U V =∠
12ab U j I =-，140
2902
I A A j ∠=
=∠-
I s
a
b
图14-28 试题1图
155********U j I j V V ==⨯∠=∠
210180
(2)4242
U I A j A j j ∠=
==---
-
12(22)(2)s I I I j j V j V =+=--=-+
2.2415
3.4V =∠
7-8 题7-8图所示正弦稳态电路中，4s u t =V ，欲使u S 与i 同相位，求电容C 的值。

u s
题7-8图
2. 图14-29(a)所示正弦稳态电路中，1024s
u tV =，欲使s u 与i 同相位，求电容C 的值。

u s +_
U S +_
i
I C
2H 1.5H 0.5H
1Ω
5Ω5Ω1Ω
*
j2Ω
j6Ω
j4Ω
j4C 1(a)
(b)
图14-29 试题2图
解 电路的相量模型如图（ｂ）所示，图中耦合电感已用去耦等效电路取代。

电容C 右侧电路的输入阻抗Z 为
6(54)2430
22510510
j j j Z j j j j +-+=-++
=
++
15100.1220.2642430
j Y j Z j +=
==--+ 欲使s u 与i 同相位，应有
40.264C =，0.066C F =
7-9 题7-9图中，已知12mH L =,2L =1mH ,M =1mH ，求ab L 。

题7-9图
【例19】 如图7-27中，已知12mH L =,2L =1mH ,M =1mH ，求ab L 。

解 此题有多种解法，现用去耦等效解，如图7-28。

2(1)
31mH 21
ab L -=+
=- 1
L 2
L a
b
1L M
+2L M
+-M
a
b
图7-27 图7-28
7-10 题7-10图所示电路，已知H 25.0,5,H 4,202211=Ω==Ω=L R L R ,H 1=M ,
Ω=20L R ,V )10100cos(2200
︒+
=t u s 求电流1i 和2i 。

1
2u S +
_
M L 1
L 2
R L
12
题7-10图
例7-6
图7-26所示电路，已知H 25.0,5,H 4,202211=Ω==Ω=L R L R ,H 1=M ,
Ω=20L R ,V )10100cos(2200︒+=t u s 求电流1i 和2i 。

R R u S
+M
L 1
L 2
R L
i i
图7-26 例7-6图（Ⅰ）
解 耦合系数
125
.041
2
1=⨯==
L L M
K
所以，该变压器为全耦合变压器，用理想变压器描述的等效电路如图7-27（a ）所示，其中理想变压器的变比
425
.042121
====
L L N N n n 2(R 2+R L )
+
_
j ωL 1
R L
R R 1
+
_
j ωL 1
R 1I '
1
I
2
s
U s
U 1I '1I ()
a ()
b
图7-27 例7-6图（Ⅱ）
将副边电阻变换到原边后的等效电路如图7-27（b ）所示，由此电路求解得
A
∠=A ∠⨯==A
∠=+=A
-∠=A +⨯+
∠=︒︒⋅
⋅
︒⋅⋅
︒︒
⋅
73.12904.173.12476.0473.12476.0400400400
27.32673.0400
4004004002010200'121'11I n I I j j I j j I
所以
()()A
+=A -=︒
︒73.12100cos 2904
.127.32100cos 2673.021t i t i
7-11 求题7-11图所示电路中电流1I 、2I 和次级回路获得的功率P 2 。

5Ω
题7-11图
例 6.3 -2 求图6.3 -4（a）所示电路中电流1I和2I次级回路获得的功率P2 。

++__Z 22
22Z '10Ω
10Ω2Ω
0.2 Ω
j
5Ω
__j j 15Ωj 200V
∠1
I 2
I I OC
U
图6.3-4 例6.3-2电路图
解
解法一 图 6.3 -4（a ）所示电路的次级等效电路如图 6.3 -4（b ）所示。

11222
22211=10+j15j5=10+j10=10245 =0.2+j10
j9.8=0.2+j0.2=0.2245
=
=2=0.2245 10245
Z Z Z M Y
OC S OC
2222
221122212
2
21=j =j2200=2245 V
10245
2245
==
52135 A
+0.2
j0.2+0.2+j0.2
0.2245
=
=52
135=1 A
j j2==52
0.2=10 W
U MY U U I Z Z Z I I M
P I R
解法二 用网孔分析法计算。

设网孔电流 A I 、B I 如图 6.3 -5 所示。

+
_
10Ωj 10Ω j _j _
5Ω
j15Ω
V 200∠2Ω
j 0.2 Ω
1
I 2
I A I B
I
图6.3-5 网孔法分析空心变压器电路
根据基尔霍夫电压定律列方程如下
()()A B B A 10j15j5j2=200
0.2j10j9.8j2=0I I I I ⎧+-+∠⎪⎨⎪+-+⎩
解方程得
A B 1 A
52135 A
I
I
即
2
2
1
2
1 A
52135 A
=520.2=10 W
I
I
P
7-12 求题7-12所示电路中的
1
I、
2
I和
2
U。

+
_
V
200
∠
+
_
+
_
11j
+Ω
100100
j
-Ω
12
I
1
U
2
U
题7-12图
例6.4-2 试求图6.4-4（a）所示电路中的1I、2I和2
U。

1︰10n ︰
1
+
_
V 200∠+
_
+
_
+
_
+
_V 200∠（a ）
（b ）
11j +Ω
11l Z j =-Ω
100100j -Ω
1I I 1U 2U 11
U
图6.4-4 例6.4-2电路图
解 利用理想变压器的阻抗变换，得到如图所示电路。

111
2
11211200200100 A
1j 1j 1j 10
1j
102
45 V
1
1010245100245 V
1
1001180 A
10
I Z U I Z U U n
I n I
7-13 题7-13所示电路中，已知10U =V ，求I 。

+2 Ω
2 Ω2:1
I 1
U _
题7-13图
【例9】在图7-16中，10
U V，求I。

+2 Ω
2
Ω
2:1
I
1
U _
图7-16
解 2
100100
10A 22210
I ∠∠=
==∠+⨯
7-14 题7-14图所示电路，已知正弦电压源1=180V U ∠︒，欲使16Ω负载电阻获得最大功率，理想变压器的变化n 应为多少？并求最大功率。

+
_
1
U a b
3Ω6Ω
16Ω
:1
n
题7-14图
例8.3 -1 电路如图8.3 -2（a ）所示，已知正弦电压源1=180V U ∠︒，欲使16Ω负载电阻获得最大功率，理想变压器的变化n 应为多少？并求最大功率。

+_
1
U a b
6Ω
16Ω
n
R +_abk
U a b
（a ） （b ） 图8.3 -2 例8.3 -1图
解 先用戴维南定理计算a 、b 两端左边部分的电路等效电路。

a 、b 两端左边部分的开路电压为
abk 162
180V =120 V 363
U U =
=∠︒∠︒+ a 、b 两端左边部分的等效电阻为 036
236
R ⨯=
Ω=Ω+ 又由于a 、b 两端是理想变压器的原边输入端，所以，从理想变压器的原边看进去的等效电阻为
22
1616R n n ==
所以，图8.3 -2（a ）电路的等效电路如图8.3 -2（b ）所示，由最大功率传输定理，当0
R R =时，R 上的最大功率，也就是16Ω负载电阻获得最大功率，即
2
16n =2 故变化为 n =0.354 这时的最大功率为 22abk max
012W 18W 442U P R ===⨯
7-15 列写题7-15图所示电路的网孔电流方程。

s
U +
_
1
i
2
i
3
i
3
j L
ω2
j L
ω
1
j L
ω
1
j M
ω
2
j M
ω
1
j
C
ω
-
R 题7-15图
例 8 -6 列写图8-23（a ）所示电路的网孔电流方程。

U
（a ）
U R
（b ）
图8 -23 例8 -6电路图
解 从图中3个电感的同名端标记可以判断1L 和2L 有磁耦合，1L 和3L 也有磁耦合，所以互感电压情况比较复杂。

可以选择用受控电压源表示互感电压的方法，得到图（b ）所示等效电路。

要注意各电流与同名端以及所产生的互感电压的极性关系。

其中1L 支路中有两个受控电压源，因为2L 和3L 中的电流会在此产生互感电压。

图（b ）所示等效电路中各电感已是相互独立的了，可以直接按所设的网孔电流列出方程，其中
312I I I =-
1313211j j j j j L L I L I C C ωωωωω⎛⎫⎛
⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
S 1223131132
11j j j j j j j j U M I M I MI L I R L L I C C ωωωωωωωω⎛⎫⎛
⎫=------++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111=j j M I M I ωω-
经整理可得
1321312211j j j
2j j j j j L L M I L M M I C C ωωωωωωωω⎛⎫⎛⎫+-+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
S U = 321123211j j
j j j j j 0L M M I R L L I C C ωωωωωωω⎛
⎫⎛
⎫--+-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
7-16信号源电压 S U =6V ,内阻S R =100Ω,扬声器电阻L R =8Ω。

求：（1）扬声器直接接在信号源上所获得的功率；（2）为使扬声器获得最大功率，在信号源与扬声器之间接一理想的变压器，求此变压器的变比，并求扬声器获得的最大功率。

【例7.7】信号源电压 S U =6V ,内阻S R =100Ω,扬声器电阻L R =8Ω。

求：（1）扬声器直接接在信号源上所获得的功率；（2）为使扬声器获得最大功率，在信号源与扬声器之间接一理想的变压器，求此变压器的变比，并求扬声器获得的最大功率。

解：（1）扬声器直接信号源上，如图7—21（a ）所示，获得功率为 226
(
)()824.71008
S L L S L U P R R R ==⨯=++mW
+
_
S
U L
R R
+
_
S
U L
R R :1
n
+
_
S
U R in
Z
（a ） （b ） （c ） 图7—21 例7.7图
（2）扬声器经过理想变压器家在信号源上，如图7—21（b ）所示，次级阻抗在初级的折合阻抗为
2
in L Z n R =
初级等效电路如图7—21（c ）所示，因为理想变压器不消耗功率，所以，折合阻抗in Z 所吸收的功率计，即为负载L R （扬声器）获得的功率。

因此，当
2
S L R n R =
也即
100 3.548
S L R n R === 此时扬声器获得的最大功率
2
2max
69044100
S S U P R ===⨯mW
7-17 题7-17图所示电路，已知S U =1000∠Ω，1R =5Ω，－
j 1
C
ω=－j4Ω，L Z =5+j Ω，求理想变压器次级电流2I 和负载吸收的功率。

+
_S
U 1'
2'
2
I 1
I 2:1
R 11j
C
ω-L
Z
题7-17图
【例7.8】图7—22（a ）所示电路S U =1000∠Ω，1R =5Ω，－j 1
C
ω=－j4Ω，L Z =5+j Ω，求理想变压器次级电流2I 和负载吸收的功率。

+
_
S
U 2
I 1
I
+
_
S
U Z 1
I
（a ） （b ） 图7—22 例7.8图
解：折合阻抗
2
4(5)204in L Z n Z j j ==⨯+=+Ω
作出初级等效电路，如图7—22（b ）所示，其中 11
54S Z R j j C
ω=-=-Ω 所以
1`1000
4054204
S S in U I Z Z j j ∠===∠+-++ A
由理想变压器的伏安关系
212I nI ==⨯40∠=80∠ A 负载获取的功率
2
max 2Re()645320L P I Z ==⨯=W
7-18 求题7-18图所示电路的电压比2s u u 。

u s Ω
题7-18图
3. 求图 14-30所示电路的电压比u 2/u s 。

+_
50Ω
*
*
u s +_
i
u 22i
i 2
20Ω
10:1
600Ω
图14-30 试题3图 解
s s 2s 22s
2s 60050(
2)1750
20
102750400
20750
815
i i i u i u i i u u i u u u ++===⨯=
=-=-=-
7-19 题7-19图所示电路中，已知0.25ab R =Ω，g=3S ，求变比n 。

a
b
1.5 Ω
+_
+_
10 Ω
n :1
I 1U 2
gU 2U
题7-19图
【例5】已知图7-11电路中，0.25
ab
R=Ω，g=3S，求变比n。

a b
1.5Ω
+
_
+
_
10Ω
n:1
I
1
U
2
gU
2
U
图7-11
解将图7-11等效为图7-12。

a
b
1.5Ω
+
_
+
2
10nΩ
0.25 Ω
_
1
U1U
I
1
3U
n
图7-12
列方程组2
1
2
11
3
()(1.510)
3
10()
0.25
I U n U
n
U n I U
n
U
I
⎧
-+=
⎪
⎪
⎪
=-
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎩
得出2
107.5 1.250
n n
-+=，解出1
2
0.5
0.25
n
n
=
⎧
⎨
=
⎩
验证两个解都符合。

注意不能用在a、b端接上一个0.25Ω的电阻，然后从理想变压器原边两端往左看进去的电阻为2
10nΩ的办法列方程求解，这是不可逆的。

7-20 题7-20图所示含理想变压器的正弦稳态相量模型电路，负载阻抗Z L可任意改变，问Z L为多少时，其上可获得最大功率P L max，并求出该最大功率。

_
+
1:2
40
j-Ω
L
Z
s
U
500V
∠
题7-20图
如图2.10-20（a ）所示含理想变压器的正弦稳态相量模型电路，负载阻抗L Z 可任意改变，问L Z 为多少时其上可获得最大功率max L P ，并求出该最大功率。

_+
40j -Ω
L
Z s
U 500V
∠++
_
__
+
+_I I 1U 2
U oc
U s
U 500V ∠40j -Ω
+__+
+_
I 2
I 1:21U 2
U sc
I s
U 500V
∠40j -Ω
（a ） （b ） （c ）
图2.10-20
解 将负载L Z 断开，设端口开路电压oc U ，如图2.10-20（b ）所示。

由图可知
12I I = （1）
又依靠理想变压器的电流变换关系，有 21112
I nI I == 由式（1）和式（2）可知
10I =, 20I = 由KVL ，有 120s U U U --= 并且由变压器的电压器变换关系，有
2111
2U U U n
=
= 将式（4）代入式（3） 1500V s U U =-=-∠ 故开路电压 121000V oc s s U U U U =-+==∠ 将端口短路，求短路电流sc I ，如图2.10-20（c ）所示。

在端口短路时，由变压器的电压、电流变换关系，有 212U U =,2112
I I =
又由KVL ，有
111221*********
40402022
s U I U I U j I j I j I U ⎧=-+=-+⎪
⎨=-=-⨯=-=⎪⎩ 解得 145A 2
I
/=∠ 则短路电流 121145A 222
sc I I I I =-=
=∠ 等效阻抗 所以由最大功率传输定理知，应满足共轭匹配，即当
04040L Z Z j *
==+Ω时，L Z 能获得最大功率，且最大功率为
22max 010062.5W 4440
oc L U P R ===⨯
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